Wst ¾

ep do analizy matematycznej

1

WST ¾

EP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ

1

Rachunek zdań, funkcja zdaniowa, kwanty…katory

Zad. 1 Udowodnić nast ¾

epuj ¾

ace prawa rachunku zdań (tautologie):

a) p _ (s q) ;

d) [ (p ) q) ^ (q ) r) ] ) ( p ) r ) ;

b) p , s (s p) ;

e) [ p ^ (( p ) q ))] ) q;

c) ( p ) q ) , ( s q ) s p ) ;

f ) p _ (q ^ r) , (p _ q) ^ (p _ r) :

Zad. 2 Sprawdzić, czy nast ¾

epuj ¾

ace schematy zdań s ¾

a tautologiami:

a) [(p _ q) ^ (p ) q)] ) (q ) p) ;

i) [

(p ) q)] , (p ^

q) ;

b) p ) [( q ^ q) ) r ] ;

j) [(p ^ q) ) p] _ q;

c) [( p ) q ) ^ p] ) q ;

k) [

(p ^ q)] , [ p _

q] ;

d) [ (p ) q) ^ (q ) p) ] ) ( p _ q ) ;

l) (p ^ q) ) (p _ q) ;

e) [ (p ^ q) ) r] ) (p ) r) ^ (q ) r) ;

m) [p , (q _ r)] ) r;

f ) (p ) q) , [(p ^ q) , p] ;

g) (p _ q _ r) ) f

p ) [(q _ r) ^

p]g ;

n) f[(p _ r) , q] ^ rg ) ( p _ q) ;

h) [p ^ (q _ r)] , [(p ^ q) _ (p ^ r)] ;

o) [(p ) q) ) p] ) q:

Zad. 3 Wyznaczyć wykres funkcji zdaniowej ', której zakresem zmienności jest zbiór X, określonej w nast ¾

epuj ¾

acy sposób:

a) ' (x)

(log x

0);

X = R+;

b) ' (x)

(jx

1j < 2 ^ 2x > 0);

X = R;

c) ' (x)

(sin x 6= 0);

X = R;

d) ' (x)

(x2 < 3 ) x > 1);

X = R;

e) ' (x)

(x2 = 5);

X = N;

f ) ' (x)

(ex 1 >

1);

X = R;

g) ' (x)

(jxj = 4);

X = C;

h) ' ((an))

(ci ¾

ag (an) jest monotoniczny i ograniczony);

X =zbiór ci ¾

agów liczbowych rzeczywistych;

P

i) ' ((an))

( lim an = 1 i

an jest zbie·

zny);

X =zbiór ci ¾

agów liczbowych rzeczywistych;

n!1

j) ' ((f ))

(f 0(x) > 0 dla x 2 [0; 1]);

X =zbiór funkcji określonych na przedziale [0; 1]:

Zad. 4 Które spośród podanych formu÷s ¾

a zdaniami (określić ich wartość logiczn ¾

a), a które funkcjami

zdaniowymi:

!

V p

W p

p

a)

x2 + 6x + 9 = x + 3 _

x2 = x ;

V

c)

log x > 0

) cos 3 =

2 ;

x2R

x2R

4

2

x2R+

!

d) ln x

0;

V

W

W

b)

x2 > log (0; 5)

)

y2 = 10

;

e)

sin2 x

2;

x2R

y2R

x2R

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

2

V

V W

f )

sin2 x + cos2 x = 1;

m)

y

x = 2;

x2R

x2N y2N

W

g)

sin2 x + cos2 x = 1;

n)

x : x2

4 < 0 = (0; 2) ;

x2R

P

o)

1

f

n=1

n (x) jest zbie ·

zny;

h) x2 + y2 = 4;

n

p)

lim

1

1

= e;

W W

n!1

n

i)

x2 + y2 = 4;

V

x2N y2N

q)

(sin x)0 > 0;

V W

x2R

j)

x2 + y2 = 4;

W

r)

(sin x)0 < 0;

x2R y2N

x2R

W V

k)

x2 + y2 = 4;

V

s)

a2 < b2 , a < b ;

y2R x2R

a;b2R

V

W W

l)

x2 + y2 = 4;

t)

a2 = b2 , a = b :

x2R

a2R b2R

Zad. 5 Napisać zaprzeczenie podanego zdania i określić jego wartość logiczn ¾

a:

V

V W

a)

(x > 0 ) x > 1) ;

g)

(x2 + y2

1 ) y = x);

x2R

x2R y2R

W

V

V W

h)

(n > x _ 3n < x) ;

b)

x2 < 0

_

x2 < 0 ;

x2R n2N

x2R

x2R

V W

V

i)

(y = sin x _ x = sin y) ;

c)

log2 (jxj + 1) > 0 _ x3

1 ;

x2R y2R

x2R

W

p

V

p

d)

2 x <

2 ^ x4

0 ;

j)

x2 = x ) x4 > 0 ;

x2R

x2R

V

V W

e)

n2 > 4 ) 2n > 4 ;

k)

log2 x < y2 ^ jxj = 2y ;

n2N

x>0 y<0

V V

W

W

f )

(xy > 0 _ jxj + y

0) ;

l)

x2 + y2 = 1:

x2R y2R

y 1 x> 1

Zad. 6 Wyznaczyć zbiór fx 2 R : ' (x)g, jeśli funkcja zdaniowa ' określona jest w nast ¾

epuj ¾

acy sposób:

W

V

a) ' (x)

(

3x

y = 0 );

d)

' (x)

(

3x

xy = 0 );

y2R

y2R

W

b) ' (x)

(

y = sin x );

V

e) ' (x)

(

y sin x = 0 );

y2R

y2R

V

c) ' (x)

(

y2 + xy + 1 < 0 );

y2R

f ) ' (x)

(arcsin (x + 1) = 0):

Zad. 7 Wyznaczyć zbiór

(x; y) 2 R2 : (x; y) , jeśli funkca zdaniowa

określona jest w nast ¾

epuj ¾

acy

sposób:

a)

(x; y)

(x

2y + 1 = 0 );

e)

(x; y)

(jx

yj = 4 );

b)

(x; y)

(xy

0 );

f )

(x; y)

(jxj + jyj

1 );

c)

(x; y)

(xy = 1 );

g)

(x; y)

(y > x + 1 ^ y < 1

x );

d)

(x; y)

(x2 + y2

9 );

h)

(x; y)

(y > x + 1 ) y < 1

x ):

Zad. 8 Zapisać, u·

zywaj ¾

ac symboli kwanty…katorów, nast ¾

epuj ¾

ace sformu÷

owania i określić ich wartość log-

iczn ¾

a (o ile s ¾

a zdaniami):

a) Ka·

zda liczba naturalna jest liczb ¾

a ca÷

kowit ¾

a.

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

3

b) Iloraz liczb naturalnych nie musi być liczb ¾

a naturaln ¾

a.

c) Iloraz liczb naturalnych mo·

ze być liczb ¾

a naturaln ¾

a.

d) Dla ka·

zdej liczby wymiernej mo·

zna dobrać liczb ¾

e ca÷

kowit ¾

a tak ¾

a, ·

ze ich iloczyn jest liczb ¾

a ca÷

kowit ¾

a.

e) Dla ka·

zdego " > 0 istnieje liczba naturalna K taka, ·

ze dla ka·

zdego n > K wyrazy ci ¾

agu an s ¾

a wi ¾

eksze

od ".

f ) Suma dwóch ci ¾

agów zbie·

znych jest ci ¾

agiem zbie·

znym.

g)

·

Zadna liczba rzeczywista nie jest rozwi ¾

azaniem równania x2 + 2 = 0:

h) Formu÷

a: ( x > 0) jest prawdziwa dla pewnej liczby rzeczywistej dodatniej.

x+1

i) Istnieje ci ¾

ag rosn ¾

acy.

j) Dla ka·

zdej liczby ca÷

kowitej x iloczyn f (x)f (y) jest dodatni, o ile y jest liczb ¾

a ujemn ¾

a.

2

Rachunek zbiorów

Zad. 9 Wyznaczyć A; B; A [ B; A \ B; A n B; B n A; A0; B0; jeśli a) A = N;

B = [ 1; 3];

b) A = Z;

B = fx 2 R : x2 = 5g;

c) A = [0; 2];

B = fx 2 R : jx

1j

1g;

d) A = (0; +1);

B = fx 2 R : log 1 x

1g:

2

Zad. 10 Wyznaczyć zbiór pot ¾

egowy 2X w przypadku, gdy

a) X = ;;

d) X = f;; ag;

b) X = fa; b; cg;

e) X = (0; 1);

c) X = ff1g; f1; 2gg;

f ) X = N:

Wskazać zbiory, dla których zbiór 2X ma skończon ¾

a ilość elementów.

Zad. 11 Wyznaczyć moc nast ¾

epuj ¾

acych zbiorów:

a) A = ;;

g) G = (0; 1)

(3; 4);

b) B = f;g;

h) H =zbiór liczb podzielnych przez 5;

c) C = fx 2 R : x2

x = 1g;

i) I =zbiór liczb ca÷

kowitych czterocyfrowych,

d) D = fx 2 R : x2

4 > 0g;

które mo·

zna utworzyć z cyfr 0; 1; 2; 3; 4;

e) E = f2n + 1 : n 2 Ng;

j) G =zbiór przedzia÷

ów postaci (a; b), gdzie

f ) F = f0; 1g

f3; 4g;

a; b 2 Q:

Zad. 12 Wyznaczyć i narysować zbiór:

a) f 1; 2; 4g

f2; 5g ;

e) [ 1; 4]

(2; 5] ;

b) f 1; 3; 4g

(1; 1) ;

f ) [ 2; 1]

[ 2; 4) ;

c) N

R;

d) (2; 5]

( 1; 1) ;

g)

(x; y) 2 R2 : y > x ^ y < 2x ;

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

4

h)

(x; y) 2 R2 : y

jxj _ x2 + y2 < 1 ;

l)

(x; y) 2 R2 : x

y + 2 < 0 ) jxj + jyj

0 ;

i)

(x; y) 2 R2 : y

jx

1j ^ y < jx + 1j ;

m)

(x; y) 2 R2 : x2 + y2

2x

2y

0 ) x > 1 ;

2

j)

(x; y) 2 R2 : y > 2x _ x > 2y ;

k)

(x; y) 2 R2 : y > x2 ) y = jxj ;

n)

(x; y) 2 R2 : y = log2 (jxj + 1) ^ y

0 :

Zad. 13 Wyznaczyć i narysować zbiory A; B; A [ B; A \ B; A n B; B n A; A0; B0; gdzie: a) A = [ 1; 1]

[0; 1] ; B = R

1 ; 4 ;

2

b) A = (x; y) 2 R2 : y > x ; B = (0; 1)

( 1; 2] :

Zad. 14 Udowodnić, ·

ze dla dowolnych zbiorów A; B; C

X zachodz ¾

a równości:

a) A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) ;

e) (A [ A0)0 = ;;

b) A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) ;

f ) (A n B) [ B = A;

c) (A \ B)0 = A0 [ B0;

g) A

(B [ C) = (A

B) [ (A

C) ;

d) A n (B [ C) = (A n B) n C;

h) (B \ C)

A = (B

A) \ (C

A) :

Zad. 15 Czy dla dowolnych zbiorów A; B; C

X zachodz ¾

a poni·

zsze równości? Uzasadnić odpowiedź.

a) A n (B \ C) = (A n B) \ (A n C) ;

e) (A [ B) n B = A;

b) (A [ B)0 = A0 \ B0;

f ) (A n C)

B = (A

B) \ (C

B) ;

c) A [ (B n C) = (A [ B) n (A \ C) ;

g) (A n B) n C = A n (B n C) ;

d) A n B = (A0 [ B)0 ;

h) A \ (B n C) = (A \ B) n (A \ C) :

S

T

Zad. 16 Wyznaczyć (narysować) kilka zbiorów z podanej rodziny, a nast ¾

epnie wyznaczyć

An i

An,

n2N

n2N

jeśli

a) An =

1 ; 3 + 1 ; n

f ) A

(0; n) ; n

n

n

2 N;

n =

0; 2

1

n

2 N;

b) An = ( 1)n 1 ; n! ; n

n

2 N;

g) An = f1; 2; :::; ng

[0; n] ; n 2 N;

i

c) An =

1 ; 1 ; n

h) A

; 1

n+1 n

2 N;

n =

1

n n

R; n 2 N;

d) A

i) A

n = [n; n + 1]; n 2 N;

n = fx 2 R : cosn x = 1g ; n 2 N;

e) An = [( 1)n; 1 + 1

j) A

2n ]; n 2 N;

n =

(x; y) 2 R2 : x 2 [0; 1] ^ 0

y

xn :

S

T

Zad. 17 Wyznaczyć (narysować) kilka zbiorów z podanej rodziny, a nast ¾

epnie wyznaczyć

At i

At, jeśli

a) At = (0; 1 ); t

g) A

t

2 R+;

t =

(x; y) 2 R2 : y

t jxj ; t 2 R+;

b) At = (0; t ); t

t+1

2 R+;

h) At = (x; y) 2 R2 : y

jx

tj ; t 2 R;

c) At = fx 2 R : jxj < tg ; t 2 R+;

d) A

i) A

t = fx 2 R : xt

1g ; t 2 R;

t =

(x; y) 2 R2 : x2 + y2

t2 ; t 2 R+;

e) At = fx 2 R : sin x = tg ; t 2 R;

j) At = (x; y) 2 R2 : x2 + y2

t2 ^ y

1 t ;

2

f ) At = [ 1; sin t] ; t 2 R;

t 2 R+:

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

5

3

Funkcja wymierna, wartość bezwzgl ¾

edna

Zad. 18 Rozwi ¾

azać równania i nierówności:

a) x3

1 > 0;

x2 + 1

h)

2;

x

b) x3

5x2 + 6x > 0;

c) x4

2x2 + 3

0;

2

i) x +

> 3;

x

4

1

d)

= 1;

x2

4

2

x

1

5

j) 1 +

<

;

16

4x2

x

4

x + 3

e)

0;

x

3

x

1

1

3

2x2 + x + 1

k)

<

+ 2;

f )

< 0;

x2

4

2

x

2 + x

x2

7x + 12

1

1

3

g)

;

l)

4 <

< 1:

x4

x3

x2

1

2x

Zad. 19 Rozwi ¾

azać nierówność f ( x) < 2 f (x), gdzie f (x) =

:

x + 1

(Odp. x 2 ( 1; 1) [ (0; 1) [ (3; +1))

Zad. 20 Rozwi ¾

azać równania i nierówności:

a) x2 + 2 jx + 5j

10 = 0;

h)

x2

2x > x;

b) jx

2j + jxj = 2;

1

i)

< 2;

c)

x2

4 = 5;

jx

4j

d) jx

4j

2;

1

2

j)

<

;

jx + 2j

jx

1j

e) j2x

3j < x;

f ) jx + 1j + x

1

x2;

k) jx + 2j

3 jxj

2;

p

p

g)

x2 + x + 3 < 3;

l)

x2 + 4x + 4 +

x2 > 4:

Zad. 21 Naszkicować wykres funkcji:

1

a) f (x) =

;

e) f (x) = x2

4 jxj + 4;

x2

p

f ) f (x) =

x2 + 6x + 9;

b) f (x) = j2x

4j ;

p

g) f (x) =

x4

4x2 + 4;

c) f (x) = x2

x ;

( 1

jx

1j dla x < 1;

dla jxj < 1;

d) f (x) =

h) f (x) =

x

x2

x

dla x

1;

2x

1 dla jxj

1:

Zad. 22 Wyznaczyć zbiory A \ B; A [ B; A n B; B n A, jeśli: x

a) A = fx 2 R : j3

xj

1g ; B = x 2 R n f4g :

< 1 ;

x

4

3x + 2

b) A = x 2 R : x2 + 2

1 ; B =

x 2 R n f2g :

< 2 :

x

2

Zad. 23 Wyznaczyć zbiór C = R n (A [ B), jeśli

1

a) A =

x 2 R n f0g :

+ x

2 ; B = fx 2 R; jx + 1j

2g ;

x

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

6

x2 + 1

b) A =

x 2 R n f0g :

<

1 ; B = fx 2 R : jx

1j

2xg :

2x

Zad. 24 Wyznaczyć dziedzin ¾

e funkcji:

p

p

a) f (x) =

2 + x

x2;

d) f (x) =

x2 + 2x + 1;

p

p

b) f (x) =

3x

x3;

e) f (x) =

4 + 4x

x2;

r

x

1 + x

c) f (x) =

;

f ) f (x) = (x

2)

:

1 + x

1

x

1

Zad. 25 Funkcja f : R n f0g ! R określona jest wzorem f (x) =

+ 1. Rozwi ¾

azać nierówność

x

f (x) > f (2

x) :

4

Funkcja wyk÷

adnicza

Zad. 26 Rozwi ¾

azać równania i nierówności:

q

x+1

x+1

x

x

a)

2

3

1

= 1 ;

x2

3

3

4

8

32

g)

2

>

;

3

2

x+1

x+1

x

b)

2

3

1

< 8;

3

4

8

h) 32x+1 + 5 3x

2 = 0;

1

2

c)

1

2

x > 1 ;

3

27

i) 32x+1 + 5 3x

2 > 0;

p 2 3x

p

p

d) 7x 4 =

7

;

j) 4 x

2 x + 1

0;

e) 5x2 5x+4 = 1 ;

k) 9x

10 3x + 9

0;

25

f ) 5x 5x2 5x3

1 ;

l) 4x

2 52x < 10x:

5

Zad. 27 Wyznaczyć miejsca zerowe funkcji f; jeśli f (x) = 16x + 4x+2 oraz rozwi ¾

azać równanie f (x) = 36:

p

p

Zad. 28 Wyznaczyć dziedzin ¾

e, zbiór wartości funkcji danej wzorem f (x) = 3 x + 3

x: Naszkicować jej

wykres.

Zad. 29 Wyznaczyć zbiory: A = fx 2 R : f (x)

0g ; A \ Z; A \ N; jeśli

a) f (x) = 22x 4

17 2x 4 + 1;

b) f (x) = 3x+1 + 3x 1

30:

Zad. 30 Naszkicować wykres funkcji:

8

8

<

3x

dla x < 1;

< (1)x dla x < 0;

2

a) f (x) =

0

dla x = 1;

b) f (x) =

1

dla x 2 [0; 2);

:

: p

2x

dla x > 1;

x

dla x

2:

5

Funkcja logarytmiczna

Zad. 31 Rozwi ¾

azać równania i nierówności:

a) log4(x + 3)

log4(x

1) = 2

log4 8;

e) log23 x

log3 x3 + 2 = 0;

5x + 4

b)

log4(x2 1) = 2;

log

f ) log 1

> 1;

4(x

2)

2

x

2

c) log3 (3x

8) = 2

x;

g) log3 (3x

8)

2;

d) log (2x

4x)

log 8 = log 2x 1

1

;

h) log

4

2(8

x)

log2(x

2) < 2;

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

7

i) log

1

1

1

3 (x + 1) + log3

< log

x

3 27;

n)

+

1;

log x

1

log x

j)

3

log

p

1 x

< 1;

2

o) log5 x + log25 x = log 1

3;

5

k)

log2 jxj + 1

1

2

p) 8log2 x = 4x;

l) ln2 x

ln x < 0;

q) log2 x + log2 x2 + log2 x3 > logx 64;

m) log21 x

1

0;

r) log 1 x + 2 log3 x < 3:

3

3

Zad. 32 Wyznaczyć dziedzin ¾

e funkcji f; jeśli

p

a) f (x) = log x2

4 ;

d) f (x) =

ln (x

2);

b) f (x) = log (x + 2)

log (3

x)

e) f (x) = log1 x 2 + x

x2 ;

p

c) f (x) = ln

x

2;

f ) f (x) = log(2x 4x) :

log x

Zad. 33 Dana jest funkcja f określona wzorem f (x) = log0;5 x2

5x + 4

log0;5 (5x

5) :

a) Wyznaczyć dziedzin ¾

e i miejsca zerowe funkcji f .

b) Rozwi ¾

azać nierówność f (x)

1:

Zad. 34 Wyznaczyć dziedzin ¾

e funkcji f oraz przedzia÷

y, w których f przyjmuje wartości dodatnie:

a) f (x) = log x2 + 2x + 1 ;

3x + 5

b) f (x) = log 1

:

2

x

3

x2

3x

9

Zad. 35 Wyznaczyć zbiór B =

x 2 Z : log

0 ^ x < 5 :

x

4

6

Funkcje trygonometryczne

Zad. 36 Obliczyć:

a) sin( 17 )

2 cos(3 + 5 ) + tg( 25 ) =

b) ctg(3 3 ) + sin(150 ) + cos( 120 ) =

4

3

2

4

Zad. 37 Rozwi ¾

azać równania i nierówności:

p

a) 2 sin(2x) =

3;

g) jsin x + 1j

1;

b) sin x

cos x = 0;

h) sin2 x

sin x

0

p

c) cos(3x) <

3 ;

i) cos2 x > 1 ;

2

4

d) sin x

1 ;

j) 6 cos2 x

5 sin x

2 > 0;

2

2

e) 1

jcos xj > 0;

k) 4 sin2 x

4 jcos xj

1 > 0;

f ) jtg xj > 1;

l) cos4 x + 2 cos2 x

1

0:

Zad. 38 Naszkicować wykres funkcji:

a) f (x) = 2 sin jxj ;

c) f (x) = sin x cos x;

b) f (x) = jcos 2xj + 1;

d) f (x) = cos2 x:

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

8

7

Funkcje cyklometryczne

Zad. 39 Obliczyć:

a) arcsin(sin ) + arcsin(sin 7 ) =

c) arccos(cos 3 )

arcctg(sin(

))

6

6

4

2

p

b) arctg(

3) + 3 arcsin 1 + 2 arccos 0 =

d) sin(arcsin 1) cos(arcsin 0) =

Zad. 40 Rozwi ¾

azać równania i nierówności

a) arcsin x = 1;

c) arcsin (3x + 9)

;

6

b) arccos(x

1) = 1 ;

d)

:

2

jarctg xj < 4

Zad. 41 Wyznaczyć dziedzin ¾

e funkcji:

1

a) f (x) = arcsin(x2

x

1);

c) f (x) = arccos( x2 + x

1)

;

2

p

b) f (x) = arccos(j2 log x

3j);

d) f (x) =

arcsin x

:

4

Zad. 42 Naszkicować wykres funkcji:

sgn x

dla jxj < 1;

jarctg xj dla x 6= 0;

a) f (x) =

d) f (x) =

arcsin x dla jxj

1;

arccos x

dla x = 0;

b) f (x) = jarcsin xj ;

e) f (x) =

1 arcctg(x + 2);

2

c) f (x) =

2 arctg jxj ;

f ) f (x) = arcsin x + arccos x;

Zad. 43 Wykazać, ·

ze

V

a)

arcsin( x) =

arcsin x;

x2[ 1;1]

V

b)

arctg( x) =

arctg x;

x2R

V

c)

arcsin x + arccos x =

;

2

x2[0;1]

V

d)

arctg x + arcctg x =

;

2

x2R

V

e)

arctg x = arcctg 1 :

x

x>0

8

Obraz, przeciwobraz

Zad. 44 Naszkicować wykres funkcji, wyznaczyć Df ; f [Df ]; f [A]; f 1[B]; jeśli 3x

dla x <

2;

a) f (x) =

A = [ 3; 1]; B = ( 1; 0);

x2

4 dla x

2;

p

b) f (x) = x

2 +

x2

6x + 9; A = [ 1; 0]; B = (0; 2);

c) f (x) = x2

2x ; A = [ 1; 3) [ f0g; B = ( 1; 1);

2 2

d) f (x) = 2jxj; A = ( 2; 1); B = [4; +1);

jarctg xj

dla x

1;

e) f (x) =

A = [ 1; 1]; B = [0; );

ln(x

3) dla x

4;

6

x

f ) f (x) =

1

1 ; A = [1; +

2

1); B = ( 1; 1];

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

9

x2

1

g) f (x) =

; A = ( 1; 2); B = [ 3; 3];

jx + 1j

h) f (x) = 3 sin 2x + 1; A = (0; ); B = [4; +

2

1):

x

Zad. 45 Funkcja f : R ! R określona jest wzorem f (x) = 1

: Wyznaczyć taki zbiór A

2

R, ·

ze obraz

f [A] = (0; 4] :

9

W÷

asności funkcji: monotoniczność, ró·

znowartościowość, parzystość,

okresowość

Zad. 46 Korzystaj ¾

ac z de…nicji zbadać monotoniczność podanych funkcji: a) f (x) = x3 + 3x;

x2

4 dla x

0;

e) f (x) =

1

dla x < 0;

b) f (x) = x2

1;

f ) f (x) = ln(x2

1); x > 1;

p

c) f (x) = 1

3x + 2;

g) f (x) = 2arctg( x) + 1;

p

1

d) f (x) = x +

x;

h) f (x) =

:

1

arcsin x

Które spośród badanych funkcji s ¾

a ró·

znowartościowe?

Zad. 47 Zbadać ró·

znowartościowość podanych funkcji:

1

a) f (x) =

;

c) f (x) = arcsin(2x

1);

x2 + 1

x + 1 dla x < 1;

b) f (x) =

x3

dla x

1

d) f (x) = log(jx

1j + 2):

Zad. 48 Zbadać parzystość-nieparzystość podanych funkcji: x

a) f (x) =

;

f ) f (x) = sin x + cos x;

x2 + 4

2x + 1

b) f (x) = sin(x3

x);

g) f (x) = x

;

2x

1

c) f (x) = x jxj ;

1

h) f (x) = x +

;

x

1

d) f (x) = cos

;

x

x

1

i) f (x) = log

;

x + 1

x4 + 1

e) f (x) =

;

j) f (x) =

sin x

jarcsin(tg x)j :

Zad. 49 Wyznaczyć okres funkcji f i naszkicować jej wykres a) f (x) = 2 sin 3x;

e) f (x) = cos( x);

b) f (x) = 3 cos( 1 x

3);

f ) f (x) = sin x + jsin xj ;

2

c) f (x) = tg 1 x;

g) f (x) = sin2 x;

2

d e f

d) f (x) =

ctg(2x + 1);

h) f (x) = bxc = maxfk 2 Z : k

xg:

Zad. 50 Naszkicować wykres funkcji f : R ! R; jeśli wiadomo , ·

ze jest okresowa o okresie podstawowym

T = 1 oraz f (x) = j1

2xj dla x 2 [0; 1] : Wyznaczyć zbiór A = x 2 R : f (x) 1

.

2

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

10

Zad. 51 Które z podanych stwierdzeń s ¾

a prawdziwe? Uzasadnić odpowiedzi negatywne, podaj ¾

ac odpowied-

nie przyk÷

ady.

a) Istnieje nieparzysta funkcja okresowa o okresie T =

:

2

b) Istnieje parzysta funkcja ró·

zowartościowa.

c) Istnieje funkcja jednocześnie parzysta i nieparzysta.

d) Jeśli funkcja jest ściśle monotoniczna, to jest ró·

znowartościowa.

e) Jeśli funkcja jest ró·

znowartościowa, to jest ściśle monotoniczna.

f ) Jeśli funkcja jest parzysta, to jest ró·

znowartościowa.

10

Funkcja z÷

o·

zona, funkcja odwrotna

Zad. 52 Wyznaczyć funkcje z÷

o·

zone: f

f; g

g; f

g; g

f oraz ich dziedziny, jeśli

1

a) f (x) =

, g (x) = 2x;

c) f (x) = jxj , g (x) = x2

x;

x

1

p

1

p

b) f (x) =

x, g (x) = x2;

d) f (x) =

; g (x) =

2x

1:

x

Zad. 53 Wyznaczyć funkcje z÷

o·

zone: f

g; g

f , ich dziedziny oraz przeciwdziedziny, jeśli

p

a) f (x) = sin x + 1, g (x) =

x;

d) f (x) = ex 2; g(x) = x2;

b) f (x) = ln x, g (x) = x2 + 1;

e) f (x) = arctg x; g (x) = x3;

1

c) f (x) =

, g (x) = arcsin x;

x + 2

f ) f (x) = jxj ; g(x) = arccos x:

Zad. 54 Wyznaczyć funkcje z÷

o·

zone: f

g

h; g

f

h; h

f

g oraz ich dziedziny, jeśli

f (x) = ln x;

g (x) = x

1;

h(x) = e2x:

Zad. 55 Rozwi ¾

azać nierówność g (2x) + (f

g) (x)

4; jeśli f (x) = x2, g (x) = 2x:

Odp. x 2

1 ; +

2

1

Zad. 56 Wyznaczyć Df ; f [Df ] oraz (o ile to mo·

zliwe) funkcj ¾

e odwrotn ¾

a do f; jeśli

p

a) f (x) = x3

1;

g) f (x) =

2x3

1;

b) f (x) = x3

3x2 + 3x + 27;

x

h) f (x) = ln(

);

x + 1

1

c) f (x) =

; x

1;

x2 + 1

i) f (x) = log3 x;

p

d) f (x) =

x2

1; x <

1;

j) f (x) = arctg log2(3x

1);

p

e) f (x) =

x2

1; x > 1;

k) f (x) = cos(x

1); x 2 [1; 3];

1

dla x < 0;

1

dla x < 0;

f ) f (x) =

x2

p

l) f (x) =

x

p

x

1 dla x

0;

x + 1 dla x

0:

11

Powtórzenie wiadomości o funkcjach

Zad. 57 Wyznaczyć dziedzin ¾

e funkcji f , jeśli

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

11

p

p

4x

2x+1

g) f (x) = ln (x + 1) + arccos

2x;

a) f (x) =

;

jx + 4j

1

h) f (x) = log(x+1) 3 + 2x x2 ;

b) f (x) = log (cos (log x)) ;

2

1

x + 1

i) f (x) = pp

;

c) f (x) = arcsin

;

x

2

3

3 tg x

p

p

d) f (x) =

log (1

x) +

x2 + x + 1;

j) f (x) = log(arcsin(2 cos x))

p

;

x2+3x

1

1

p

e) f (x) =

+

;

1

x3

log

k) f (x) =

;

3(x2

4)

x

3

arcsin 5log 2

x+2

r

2x

1

1

f ) f (x) = log2

+

x;

4

x

x2

l) f (x) = arccos (2x

4) + arcsin (jxj

1) :

Zad. 58 Wyznaczyć dziedzin ¾

e i zbiór wartości funkcji f , jeśli

p

a) f (x) =

2 + x

x2;

d) f (x) = ex2 1;

1

b) f (x) =

;

e) f (x) = log (1

2 cos x) ;

sin xp

p

c) f (x) = 1 +

log (arctg x);

f ) f (x) =

arcsin

x:

Zad. 59 Rozwi ¾

azać nierówności:

2

a) log

1

jxj

1

cos ;

c) 4

2 x

;

3

x + 1

d) log(4x

2x+1 + 1)

arcsin 0;

cos x

2

b)

> arctg 0;

log

e)

3 log 4

x2

ctg x > x

2

x2; :

0;5 (x + 5)

Zad. 60 Rozwi ¾

azać nierówność

f (x)

(f

f ) (x) < (f

g) (x)

(f

f

g) (x) ;

1

jeśli f (x) =

oraz g (x) = x3:

x

Zad. 61 Naszkicować wykres funkcji f i podać jej podstawowe w÷

aśności, jesli

a) f (x) = x jx + 2j ;

d) f (x) = arcsin(sin x);

b) f (x) = jsin 2xj ;

e) f (x) =

2x+1 + 3;

arcsin( x) gdy jxj

1;

log( x)

gdy x < 0;

c) f (x) =

f ) f (x) =

0

dla

jxj > 1;

arctg(x

1) dla

x

0:

12

Relacje

Zad. 62 Sprawdzić, które spośród poni·

zej zde…niowanych relacji s ¾

a funkcjami:

a)

1 =

(x; y) 2 (0; +1)

( 1; 0) : x2 = y2 ;

d)

4 = ;;

b)

2 =

(x; y) 2 R

( 1; 0) : x2 = y2 ;

e)

5 = [f1g

( 1; 0)] [ [f2g

(0; +1)];

c)

3 =

(x; y) 2 ( 1; 0)

R : x2 = y2 ;

f )

6 = f(x; y) 2 R

( 1; 0) : jyj = 2g ;2007 EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

12

g)

7 =

(x; y) 2 R

( 1; 0] : y2 + y

0 ;

h)

8 =

(x; y) 2 R2 : y2 + y

0 :

Zad. 63 Sprawdzić, czy podzbiór f

A

B jest funkcj ¾

a odwzorowuj ¾

ac ¾

a zbiór A w zbiór B, jeśli:

a) A = R; B = R n f0g oraz

V

V

(x; y) 2 f , 2xy = 1;

x2R y2Rnf0g

b) A = R; B = R oraz

V V (x;y) 2 f , x2 y2 = 1;

x2R y2R

c) A; B s ¾

a dowolnymi zbiorami, yo jest dowolnym elementem zbioru B oraz V V (x;y) 2 f , y = yo:

x2A y2B

Zad. 64 Zbadać, czy funkcja f jest injekcj ¾

a, surjekcj ¾

a, bijekcj ¾

a; wyznaczyć przeciwdziedzin ¾

e funkcji f i (o

ile istnieje) funkcj ¾

e odwrotn ¾

a f 1.

a) f : [2; +1) ! R;

f (x) =

x2 + 4x

3;

f ) f : R2 ! R;

f (x; y) = x + y;

b) f (x) = x ;

x 1

g) f : R2 ! R2;

f (x; y) = (x; xy) ;

x2;

x

0;

c) f (x) =

h) f : R2 ! R2;

f (x; y) = (x

y; x + 2y) ;

log (x + 1) ; x > 0;

d) f (x) = 2

jx + 2j ;

i) f : C ! C;

f (z) = z + 1

2i;

e) f : Z ! Z;

f (k) = 2k + 1;

j) f : C ! C;

f (z) = iz:

Zad. 65 Zbadać, czy

X

X jest relacj ¾

a równowa·

zności. Jeśli tak, to wyznaczyć (opisać, narysować,

„policzyć”) klasy abstrakcji tej relacji.

a) X = R f0g ;

x y , xy > 0;

b) X = R;

x y , xy

0;

c) X = R;

x y , x

y > 1;

W

d) X = Z;

n m ,

n

m = 3k;

k2Z

e) X = R;

x y , x

y 2 Z;

f ) X = R;

x y , x2 = y2;

g) X = 2R;

A B , A

B;

h) X = 2N;

A B , A \ B = ;;

i) X = R2;

(x1; y1) (x2; y2) , x21 + y21 = x22 + y22;

j) X = R2;

(x1; y1) (x2; y2) , x1 = x2;

k) X = R2;

(x1; y1) (x2; y2) , x1 = y2;

l) X = R+

R+;

(x1; y1) (x2; y2) , y1 = y2 ;

x1

x2

m) X = C2;

z1 z2 , Im z1 = Im z2;

n) X = C2;

z1 z2 , arg z1 = arg z2;

o) X = zbiór ludzi,

x y , x jest ojcem y;

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

13

p) X =zbiór prostych w R2;

l k , l ? k;

q) X =zbiór prostych w R2;

l k , l k k;

r) X =zbiór wektorów w R2;

x y , x k y i kxk = kyk ;

s) X = zbiór studentów P×, x y , x i y ucz ¾

a si ¾

e na tym samym wydziale P×;

t) X = zbiór punktów pewnej mapy,

P Q , h (P ) = h (Q) ; gdzie h (P ) = wysokość n.p.m. punktu P: Jak nazywamy klasy abstrakcji relacji zde…niowanych w czterech ostatnich podpunktach?

Zad. 66 Zbadać, czy

X

X jest relacj ¾

a porz ¾

adku (liniowego porz ¾

adku), jeśli

a) X = N;

n m , n j m (n jest dzielnikiem m);

b) X = 2R;

A B , A \ B = ;;

c) X = R;

x y , x

y 2 Q;

d) X = R;

x y , x

y:

Zad. 67 Wyznaczyć elementy maksymalne, minimalne, najwi ¾

eksze i najmniejsze (o ile istniej ¾

a) w zbiorze

uporz ¾

adkowanym (X; ), jeśli

a) X = f2; 4; 6; 8; 12; 16g;

n m , n j m;

b) X =rodzina przedzia÷

ów postaci ( a; a), gdzie a jest dowoln ¾

a liczb ¾

a dodatni ¾

a,

A B , A

B;

c) X = 2R;

A B , A

B;

d) X =zbiór s÷

ów w danym j ¾

ezyku;

s1 s2 , s1 wyst ¾

epuje w s÷

owniku przed s2;

e) X = f1; 2; 3; 4; 5; 6g;

x y , x ! y wg schematu:

1 ! 2 ! 3

#

4 ! 5 ! 6

f ) X = f1; 2; 3; 4g;

x y , x ! y wg schematu:

1 ! 2

"

#

4 3

g) X = fa; b; c; d; e; f; gg;

x y , x ! y wg schematu:

a ! b

f

#

#

"

c

! d ! e ! g

2007

EM