Biotechnologia, 3 rok, 6 semestr

Instrukcja do laboratorium nr 2 z Modelowania Biosystemów

Modele pojedynczych populacji

Prowadz cy: mgr in . Krzysztof Psiuk-Maksymowicz (p.629)

[e-mail]

1. Zakres materiału laboratorium

Przygotowanie do zaj obejmuje znajomo modeli pojedynczych populacji: maltuzja skiego

(wykładniczego), Gompertza oraz logistycznego (wersja ci gła i dyskretna) – postaci ich równa , rozwiza

czasowych oraz własno ci poszczególnych modeli. Dodatkowo studenci powinni zapozna si ze

sposobem tworzenia funkcji w rodowisku Matlab (help function w linii komend Matlaba) oraz

funkcj ode45() (help ode45 w linii komend) słu c do rozwi zywania numerycznego równa

ró niczkowych zwyczajnych.

2. Program zaj laboratoryjnych

Zad 1. Model ci gły dany jest równaniem dN(t)/dt = r1 N(t), natomiast model dyskretny

równaniem Nt+1 = Nt + r2 Nt .

a. Zbada wpływ parametrów N0 i r1 lub r2 na dynamik modeli, przedstawi kilka wykresów czasowych dla t∈[0,9] dni.

b. Wyznaczy czas zdwojenia dla modelu ci głego dla podanego r1.

c. Sprawdzi dla jakiego r1 model ci gły przyjmuje te same warto ci w ustalonych punktach

czasowych co model dyskretny o zadanych przez prowadz cego parametrach N0 i r2.

d. Wyprowadzi zale no funkcyjn r1(r2), dla której warto ci rozwi za modeli s równe

oraz przedstawi graficznie (na jednym wykresie) rozwi zanie modelu ciagłego dla

t∈[0,9] oraz modelu dyskretnego dla warto ci t∈{0,1,...,8,9}.

Zad 2. Zbada zachowanie modelu logistycznego ci głego oraz modelu Gompertza w zale no ci

od zmian parametrów modeli (zakresy warto ci parametrów b d podane przez

prowadz cego na zaj ciach). W celu znalezienia rozwi za modeli zastosowa

predefiniowan funkcj ode45(). Sporz dzi wykresy z przebiegami czasowymi oraz

portrety fazowe obu modeli dla wybranych parametrów.

Zad 3. Logistyczny model dyskretny ma posta Nt+1 = Nt + r Nt ( 1 - Nt / K ), gdzie K oznacza

pojemno rodowiska. Stosuj c podstawienia a=1+r, b=r/K oraz zmian zmiennych Xt

= (b/a)Nt równanie modelu logistycznego przyjmuje uproszczon posta Xt+1=aXt(1-Xt).

a. Zbada wpływ zmian parametru a na zmian dynamiki modelu, przedstawi przebiegi

czasowe modelu dla zadanych warto ci a.

b. Dla podanego N0 znale a, dla którego rozpoczynaj si oscylacj oraz a, dla którego wyst puje chaos.

c. Sporz dzi diagram bifurkacyjny.

Rozwi zania zada prosz na bie co zapisywa (rysunki oraz kody programów np. do

dokumentu Word) i na koniec zaj przesła na adres krzysztof.psiuk-

[e-mail] .