Zadanie II.4.1

Obliczyć parametry stanu w punktach charakterystycznych obiegu Otto, jeżeli parametry stanu przed zagęszczeniem adiabatycznym wynoszą odpowiednio, ciśnienie p1=1[at], temperatura T1=300[K] zaś zasób objętości V1=1[m3]. W końcu przemiany adiabatycznego zagęszczania ciśnienie osiąga wartość p2=12[at]. Podczas przemiany izochorycznego sprężania do obiegu doprowadzono przyrost ilości ciepła ∆Qd=160[kcal]. Zakładamy, że przemiany obiegu są przemianami odwracalnymi oraz że czynnikiem pracującym w obiegu jest powietrze traktowane tak jak gaz doskonały, dla którego indywidualna stała gazowa J

R=287,04[

] zaś wykładnik izentropy k=1,4.

kgK

Dane:

p1=1[at]

T1=300[K]

V1=1[m3]

p2=12[at]

∆Qd=160[kcal]

J

R=287,04[

]

kgK

k=1,4

1. Wykresy obiegu termodynamicznego Otto dla powietrza we współrzędnych p,V oraz T,S

2. Tabela zestawienia danych i wyników obliczeń 3. Obliczam parametry stanu w punktach charakterystycznych obiegu 3.1. Obliczam zasób masy powietrza pracującego w obiegu z równania Clapeyrona: p V

m= 1 1

RT2

3.2. Obliczam zasób objętości powietrza w punkcie 2 obiegu. (Między punktami 1 i 2

obiegu mamy przemianę izentropową) Z równania izentropy (pVk=const.) otrzymamy: p

k

k

1V1 =p2V2

k

p V

V

1

1

2=

p2

3.3. Obliczam temperaturę powietrza w punkcie 2 obiegu z równania stanu gazu doskonałego Clapeyron’a:

p V

T

2

2

2=

mR

1

⎛ p k

⎞

p *

1

2

* V1* RT1

⎜⎜

1

1−k

k 1

−

1

−

⎝ p ⎟⎟

2

k

⎛ p ⎞

k

k

⎛ p ⎞

⎛ p ⎞

T

⎠

2

1

2

2=

=

* T1 =

* T1 =

* T1

p

⎜⎜ ⎟⎟

⎜⎜ ⎟⎟

⎜⎜ ⎟⎟

1V1R

⎝ p1 ⎠

⎝ p2 ⎠

⎝ p1 ⎠

3.4. Obliczam temperaturę powietrza w punkcie 3 obiegu. Bilans energii dla przemiany odwracalnej.

1-sza postać I zasady termodynamiki dEI= δQ − δL

δ L=pdV

Między punktami charakterystycznymi obiegu 2 i 3 zachodzi przemiana izochoryczna V=const. => dV=0

=> δ L=0

dEI= δQ

Zasób energii wewnętrznej określony jest związkiem EI= cϑ * mT

gaz

doskonały: ϑ

c =const.

układ substancjalny: m=const.

zatem przyrost energii wewnętrznej określony jest zależnością dEI= cϑ * m * dT

δQ= cϑ * m * dT

Całkując powyższe równanie w granicach Δ Qd

T 1

∫ dQ = cϑ* m∫ dT

0

T 2

Q

Δ = cϑ − (

m T 3 − T 2) Z

równania

Meyer’a

CP-CV=R

Z

definicji

wykładnika izentropy

CP

k =

CV

Uwzględniając ponadto zależność R

1

p V 1

Q

Δ d =

*

*(

p V

T 3 − T 2) 1 1

=

* T − T

k −1 T 2 R

( k − )

( 3 2)

1 T 2

Stąd

( k − )1* T 2*Δ Qd T 3 =

+ T 2

1

p V 1

⎛⎜(

1

−

1

−

⎞

k − )

k

k

k

k

1 *Δ

⎛

⎞

⎟

⎛

⎞

d

Q

p 1

p 2

T 3 =

+1 T 2*

⎜

⎜⎜

⎟⎟

⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜

p V

1 1

⎝ p 2 ⎠

⎟

⎝ p 1 ⎠

⎝

⎠

⎛

−

⎜ (

k

⎞

k − )

1

1 * Q

Δ

⎛

⎞

⎟

d

p 2

k

T 3 =

+

T 1

⎜

⎜⎜

⎟⎟

⎟

1

p V 1

1

⎝ p

⎜

⎠

⎟

⎝

⎠

3.5. Obliczam ciśnienie powietrza w punkcie 3 obiegu. Z równania stanu gazu doskonałego Clapeyron’a otrzymam: P3V3=mRT3

1

⎛

k−1

k−1

⎛ p1 ⎞ k

p1V2

⎜ (k − )

⎞ ⎛

⎞

1 ΔQd ⎛ p2 ⎞ k ⎟ ⎜

⎛ p2 ⎞ k

p3

* V1 =

* RT2

+

=

⎜⎜ ⎟⎟

⎜

⎜⎜ ⎟⎟

⎟ ⎜( k − )

⎟

1 ΔQd + 1

p V 1 * ⎜⎜ ⎟⎟

⎟

⎝ p2 ⎠

RT1

⎜

p2V1

⎝ p1 ⎠

⎟ ⎜

⎝ p1 ⎠

⎟

⎝

⎠ ⎝

⎠

(k − )

1

k

1 Δ d

Q ⎛ 2

p ⎞

p3 =

+ p2

⎜⎜ ⎟⎟

1

V

⎝ p1 ⎠

3.6. Obliczam ciśnienie powietrza w punkcie 4 obiegu. Między punktami 3 i 4 obiegu realizowana jest przemiana izentropowa.

Z równania izentropy:

p

k

k

3V3 =p4V4

⎛⎜(

⎞

k − )

1

k

1 Δ d

Q ⎛ p2 ⎞

⎟ ⎛ p2 ⎞ k

k

+ p2 *

1

V = p4 4

V

⎜

⎜⎜ ⎟⎟

⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

1

V

⎝ p1

⎜

⎠

⎟ ⎝ p1 ⎠

⎝

⎠

(k − )

k 1

-

k

1 Δ d

Q ⎛ 1

p ⎞

p4 =

+ 1

p

⎜⎜ ⎟⎟

1

V

⎝ p2 ⎠

3.7. Obliczam temperaturę powietrza w punkcie 4 obiegu Z równania izochory otrzymamy: 1

p

T1

=

p

4

T4

⎛

⎞

⎛ p4 ⎞

⎜ (k − )

k 1

-

k

1 Δ d

Q ⎛ p1 ⎞

⎟

T4 =

T2 =

+1 T1

⎜⎜⎝ p ⎟⎟

⎜

⎜⎜ ⎟⎟

⎟

2 ⎠

p1V1

⎝ p2

⎜

⎠

⎟

⎝

⎠

4. Obliczam wartości ciśnień w punktach 3 i 4 obiegu p3=2,75931[MPa]

p4=0,229943[MPa]

5. Obliczam wartości temperatury w punktach 2, 3 i 4

T2=610,181[K]

T3=1430,24[K]

T4=703,189[K]

6. Obliczam zasoby objętości w punktach charakterystycznych V2=0,169495[m3]

V3=V2

V4=V1