Zadanie II.4.1
Obliczyć parametry stanu w punktach charakterystycznych obiegu Otto, jeżeli parametry stanu przed zagęszczeniem adiabatycznym wynoszą odpowiednio, ciśnienie p1=1[at], temperatura T1=300[K] zaś zasób objętości V1=1[m3]. W końcu przemiany adiabatycznego zagęszczania ciśnienie osiąga wartość p2=12[at]. Podczas przemiany izochorycznego sprężania do obiegu doprowadzono przyrost ilości ciepła ∆Qd=160[kcal]. Zakładamy, że przemiany obiegu są przemianami odwracalnymi oraz że czynnikiem pracującym w obiegu jest powietrze traktowane tak jak gaz doskonały, dla którego indywidualna stała gazowa J
R=287,04[
] zaś wykładnik izentropy k=1,4.
kgK
Dane:
p1=1[at]
T1=300[K]
V1=1[m3]
p2=12[at]
∆Qd=160[kcal]
J
R=287,04[
]
kgK
k=1,4
1. Wykresy obiegu termodynamicznego Otto dla powietrza we współrzędnych p,V oraz T,S
2. Tabela zestawienia danych i wyników obliczeń 3. Obliczam parametry stanu w punktach charakterystycznych obiegu 3.1. Obliczam zasób masy powietrza pracującego w obiegu z równania Clapeyrona: p V
m= 1 1
RT2
3.2. Obliczam zasób objętości powietrza w punkcie 2 obiegu. (Między punktami 1 i 2
obiegu mamy przemianę izentropową) Z równania izentropy (pVk=const.) otrzymamy: p
k
k
1V1 =p2V2
k
p V
V
1
1
2=
p2
3.3. Obliczam temperaturę powietrza w punkcie 2 obiegu z równania stanu gazu doskonałego Clapeyron’a:
p V
T
2
2
2=
mR
⎛ p k
⎞
p *
1
2
* V1* RT1
⎜⎜
1
1−k
k 1
−
1
−
⎝ p ⎟⎟
2
k
⎛ p ⎞
k
k
⎛ p ⎞
⎛ p ⎞
T
⎠
2
1
2
2=
=
* T1 =
* T1 =
* T1
p
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
1V1R
⎝ p1 ⎠
⎝ p2 ⎠
⎝ p1 ⎠
3.4. Obliczam temperaturę powietrza w punkcie 3 obiegu. Bilans energii dla przemiany odwracalnej.
1-sza postać I zasady termodynamiki dEI= δQ − δL
δ L=pdV
Między punktami charakterystycznymi obiegu 2 i 3 zachodzi przemiana izochoryczna V=const. => dV=0
=> δ L=0
dEI= δQ
Zasób energii wewnętrznej określony jest związkiem EI= cϑ * mT
gaz
doskonały: ϑ
c =const.
układ substancjalny: m=const.
zatem przyrost energii wewnętrznej określony jest zależnością dEI= cϑ * m * dT
δQ= cϑ * m * dT
Całkując powyższe równanie w granicach Δ Qd
T 1
∫ dQ = cϑ* m∫ dT
0
T 2
Q
Δ = cϑ − (
m T 3 − T 2) Z
równania
Meyer’a
CP-CV=R
Z
definicji
wykładnika izentropy
CP
k =
CV
Uwzględniając ponadto zależność R
1
p V 1
Q
Δ d =
*
*(
p V
T 3 − T 2) 1 1
=
* T − T
k −1 T 2 R
( k − )
( 3 2)
1 T 2
Stąd
+ T 2
1
p V 1
⎛⎜(
1
−
1
−
⎞
k − )
k
k
k
k
1 *Δ
⎛
⎞
⎟
⎛
⎞
d
Q
p 1
p 2
T 3 =
+1 T 2*
⎜
⎜⎜
⎟⎟
⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜
p V
1 1
⎝ p 2 ⎠
⎟
⎝ p 1 ⎠
⎝
⎠
⎛
−
⎜ (
k
⎞
k − )
1
1 * Q
Δ
⎛
⎞
⎟
d
p 2
k
T 3 =
+
T 1
⎜
⎜⎜
⎟⎟
⎟
1
p V 1
1
⎝ p
⎜
⎠
⎟
⎝
⎠
3.5. Obliczam ciśnienie powietrza w punkcie 3 obiegu. Z równania stanu gazu doskonałego Clapeyron’a otrzymam: P3V3=mRT3
1
⎛
k−1
k−1
⎛ p1 ⎞ k
p1V2
⎜ (k − )
⎞ ⎛
⎞
1 ΔQd ⎛ p2 ⎞ k ⎟ ⎜
⎛ p2 ⎞ k
p3
* V1 =
* RT2
+
=
⎜⎜ ⎟⎟
⎜
⎜⎜ ⎟⎟
⎟ ⎜( k − )
⎟
1 ΔQd + 1
p V 1 * ⎜⎜ ⎟⎟
⎟
⎝ p2 ⎠
RT1
⎜
p2V1
⎝ p1 ⎠
⎟ ⎜
⎝ p1 ⎠
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
(k − )
1
k
1 Δ d
Q ⎛ 2
p ⎞
p3 =
+ p2
⎜⎜ ⎟⎟
1
V
⎝ p1 ⎠
3.6. Obliczam ciśnienie powietrza w punkcie 4 obiegu. Między punktami 3 i 4 obiegu realizowana jest przemiana izentropowa.
Z równania izentropy:
p
k
k
3V3 =p4V4
⎛⎜(
⎞
k − )
1
k
1 Δ d
Q ⎛ p2 ⎞
⎟ ⎛ p2 ⎞ k
k
+ p2 *
1
V = p4 4
V
⎜
⎜⎜ ⎟⎟
⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
1
V
⎝ p1
⎜
⎠
⎟ ⎝ p1 ⎠
⎝
⎠
(k − )
k 1
-
k
1 Δ d
Q ⎛ 1
p ⎞
p4 =
+ 1
p
⎜⎜ ⎟⎟
1
V
⎝ p2 ⎠
3.7. Obliczam temperaturę powietrza w punkcie 4 obiegu Z równania izochory otrzymamy: 1
p
T1
=
p
4
T4
⎞
⎛ p4 ⎞
⎜ (k − )
k 1
-
k
1 Δ d
Q ⎛ p1 ⎞
⎟
T4 =
T2 =
+1 T1
⎜⎜⎝ p ⎟⎟
⎜
⎜⎜ ⎟⎟
⎟
2 ⎠
p1V1
⎝ p2
⎜
⎠
⎟
⎝
⎠
4. Obliczam wartości ciśnień w punktach 3 i 4 obiegu p3=2,75931[MPa]
p4=0,229943[MPa]
5. Obliczam wartości temperatury w punktach 2, 3 i 4
T2=610,181[K]
T3=1430,24[K]
T4=703,189[K]
6. Obliczam zasoby objętości w punktach charakterystycznych V2=0,169495[m3]
V3=V2
V4=V1