11

Przykład 2

Niech T∈L(V,W). Je eli w przestrzeniach liniowych, V, W ograniczymy si go grup wektorów (V, +) i (W, +) to mamy

(1) ∀X,Y∈V T(X + Y) = T(X) + T(Y),

wi c T∈ Hom((V, +), (W, +))

Tak wi c przekształcenia liniowe (rozpatrywane w (V,+) i (W,+) ) s szczególnym przypadkiem homomorfizmów grup. Nie zdziwi nas wi c bardzo wiele podobie stw miedzy przekształceniami liniowymi a homomorfizmami, jakie odnotujemy w dalszej cz ci wykładu.

Definicja

Niech Φ∈Hom(G,M). Homomorfizm Φ nazywamy

• monomorfizmem, gdy Φ - jest ró nowarto ciowa

• epimorfizmem, gdy Φ jest odwzorowaniem „na”

• izomorfizmem, gdy Φ jest monomorfizmem i epimorfizmem.

Zbiory:

• KerΦ ≡ {x∈G: Φ(x) = e } - nazywamy j drem homomorfizmu Φ,

• ImΦ ≡ Φ(G) = {y∈M: ∃x∈G: y = Φ(x) } nazywamy obrazem homomorfizmu Φ.

Twierdzenie ( własno ci homomorfizmów)

Niech Φ∈Hom(G,M). Wówczas

I. KerΦ - jest podgrup grupy G

II. ImΦ - jest podgrup grupy M

III. Je eli e, e s elementami neutralnymi odpowiednio w (G, ) i (M, ⊗) , to Φ(e) = e .

Uwaga. Zupełnie analogiczna własno obowi zywała dla przekształce liniowych T∈L(V,W). Tam pisali my T(Θ) = Θ, cho Θ z V nie musiała by równa elementowi Θ z W. Tu w zwi zku z własno ci III. równie b dziemy pisali Φ(e) = e, cho elementy neutralne z G i M nie musz by równe. Okazuje si , e do nieporozumie prowadzi to nie b dzie.

IV. ∀ x∈G Φ(x -1) = [Φ(x)]-1 (czyli element odwrotny do x z G przeprowadzany jest w element odwrotny do Φ(x) w M).

V. Φ - jest monomorfizmem ⇔ KerΦ = {e}

VI. Φ - jest epimorfizmem ⇔ ImΦ = M

VII. Φ - jest izomorfizmem ⇔ KerΦ = {e} ∧ ImΦ = M

Dowód

Ad (I. ) – b dzie na wiczeniach.

Ad (II. ) Udowodnimy przy tej okazji nieco wi cej ni w tezie. Mianowicie przyjmijmy, e dla grupy (G, ) i struktury algebraicznej (M, ⊗) funkcja Φ: G → M ma własno (**) ∀ a, b∈ G Φ(a b) = Φ(a) ⊗ Φ(b)

( czyli (M, ⊗ ) nie musi by a grup )

12

Wówczas

(***) Φ(G) = {y∈M: ∃x∈G: y = Φ(x) } z działaniem „⊗” stanowi grup .

Mamy

1. e∈G Φ(e) ∈ Φ(G) Φ(G) ≠ ∅.

2. Niech a, b ∈ Φ(G). Wówczas .

(1) ∃ x, y ∈ G Φ(x) = a ∧ Φ(y) = b ∧ z ≡ x y∈G

Wi c

(2) a ⊗ b = Φ(x) ⊗ Φ(y) = Φ(x y) = Φ(z) ∈ Φ(G) ∧ z∈G.

st d

(3) a ⊗ b = Φ(z) ∈ Φ(G) , bo z∈G.

3. Niech a, b, c ∈ Φ(G). Wówczas

(1) ∃ x, y, z ∈ G Φ(x) = a ∧ Φ(y) = b ∧ Φ(z) = c ∧ x y∈G ∧ y z ∈G.

Wykorzystuj c ł czno „ ” w grupie (G, ) mamy

L ≡ ( a ⊗ b ) ⊗ c = (Φ(x) ⊗ Φ(y) ) ⊗ Φ(z) = Φ(x y) ⊗ Φ(z) = Φ((x y) z) = Φ(x (y z)) = Φ(x) ⊗ Φ(y z) =

Φ(x) ⊗ (Φ(y) ⊗ Φ(z) = a ⊗ (b ⊗ c) ≡ P,

co dowodzi ł czno ci „⊗” w M.

4. Niech e ≡ Φ(e) i niech a = Φ(x) ∈ Φ(G) ⊂ M dla x ∈G.

Wiemy z 1., e Φ(e)∈ Φ(G) i mamy

(1) e ⊗ a = e ⊗ Φ(x) = Φ(e) ⊗ Φ(x) = Φ (e x) = Φ(x) = a

(2) a ⊗ e = Φ(x) ⊗ e = Φ(x) ⊗ Φ(e) = Φ (x e) = Φ(x) = a

zatem e ≡ Φ(e) jest elementem neutralnym w półgrupie (Φ(G), ⊗).

5. Niech a = Φ(x) ∈ Φ(G) dla x ∈ G. Oczywi cie a ≡ Φ(x-1) ∈ Φ(G), i mamy (1) a ⊗ a = Φ(x-1) ⊗ Φ(x) = Φ(x-1 x) = Φ(e) = e

wi c a ≡ Φ(x-1) jest elementem odwrotnym do a = Φ(x) w (Φ(G), ⊗).

Udowodnili my tym samym, e (Φ(G), ⊗) jest grup nie zakładaj c przy tym, e (M, ⊗) jest grup . Wnioskujemy st d te , e

(@) Je eli e, e s elementami neutralnymi odpowiednio w (G, ) i (M, ⊗) , to Φ(e) = e .

(&) ∀ x∈G Φ(x -1) = [Φ(x)]-1

czyli punkty III. i IV. tezy twierdzenia.

Ad (V. ) – b dzie na wiczeniach.

Ad (VI. ) – dowód oczywisty i wynika wprost z własno ci odwzorowania „na”.

Ad (VII. ) – nie wymaga dowodu wynika bowiem z V. i VI.

13

Umowa

Zbiór wszystkich izomorficznych przekształce grupy (G, ) w grup (M,⊗) oznacza b dziemy symbolem Izo(G,M).

Definicja

Powiemy, e grupa (G, ) jest izomorficzna z grup (M, ⊗) je eli istnieje Φ ∈ Izo(G,M). Piszemy wtedy G ~M.

Twierdzenie ( o izomorfizmie grup)

Niech G, M, H b d grupami. Wówczas

I. G ~G

II. G ~M M~G

III. G ~M ∧ M~H G~H

Dowód

Ad I. ) Funkcja idG: G→G oczywi cie realizuje G ~G.

Ad II. ) Je eli G ~M, to istnieje Φ ∈ Izo(G,M). Poniewa

(1) Φ : G →M ,

wj

to istnieje

(2) Φ−1 : M →G

wj

Wyka emy, e

(3)

1

−

Φ ∈Hom(M,G)

Istotnie, niech a,b∈M = Φ(G). Wówczas

( )

1

(4) ∃ x,y∈G a = Φ(x) ∧ b = Φ(y) [x =

1

−

Φ (a) ∧ y =

1

−

Φ (b)]

Mamy

(5)

1

−

Φ (a ⊗ b) =

1

−

Φ (Φ(x) ⊗ Φ(y)) =

1

−

Φ (Φ(x y)) = x y =

1

−

Φ (a)

1

−

Φ (b)

co ko czy dowód (3) Z (1) i (3) wnioskujemy, e

1

−

Φ ∈ Izo(G,M), czyli M~G.

Ad III. ) Je eli G ~M oraz M~H , to istniej Φ ∈ Izo(G,M) oraz Ψ ∈Izo(M,H). Wtedy oczywi cie Φ Ψ : G →H .

wj

Łatwo te sprawdzi , e Φ Ψ ∈Hom(G,H), co pozostawiam czytelnikowi..

Uwagi

1. W zwi zku z powy szym twierdzeniem, zamiast mówi , e grupa (G, ) jest izomorficzna z grup (M, ⊗) mówimy, e grupy (G, ) oraz (M, ⊗) s izomorficzne.

2. Izomorfizm grup ma własno ci relacji równowa no ci (nie b d c jednak relacj )

14

3. Szczególnie interesuj ce b d dla nas izomorfizmy grup, z których choc jedna b dzie grup ilorazow . Poni ej podamy schemat według którego sprawdza b dziemy czy „ G / H ~

M”.

Schemat „ G / H ~ M”

3. Sprawdzamy, czy G, H, M s grupami (nie czynimy tego gdy wiemy, e która z wymienionych struktur jest grup , lub gdy np. w tre ci zadania na kolokwium napisano „wiedz c, e ta czy inna b d i wszystkie struktury … „s grupami.

4. Sprawdzamy, czy H jest [DN] G.

5. Dokonujemy tak zwanego opisu warstw, czyli odpowiadamy na pytanie „kiedy dwa ró ne reprezentanty wyznaczaj t sama warstw ”. Wygl da to najcz ciej tak przy ustalonych a,b∈G:

(*) aH = bH ⇔ … [tu stawiamy hipotez , któr nast pnie dowodzimy]

Wygodniej zaj si przy tym warunkiem

(**) b∈aH

równowa nym warunkowi (*), bo

„dowód ” a∈aH = bH a∈bH.

(*)

„dowód ⇐” b∈aH ∧ a∈aH, wi c z tw. o rozł czno ci warstw mamy aH = bH.

6. Definiujemy funkcj Φ: G/H → M

i sprawdzamy kolejno, czy:

a. Φ - nie zale y od wyboru reprezentanta warstw (czyli czy zdefiniowane Φ - jest funkcj ) odwołujemy si tu z reguły do opisu warsw.

b. Φ - jest homomorfizmem,

c. Φ - jest monomorfizmem (te cz sto do opisu warstw tu si gamu)

d. Φ - jest homomorfizmem,

Zilustrujemy to na przykładzie.

Przykład

Wykaza , e GL(n,F) / SL(n,F) ~ (F\{0}, . )

Mamy

1. Wiadomo, e GL(n,F), SL(n,F), i (F\{0}, . ) s grupami.

2. Wiadomo, e SL(n,F) jest [DN] GL(n,F)

3. Przyst pujemy do opisu warstw. Stawiamy hipotez

(**) ∀A, B ∈ GL(n,F) B ∈ ASL(n,F) ⇔ detA = detB.

Niech A, B ∈ GL(n,F).

dowód (** „ ”)

15

Je eli B ∈ ASL(n,F), to

(1) ∃H∈SL(n,F) B = A. H

St d poniewa detH = 1, mamy

(2) detB = det A. H = det A. det H = det A.

dowód (** „⇐”)

Zakładamy, e

(3) detA = detB.

WPU B = A.x równanie zmiennej x, w grupie GL(n,F). Wiadomo, e równania takiej postaci posiadaj rozwi zanie w grupie. Niech wi c H∈GL(n,F) b dzie rozwi zaniem tego równania. Mamy wtedy równo (4) B = A.H

St d

(5) H = A-1.B

i mamy

(6) detH = det A-1.B = det A-1.detB = (det A)-1.detB = (det A)-1.detA = 1

(3)

St d H∈SL(n,F) i wobec (4) mamy

(7) B = AH ∈ ASL(n,F), bo H∈SL(n,F).

Ko czy to dowód warunku (**), wi c (co wcze niej wykazali my) warunku

(8) ∀A,B∈GL(n,F) ASL(n,F) = BSL(n,F) ⇔ detA = detB.

4. Definiujemy funkcj Φ: GL(n,F)/SL(n,F) → F\{0} nast puj co:

(@) ∀ W = ASL(n,F) ∈ GL(n,F)/SL(n,F) Φ(W) = Φ( ASL(n,F)) ≡ detA

4a) Niech W = ASL(n,F) = BSL(n,F)∈ GL(n,F)/SL(n,F) z (**) mamy

(1) detA = detB

a st d poniewa

Φ(ASL n

( ,F)) = det A

Φ(W) =

Φ B

( SL n

( ,F)) = detB

wnioskujemy, e Φ - nie zale y od wyboru reprezentanta warstwy.

4b) Niech W = ASL(n,F) ; V = BSL(n,F)∈ GL(n,F)/SL(n,F). Mamy

(2) Φ(W ∗ V) = Φ(ASL(n,F) ∗ BSL(n,F))= Φ((A.B)SL(n,F))= detA.B = detA . detB =

= Φ(ASL(n,F). Φ(ASL(n,F) = Φ(W). Φ(V),

wi c Φ - jest homomorfizmem.

4c) W = ASL(n,F) ; V = BSL(n,F)∈ GL(n,F)/SL(n,F). je eli

(3) Φ(W) = Φ(V) Φ(ASL(n,F) = Φ(ASL(n,F) detA = detB

ASL(n,F) = BSL(n,F) W = V.

(*)

16

wi c Φ - jest monomorfizmem

4d) Niech r∈F\{0}. WPU macierz A = [aij]i,j∈P(n), gdzie

r dla i = j = 1

∀ i,j∈P(n) aij ≡ 1 dla i = j > 1 (poza główn przek tn zer, na głównej przek tnej r i dalej same jedynki) 0 dla

i ≠ j

Wida , e detA = r ≠ 0, wi c A ∈ GL(n,F). Niech W ≡ ASL(n,F). Mamy

Φ(W) = Φ( ASL(n,F)) = detA = r.

wi c Φ - jest epimorfizmem i w konsekwencji Φ - jest izomorfizmem.

Wykazali my wi c, e GL(n,F) / SL(n,F) ~ (F\{0}, . )

wiczenie domowe

Sprawdzi , czy grupa ilorazowa GL(2,R) / SL(2,R) jest abelowa ?

Twierdzenie ( podstawowe twierdzenie o homomorfizmie grup) Niech Φ∈Hom(G,M). Wówczas G/KerΦ ~ ImΦ.

Dowód

I. Poniewa Φ∈Hom(G,M), to (G, ) oraz (M, ⊗) s grupami. Z Własno ci homomorfizmów wiemy te , e ImΦ jest podgrup M, a wi c grup .

II. Wiemy, e KerΦ jest podgrup G. Wyka emy, e KerΦ jest dzielnikiem normalnym G.

Niech a∈G i h∈KerΦ. Wówczas

(1) Φ(h) = e

Zauwa my, e

(2) Φ(a h a-1) = Φ(a) ⊗ Φ(h) ⊗ Φ(a-1) = Φ(a) ⊗ e ⊗ ( ( ) 1

) −

Φ a

= e

( )

1

Zatem

(3) a h a-1) ∈ KerΦ

co oznacza, e KerΦ jest dzielnikiem normalnym G.

III. Opis warstw

Stawiamy hipotez

(*) ∀a,b∈G b∈aKerΦ ⇔ Φ(a) = Φ(b).

Niech a,b∈G

dowód hipotezy („ ”)

(4) b∈aKerΦ ∃h∈KerΦ b = a h Φ(b) = Φ(a h) = Φ(a) ⊗ Φ(h) = Φ(a) ⊗ e = Φ(a),

17

co ko czy dowód („ ”).

dowód hipotezy („⇐”)

Zakładamy, e

(5) Φ(a) = Φ(b).

WPU równanie b = a x, zmiennej x w grupie (G, ). Wiadomo, e ma ono rozwi zanie c∈G. Mamy wiec równo

(6) b = a c | a-1

(7) c = a-1 b

wi c

(8) Φ(c) = Φ( a-1 b) = Φ(a-1) ⊗ Φ(b) = ( ( ) 1

) −

Φ a

⊗ Φ(b) = ( ( ) 1

) −

Φ a

⊗ Φ(a) = e,

(5)

co oznacza, e

(9) c∈KerΦ

i mamy

(10) b = a c ∈ aKerΦ,

(6)

co ko czy dowód („⇐”).

Wobec (*) otrzymujemy

(**) ∀a,b∈G bKerΦ = aKerΦ ⇔ Φ(a) = Φ(b).

IV. Definiujemy funkcj F: G/KerΦ → ImΦ nast puj co:

(11) ∀W = aKerΦ F(W) = F(aKerΦ) ≡ Φ(a)

IVa) Niech W = aKerΦ = bKerΦ ∈ G/KerΦ. z (**) mamy

(12) Φ(a) = Φ(b)

st d poniewa

(

F aKerΦ) = Φ(a)

F(W) =

(

F bKerΦ) = Φ(b)

wnioskujemy, e F - nie zale y od wyboru reprezentanta warstwy.

IVb) Niech W1 = aKerΦ ; W2 = bKerΦ ∈ G/KerΦ. Mamy

(13) F(W1 ∗ W2) = F(aKerΦ ∗ bKerΦ) = F((a b)KerΦ) = Φ(a b) = Φ(a)⊗Φ(b) = F(aKerΦ) ⊗ F(aKerΦ) =

= F(W1) ⊗ F(W2),

co oznacza, e F∈Hom(G/KerΦ, ImΦ)

IVc) Niech W1 = aKerΦ ; W2 = bKerΦ ∈ G/KerΦ. Je eli F(W1) = F(W2) , to (14) Φ(a) = Φ(b).

wi c wobec (**) mamy

(15) aKerΦ = bKerΦ

18

czyli W1 = W2, co wiadczy o ró nowarto ciowo ci F (F jest wi c monomorfizmem).

IVd) Niech r∈ImΦ. Wówczas

(16) ∃a∈G r = Φ(a) = F(aKerΦ)

Niech W ≡ aKerΦ ∈ G/KerΦ. Wobec (16) mamy

(17) r = F(W),

czyli F jest epimorfizmem, co ko czy dowód.

Przykład

W oparciu o powy sze twierdzenie wyka emy, e GL(n,F) / SL(n,F) ~ (F\{0}, . ) Definiujemy Φ: GL(n,F) → (F\{0}, . ) nast puj co

(1) ∀ A ∈ GL(n,F) Φ(A) ≡ detA

Wyka emy, e

(2) Φ∈Hom(GL(n,F); (F\{0}, . ).

Istotnie niech A , B ∈ GL(n,F). Mamy (wykorzystuj c twierdzenie Cauchy’ego)

(3) Φ(A.B) ≡ det(A.B) = detA . det.B = Φ(A). Φ(.B)

Wyka emy teraz, e

(4) KerΦ = SL(n,F)

Istotnie. Niech H∈GL(n,F). Mamy

(5) H ∈ KerΦ = {A∈GL(n,F): detA = 1} ⇔ Φ(H) = detH = 1 ⇔ H ∈ SL(n,F).

Wyka emy teraz, e

(6) ImΦ = F\{0}

Oczywi cie ImΦ ⊂ F\{0} (dla A ∈GL(n,F) → Φ(A) = detA ∈F ∧ detA ≠ 0 Φ(A) = detA ∈F\{0}) Niech wi c r∈ F\{0}. WPU macierz A = [aij]i,j∈P(n), gdzie

r dla i = j = 1

∀ i,j∈P(n) aij ≡ 1 dla i = j > 1 (poza główn przek tn zer, na głównej przek tnej r i dalej same jedynki) 0 dla

i ≠ j

Wida , e detA = r ≠ 0, wi c A ∈ GL(n,F).

Mamy Φ(A) = detA = r. St d r ∈ ImΦ. I mamy F\{0} ⊂ ImΦ.

Skonstruowali my wi c homomorfizm Φ: GL(n,F) → (F\{0}, . ), dla którego:

(7) KerΦ = SL(n,F) ∧ ImΦ = F\{0}

W my l podstawowego twierdzenia o homomorfizmie grup (G/KerΦ ~ ImΦ), mamy:

(8) GL(n,F) / SL(n,F) ~ (F\{0}, . ).