A. Zaborski, Stan odkształcenia

Stan odkształcenia

Współrz dne materialne i przestrzenne

konfiguracja

Wprowadzamy globalny układ odniesienia w postaci

pocz tkowa

kartezja skiego układu współrz dnych i wyró niamy

konfiguracja

(ξ i)

aktualna

2 stany: konfiguracj pierwotn ξ (pocz tkow ,

nieobci on ) oraz konfiguracj ciała aktualn x

ξ

u ( xi)

(ko cow , odkształcon ). Deformacja o rodka pod

z

x

wzgl dem geometrycznym zostanie okre lona przez

znajomo zale no ci:

y

ui = xi − ξ i ,

x

gdzie ui = ui (u, v, w) jest wektorem przemieszczenia

z konfiguracji pierwotnej do aktualnej. Przemieszczenie jest to ró nica (geometryczna) wektorów wodz cych punktu w konfiguracji ko cowej i pocz tkowej.

Odkształceniem nazywamy zmian kształtu o rodka pod wpływem obci e . Deformacja ciała jest poj ciem szerszym, obejmuj cym obok odkształcenia tak e ruch sztywny o rodka.

Jako konfiguracj odniesienia mo emy przyj zarówno konfiguracj pierwotn jak i aktualn (ale tak e i pewn dowoln konfiguracj po redni ). Opis mo emy prowadzi dwojako:

− traktuj c współrz dne ξα jako niezale ne identyfikujemy w przestrzeni poło enie cz stek materialnych, interesuje nas ruch okre lonego punktu ciała - s to tzw. współrz dne Lagrange’a albo inaczej materialne,

− traktuj c współrz dne xi jako niezale ne identyfikujemy w przestrzeni poło enie punktów przestrzennych, interesuje nas co dzieje si w okre lonym punkcie przestrzeni - s to tzw.

współrz dne Eulera albo inaczej przestrzenne.

W mechanice ciała stałego u ywane s najcz ciej współrz dne materialne (okre la si poło enie wybranego punktu materialnego), w hydrodynamice - przestrzenne (dla ustalonego punktu przestrzeni okre la si pr dko przepływu, ci nienie itp.).

Tensory odkształce sko czonych

Pochodne wzgl dem współrz dnych materialnych i przestrzennych wyra si odpowiednio:

∂ xi = xi = u

α

i α + δ iα ,

ξα i = δα i − uα i,

,

,

,

,

ξ

∂ α

ich ró niczki zupełne odpowiednio:

dxi = xi dξ

d

,α

α ,

ξα =ξα, idxi ,

gdzie wielko ci x ξ

α ,

s tzw. gradientami deformacji, stanowi cymi podstawow miar i,

α , i

deformacji ciała.

Kwadraty długo ci elementarnego odcinka w konfiguracji pierwotnej i aktualnej zapiszemy w obu układach współrz dnych jako:

ds 2 = d

0

ξ

2

α dξα = dξα dξ β δαβ = ξα , i dxiξ β , j dx jδαβ , ds = dxi dxi = = xi α d

,

ξα x j,β dξβδ ij .

Ich ró nica, a wi c kwadrat zmiany długo ci elementarnego odcinka, wynosi: ( xi x

α

,

j,β δ ij − δαβ ) dξ dξ

ds 2 − ds 20 = dx

α

β

i dxi − dξ d

α ξα = (

δ i j −ξα, iξβ, jδαβ ) dxi dxj

Zdefiniujmy odpowiednio tensor odkształcenia lagran owski Eαβ i eulerowski eij , jako: 1

1

α

E β =

:

( xiα x

,

j,β δ ij − δαβ ) , ei j :=

(δ ij −ξα, iξβ, jδαβ ).

2

2

Wyra aj c zmienne niezale ne w powy szych definicjach poprzez współrz dne przemieszczenia, otrzymujemy:

A. Zaborski, Stan odkształcenia

1

Eαβ = ([ ui,α + δ iα )( u j,β + δ jβ )δ ij − δαβ ]

1

= = ( uα,β + uβ,α + uk,α uk,β ),

2

2

1

ei j = [δ i j − (δα i − uα, i )(δ jβ − uβ, j )δαβ ]

1

= = ( ui, j + u j, i − uα, iuα, j ).

2

2

Zało enie o małych pochodnych przemieszcze

Typowe warto ci pochodnych w konstrukcjach budowlanych to 10-6÷10-4. Przyjmujemy zatem zało enie o małych pochodnych przemieszcze : ∂ ui

∂ u

,

α << 1.

∂ x j

∂ξβ

W wyniku tego zało enia, znikaj ostatnie człony tensorów odkształce , zawieraj ce nieliniowo . Ponadto, dla małych przemieszcze zanika ró nica mi dzy konfiguracj pierwotn i odkształcon .

Dla naszych potrzeb nie jest potrzebne rozró nienie konfiguracji ciała, je li tylko b dziemy zdawali sobie spraw z uproszczonego sposobu rozumowania, w którym uto samiamy wszystkie wirtualne konfiguracje ciała (pocz tkow , po redni i ko cow .) Tensor Cauchy’ego

Uto samiaj c współrz dne materialne i przestrzenne dochodzimy do definicji tensora infinitezymalnych odkształce Cauchy’ego:

ε i j: 1

= ( ui j + u j i ) .

2

,

,

W zapisie in ynierskim powy sze zwi zki, zwane równaniami Cauchy’ego, maj posta :

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

ε

1

1

1

xx =

u ε, yy = v ε, zz = w ε, xy =

u + v ε,

,

2

xz =

u + w ε

2

y z =

v + w

∂ x

∂ y

∂ z

∂ y ∂ x

∂ z ∂ x

2 ∂ z ∂ y

Interpretacja składowych tensora odkształcenia

Rozpatrzmy 3 szczególne przypadki stanu odkształcenia:

u

∂

u

∂

u

∂

u +

dx

y

∂

y

u

y

∂

x

∂

y

y

v

∂

v

∂

x

∂

x

∂

dx

x

x

x

1. Wydłu enie wzgl dne. Dla pierwszego przypadku obliczmy wydłu enie wzgl dne jako stosunek wydłu enia do długo ci całkowitej w kierunku osi x. Otrzymujemy: u

∂ dx

u

∂

=

= ε x .

x

∂ dx

x

∂

Odkształcenia na przek tnej głównej przedstawiaj wzgl dn zmian długo ci (wydłu enie b d skrócenie wzgl dne) odcinka równoległego do osi układu współrz dnych.

2. Zmiana postaci elementarnej powierzchni. Obliczmy połow zmiany k ta prostego, jak wida bezpo rednio z rysunku:

∂ u ∂ v

1

+

= ε

2

xy

∂ y ∂ x

Tzw. odkształcenie postaciowe przedstawia połow zmiany k ta prostego.

3. Sztywny obrót. Mamy:

∂ u

∂

= − v

ε xy ≡ 0

ε i j ≡ .0

∂ y

∂ x

A. Zaborski, Stan odkształcenia

Znikanie tensora odkształcenia jest WKW ruchu ciała sztywnego.

Na podstawie powy szych rozwa a mo emy powiedzie , e współrz dne tensora odkształcenia na przek tnej głównej przedstawiaj wydłu enia wzgl dne odcinków równoległych do odpowiednich osi układu współrz dnych, a współrz dne poza przek tn —

odkształcenia postaciowe, czyli połowy zmiany k tów o jakie zmieniaj si k ty proste mi dzy odcinkami równoległymi do odpowiednich osi układu współrz dnych. Odkształcenia s bezwymiarowe.