Rozwiązanie zad 2c z zestawu 7
2. Uzasadnić liniowość przekształcenia, znaleźć jego macierz w bazie standardowej, obraz i jądro wraz z bazami,:
c)
4
3
F : R → R , F ( x , x , x , x = x − 2 x + 2 x − x , 2 x − x + x + x , − x + 5 x − 5 x + 4 x 1
2
3
4 )
( 1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4 )
W bazie standardowej macierzą odwzorowania jest macierz, której kolumnami są obrazy wektorów bazowych „zero-jedynkowych”:
1 − 2
2 −
1
Uwaga praktyczna: Wierszami macierzy są współczynniki przy A = 2 −1
1
1
x , x ... itd. kolejnych współrzędnych obrazu.
−
1
2
1
5 − 5
4
Jądrem odwzorowania F (Ker F) jest przestrzeń rozwiązań układu jednorodnego AX=0.
Z Tw Kroneckera-Capelli’ego wynika, że liczba parametrów wynosi p = n − rz( ) A i jest wymiarem Ker F.
Metodą eliminacji Gaussa doprowadzamy macierz A do postaci schodkowej zredukowanej i zapisujemy rozwiązanie w postaci wektorowej.
x
0
1
−
1
1 0
0
1
x
1
2
−1
A ≈ B =
0 1 − 1
1
X =
= t
t
1
+
x
1
2 0
0 0
0
0
3
x 4
0
1
Rząd macierzy rz( A)=2, więc p=4-2=2 (dwa parametry) czyli dim(Ker F)=2
( Uwaga. Nie ma X 0, bo układ jednorodny.)
0
−
1
1
−1
Wektory
v
v
tworzą bazę Ker F. Są dwa wektory w bazie, zgodnie z dim(Ker F)=2.
1 =
, 2 =
1
0
0
1
Zauważmy, że dim(Im F)=rz( A)=2, co jest zgodne z TW. dim( R 4)= dim(Ker F)+dim(Im F).
W bazie podprzestrzeni
3
Im F ⊂ R są więc dwa wektory.
Są nimi np. wektory-kolumny macierzy A odpowiadające kolumnom zero-jedynkowym (z wiądącymi jedynkami) w postaci schodkowej B.
1 − 2
Układ wektorów 2 , − 1
jest bazą Im F. (Oczywiście to nie jest jedyna baza Im F.)
−
1 5
Uzasadnienie:
Każdy wektor w ∈ Im F jest postaci w = F ( X ) = AX , czyli jest kombinacją liniową wektorów-kolumn macierzy A. Z tego wynika, że rz( A)=rz( A| v)=2 i niejednorodny układ równań AX=w ma rozwiązanie (nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch parametrów).
Rozwiązaniem szczególnym tego układu jest wektor X
t = t =
0 (przyjmujemy
0 w ogólnej postaci
1
2
wektorowej rozwiązania układu równań), co oznacza, że wektor w ∈ Im F jest kombinacją liniową pierwszych dwóch kolumn macierzy A. Te kolumny tworzą więc bazę Im F.
1 − 2
Uwaga Jeśli wektor w ∉ Lin 2 , − 1
(tzn. nie jest kombinacją wektorów z bazy), to niejednorodny
−
1 5
układ równań AX=w nie ma rozwiązań.
Łatwo widać (można też sprawdzić metodą eliminacji Gaussa), że układ równań o macierzy rozszerzonej
1 − 2
2 − 1 a − 2 b
[ A| B]
= 2 −1 1 1 2 a − b ma dla dowolnych a i b rozwiązanie szczególne ( a, b,0,0).
− 1
5 − 5
4 − a + b
5