11
Przykład 2
Niech T∈L(V,W). Je eli w przestrzeniach liniowych, V, W ograniczymy si go grup wektorów (V, +) i (W, +) to mamy
(1) ∀X,Y∈V T(X + Y) = T(X) + T(Y),
wi c T∈ Hom((V, +), (W, +))
Tak wi c przekształcenia liniowe (rozpatrywane w (V,+) i (W,+) ) s szczególnym przypadkiem homomorfizmów grup. Nie zdziwi nas wi c bardzo wiele podobie stw miedzy przekształceniami liniowymi a homomorfizmami, jakie odnotujemy w dalszej cz ci wykładu.
Definicja
Niech Φ∈Hom(G,M). Homomorfizm Φ nazywamy
• monomorfizmem, gdy Φ - jest ró nowarto ciowa
• epimorfizmem, gdy Φ jest odwzorowaniem „na”
• izomorfizmem, gdy Φ jest monomorfizmem i epimorfizmem.
Zbiory:
• KerΦ ≡ {x∈G: Φ(x) = e } - nazywamy j drem homomorfizmu Φ,
• ImΦ ≡ Φ(G) = {y∈M: ∃x∈G: y = Φ(x) } nazywamy obrazem homomorfizmu Φ.
Twierdzenie ( własno ci homomorfizmów)
Niech Φ∈Hom(G,M). Wówczas
I. KerΦ - jest podgrup grupy G
II. ImΦ - jest podgrup grupy M
III. Je eli e, e s elementami neutralnymi odpowiednio w (G, ) i (M, ⊗) , to Φ(e) = e .
Uwaga. Zupełnie analogiczna własno obowi zywała dla przekształce liniowych T∈L(V,W). Tam pisali my T(Θ) = Θ, cho Θ z V nie musiała by równa elementowi Θ z W. Tu w zwi zku z własno ci III. równie b dziemy pisali Φ(e) = e, cho elementy neutralne z G i M nie musz by równe. Okazuje si , e do nieporozumie prowadzi to nie b dzie.
IV. ∀ x∈G Φ(x -1) = [Φ(x)]-1 (czyli element odwrotny do x z G przeprowadzany jest w element odwrotny do Φ(x) w M).
V. Φ - jest monomorfizmem ⇔ KerΦ = {e}
VI. Φ - jest epimorfizmem ⇔ ImΦ = M
VII. Φ - jest izomorfizmem ⇔ KerΦ = {e} ∧ ImΦ = M
Dowód
Ad (I. ) – b dzie na wiczeniach.
Ad (II. ) Udowodnimy przy tej okazji nieco wi cej ni w tezie. Mianowicie przyjmijmy, e dla grupy (G, ) i struktury algebraicznej (M, ⊗) funkcja Φ: G → M ma własno (**) ∀ a, b∈ G Φ(a b) = Φ(a) ⊗ Φ(b)
( czyli (M, ⊗ ) nie musi by a grup )
12
Wówczas
(***) Φ(G) = {y∈M: ∃x∈G: y = Φ(x) } z działaniem „⊗” stanowi grup .
Mamy
1. e∈G Φ(e) ∈ Φ(G) Φ(G) ≠ ∅.
2. Niech a, b ∈ Φ(G). Wówczas .
(1) ∃ x, y ∈ G Φ(x) = a ∧ Φ(y) = b ∧ z ≡ x y∈G
Wi c
(2) a ⊗ b = Φ(x) ⊗ Φ(y) = Φ(x y) = Φ(z) ∈ Φ(G) ∧ z∈G.
st d
(3) a ⊗ b = Φ(z) ∈ Φ(G) , bo z∈G.
3. Niech a, b, c ∈ Φ(G). Wówczas
(1) ∃ x, y, z ∈ G Φ(x) = a ∧ Φ(y) = b ∧ Φ(z) = c ∧ x y∈G ∧ y z ∈G.
Wykorzystuj c ł czno „ ” w grupie (G, ) mamy
L ≡ ( a ⊗ b ) ⊗ c = (Φ(x) ⊗ Φ(y) ) ⊗ Φ(z) = Φ(x y) ⊗ Φ(z) = Φ((x y) z) = Φ(x (y z)) = Φ(x) ⊗ Φ(y z) =
Φ(x) ⊗ (Φ(y) ⊗ Φ(z) = a ⊗ (b ⊗ c) ≡ P,
co dowodzi ł czno ci „⊗” w M.
4. Niech e ≡ Φ(e) i niech a = Φ(x) ∈ Φ(G) ⊂ M dla x ∈G.
Wiemy z 1., e Φ(e)∈ Φ(G) i mamy
(1) e ⊗ a = e ⊗ Φ(x) = Φ(e) ⊗ Φ(x) = Φ (e x) = Φ(x) = a
(2) a ⊗ e = Φ(x) ⊗ e = Φ(x) ⊗ Φ(e) = Φ (x e) = Φ(x) = a
zatem e ≡ Φ(e) jest elementem neutralnym w półgrupie (Φ(G), ⊗).
5. Niech a = Φ(x) ∈ Φ(G) dla x ∈ G. Oczywi cie a ≡ Φ(x-1) ∈ Φ(G), i mamy (1) a ⊗ a = Φ(x-1) ⊗ Φ(x) = Φ(x-1 x) = Φ(e) = e
wi c a ≡ Φ(x-1) jest elementem odwrotnym do a = Φ(x) w (Φ(G), ⊗).
Udowodnili my tym samym, e (Φ(G), ⊗) jest grup nie zakładaj c przy tym, e (M, ⊗) jest grup . Wnioskujemy st d te , e
(@) Je eli e, e s elementami neutralnymi odpowiednio w (G, ) i (M, ⊗) , to Φ(e) = e .
(&) ∀ x∈G Φ(x -1) = [Φ(x)]-1
czyli punkty III. i IV. tezy twierdzenia.
Ad (V. ) – b dzie na wiczeniach.
Ad (VI. ) – dowód oczywisty i wynika wprost z własno ci odwzorowania „na”.
Ad (VII. ) – nie wymaga dowodu wynika bowiem z V. i VI.
13
Umowa
Zbiór wszystkich izomorficznych przekształce grupy (G, ) w grup (M,⊗) oznacza b dziemy symbolem Izo(G,M).
Definicja
Powiemy, e grupa (G, ) jest izomorficzna z grup (M, ⊗) je eli istnieje Φ ∈ Izo(G,M). Piszemy wtedy G ~M.
Twierdzenie ( o izomorfizmie grup)
Niech G, M, H b d grupami. Wówczas
I. G ~G
II. G ~M M~G
III. G ~M ∧ M~H G~H
Dowód
Ad I. ) Funkcja idG: G→G oczywi cie realizuje G ~G.
Ad II. ) Je eli G ~M, to istnieje Φ ∈ Izo(G,M). Poniewa
(1) Φ : G →M ,
wj
to istnieje
(2) Φ−1 : M →G
wj
Wyka emy, e
(3)
1
−
Φ ∈Hom(M,G)
Istotnie, niech a,b∈M = Φ(G). Wówczas
( )
1
(4) ∃ x,y∈G a = Φ(x) ∧ b = Φ(y) [x =
1
−
Φ (a) ∧ y =
1
−
Φ (b)]
Mamy
(5)
1
−
Φ (a ⊗ b) =
1
−
Φ (Φ(x) ⊗ Φ(y)) =
1
−
Φ (Φ(x y)) = x y =
1
−
Φ (a)
1
−
Φ (b)
co ko czy dowód (3) Z (1) i (3) wnioskujemy, e
1
−
Φ ∈ Izo(G,M), czyli M~G.
Ad III. ) Je eli G ~M oraz M~H , to istniej Φ ∈ Izo(G,M) oraz Ψ ∈Izo(M,H). Wtedy oczywi cie Φ Ψ : G →H .
wj
Łatwo te sprawdzi , e Φ Ψ ∈Hom(G,H), co pozostawiam czytelnikowi..
Uwagi
1. W zwi zku z powy szym twierdzeniem, zamiast mówi , e grupa (G, ) jest izomorficzna z grup (M, ⊗) mówimy, e grupy (G, ) oraz (M, ⊗) s izomorficzne.
2. Izomorfizm grup ma własno ci relacji równowa no ci (nie b d c jednak relacj )
14
3. Szczególnie interesuj ce b d dla nas izomorfizmy grup, z których choc jedna b dzie grup ilorazow . Poni ej podamy schemat według którego sprawdza b dziemy czy „ G / H ~
M”.
Schemat „ G / H ~ M”
3. Sprawdzamy, czy G, H, M s grupami (nie czynimy tego gdy wiemy, e która z wymienionych struktur jest grup , lub gdy np. w tre ci zadania na kolokwium napisano „wiedz c, e ta czy inna b d i wszystkie struktury … „s grupami.
4. Sprawdzamy, czy H jest [DN] G.
5. Dokonujemy tak zwanego opisu warstw, czyli odpowiadamy na pytanie „kiedy dwa ró ne reprezentanty wyznaczaj t sama warstw ”. Wygl da to najcz ciej tak przy ustalonych a,b∈G:
(*) aH = bH ⇔ … [tu stawiamy hipotez , któr nast pnie dowodzimy]
Wygodniej zaj si przy tym warunkiem
(**) b∈aH
równowa nym warunkowi (*), bo
„dowód ” a∈aH = bH a∈bH.
(*)
„dowód ⇐” b∈aH ∧ a∈aH, wi c z tw. o rozł czno ci warstw mamy aH = bH.
6. Definiujemy funkcj Φ: G/H → M
i sprawdzamy kolejno, czy:
a. Φ - nie zale y od wyboru reprezentanta warstw (czyli czy zdefiniowane Φ - jest funkcj ) odwołujemy si tu z reguły do opisu warsw.
b. Φ - jest homomorfizmem,
c. Φ - jest monomorfizmem (te cz sto do opisu warstw tu si gamu)
d. Φ - jest homomorfizmem,
Zilustrujemy to na przykładzie.
Przykład
Wykaza , e GL(n,F) / SL(n,F) ~ (F\{0}, . )
Mamy
1. Wiadomo, e GL(n,F), SL(n,F), i (F\{0}, . ) s grupami.
2. Wiadomo, e SL(n,F) jest [DN] GL(n,F)
3. Przyst pujemy do opisu warstw. Stawiamy hipotez
(**) ∀A, B ∈ GL(n,F) B ∈ ASL(n,F) ⇔ detA = detB.
Niech A, B ∈ GL(n,F).
dowód (** „ ”)
15
Je eli B ∈ ASL(n,F), to
(1) ∃H∈SL(n,F) B = A. H
St d poniewa detH = 1, mamy
(2) detB = det A. H = det A. det H = det A.
dowód (** „⇐”)
Zakładamy, e
(3) detA = detB.
WPU B = A.x równanie zmiennej x, w grupie GL(n,F). Wiadomo, e równania takiej postaci posiadaj rozwi zanie w grupie. Niech wi c H∈GL(n,F) b dzie rozwi zaniem tego równania. Mamy wtedy równo (4) B = A.H
St d
(5) H = A-1.B
i mamy
(6) detH = det A-1.B = det A-1.detB = (det A)-1.detB = (det A)-1.detA = 1
(3)
St d H∈SL(n,F) i wobec (4) mamy
(7) B = AH ∈ ASL(n,F), bo H∈SL(n,F).
Ko czy to dowód warunku (**), wi c (co wcze niej wykazali my) warunku
(8) ∀A,B∈GL(n,F) ASL(n,F) = BSL(n,F) ⇔ detA = detB.
4. Definiujemy funkcj Φ: GL(n,F)/SL(n,F) → F\{0} nast puj co:
(@) ∀ W = ASL(n,F) ∈ GL(n,F)/SL(n,F) Φ(W) = Φ( ASL(n,F)) ≡ detA
4a) Niech W = ASL(n,F) = BSL(n,F)∈ GL(n,F)/SL(n,F) z (**) mamy
(1) detA = detB
a st d poniewa
Φ(ASL n
( ,F)) = det A
Φ(W) =
Φ B
( SL n
( ,F)) = detB
wnioskujemy, e Φ - nie zale y od wyboru reprezentanta warstwy.
4b) Niech W = ASL(n,F) ; V = BSL(n,F)∈ GL(n,F)/SL(n,F). Mamy
(2) Φ(W ∗ V) = Φ(ASL(n,F) ∗ BSL(n,F))= Φ((A.B)SL(n,F))= detA.B = detA . detB =
= Φ(ASL(n,F). Φ(ASL(n,F) = Φ(W). Φ(V),
wi c Φ - jest homomorfizmem.
4c) W = ASL(n,F) ; V = BSL(n,F)∈ GL(n,F)/SL(n,F). je eli
(3) Φ(W) = Φ(V) Φ(ASL(n,F) = Φ(ASL(n,F) detA = detB
ASL(n,F) = BSL(n,F) W = V.
(*)
16
wi c Φ - jest monomorfizmem
4d) Niech r∈F\{0}. WPU macierz A = [aij]i,j∈P(n), gdzie
r dla i = j = 1
∀ i,j∈P(n) aij ≡ 1 dla i = j > 1 (poza główn przek tn zer, na głównej przek tnej r i dalej same jedynki) 0 dla
i ≠ j
Wida , e detA = r ≠ 0, wi c A ∈ GL(n,F). Niech W ≡ ASL(n,F). Mamy
Φ(W) = Φ( ASL(n,F)) = detA = r.
wi c Φ - jest epimorfizmem i w konsekwencji Φ - jest izomorfizmem.
Wykazali my wi c, e GL(n,F) / SL(n,F) ~ (F\{0}, . )
wiczenie domowe
Sprawdzi , czy grupa ilorazowa GL(2,R) / SL(2,R) jest abelowa ?
Twierdzenie ( podstawowe twierdzenie o homomorfizmie grup) Niech Φ∈Hom(G,M). Wówczas G/KerΦ ~ ImΦ.
Dowód
I. Poniewa Φ∈Hom(G,M), to (G, ) oraz (M, ⊗) s grupami. Z Własno ci homomorfizmów wiemy te , e ImΦ jest podgrup M, a wi c grup .
II. Wiemy, e KerΦ jest podgrup G. Wyka emy, e KerΦ jest dzielnikiem normalnym G.
Niech a∈G i h∈KerΦ. Wówczas
(1) Φ(h) = e
Zauwa my, e
(2) Φ(a h a-1) = Φ(a) ⊗ Φ(h) ⊗ Φ(a-1) = Φ(a) ⊗ e ⊗ ( ( ) 1
) −
Φ a
= e
( )
1
Zatem
(3) a h a-1) ∈ KerΦ
co oznacza, e KerΦ jest dzielnikiem normalnym G.
III. Opis warstw
Stawiamy hipotez
(*) ∀a,b∈G b∈aKerΦ ⇔ Φ(a) = Φ(b).
Niech a,b∈G
dowód hipotezy („ ”)
(4) b∈aKerΦ ∃h∈KerΦ b = a h Φ(b) = Φ(a h) = Φ(a) ⊗ Φ(h) = Φ(a) ⊗ e = Φ(a),
17
co ko czy dowód („ ”).
dowód hipotezy („⇐”)
Zakładamy, e
(5) Φ(a) = Φ(b).
WPU równanie b = a x, zmiennej x w grupie (G, ). Wiadomo, e ma ono rozwi zanie c∈G. Mamy wiec równo
(6) b = a c | a-1
(7) c = a-1 b
wi c
(8) Φ(c) = Φ( a-1 b) = Φ(a-1) ⊗ Φ(b) = ( ( ) 1
) −
Φ a
⊗ Φ(b) = ( ( ) 1
) −
Φ a
⊗ Φ(a) = e,
(5)
co oznacza, e
(9) c∈KerΦ
i mamy
(10) b = a c ∈ aKerΦ,
(6)
co ko czy dowód („⇐”).
Wobec (*) otrzymujemy
(**) ∀a,b∈G bKerΦ = aKerΦ ⇔ Φ(a) = Φ(b).
IV. Definiujemy funkcj F: G/KerΦ → ImΦ nast puj co:
(11) ∀W = aKerΦ F(W) = F(aKerΦ) ≡ Φ(a)
IVa) Niech W = aKerΦ = bKerΦ ∈ G/KerΦ. z (**) mamy
(12) Φ(a) = Φ(b)
st d poniewa
(
F aKerΦ) = Φ(a)
F(W) =
(
F bKerΦ) = Φ(b)
wnioskujemy, e F - nie zale y od wyboru reprezentanta warstwy.
IVb) Niech W1 = aKerΦ ; W2 = bKerΦ ∈ G/KerΦ. Mamy
(13) F(W1 ∗ W2) = F(aKerΦ ∗ bKerΦ) = F((a b)KerΦ) = Φ(a b) = Φ(a)⊗Φ(b) = F(aKerΦ) ⊗ F(aKerΦ) =
= F(W1) ⊗ F(W2),
co oznacza, e F∈Hom(G/KerΦ, ImΦ)
IVc) Niech W1 = aKerΦ ; W2 = bKerΦ ∈ G/KerΦ. Je eli F(W1) = F(W2) , to (14) Φ(a) = Φ(b).
wi c wobec (**) mamy
(15) aKerΦ = bKerΦ
18
czyli W1 = W2, co wiadczy o ró nowarto ciowo ci F (F jest wi c monomorfizmem).
IVd) Niech r∈ImΦ. Wówczas
(16) ∃a∈G r = Φ(a) = F(aKerΦ)
Niech W ≡ aKerΦ ∈ G/KerΦ. Wobec (16) mamy
(17) r = F(W),
czyli F jest epimorfizmem, co ko czy dowód.
Przykład
W oparciu o powy sze twierdzenie wyka emy, e GL(n,F) / SL(n,F) ~ (F\{0}, . ) Definiujemy Φ: GL(n,F) → (F\{0}, . ) nast puj co
(1) ∀ A ∈ GL(n,F) Φ(A) ≡ detA
Wyka emy, e
(2) Φ∈Hom(GL(n,F); (F\{0}, . ).
Istotnie niech A , B ∈ GL(n,F). Mamy (wykorzystuj c twierdzenie Cauchy’ego)
(3) Φ(A.B) ≡ det(A.B) = detA . det.B = Φ(A). Φ(.B)
Wyka emy teraz, e
(4) KerΦ = SL(n,F)
Istotnie. Niech H∈GL(n,F). Mamy
(5) H ∈ KerΦ = {A∈GL(n,F): detA = 1} ⇔ Φ(H) = detH = 1 ⇔ H ∈ SL(n,F).
Wyka emy teraz, e
(6) ImΦ = F\{0}
Oczywi cie ImΦ ⊂ F\{0} (dla A ∈GL(n,F) → Φ(A) = detA ∈F ∧ detA ≠ 0 Φ(A) = detA ∈F\{0}) Niech wi c r∈ F\{0}. WPU macierz A = [aij]i,j∈P(n), gdzie
r dla i = j = 1
∀ i,j∈P(n) aij ≡ 1 dla i = j > 1 (poza główn przek tn zer, na głównej przek tnej r i dalej same jedynki) 0 dla
i ≠ j
Wida , e detA = r ≠ 0, wi c A ∈ GL(n,F).
Mamy Φ(A) = detA = r. St d r ∈ ImΦ. I mamy F\{0} ⊂ ImΦ.
Skonstruowali my wi c homomorfizm Φ: GL(n,F) → (F\{0}, . ), dla którego:
(7) KerΦ = SL(n,F) ∧ ImΦ = F\{0}
W my l podstawowego twierdzenia o homomorfizmie grup (G/KerΦ ~ ImΦ), mamy:
(8) GL(n,F) / SL(n,F) ~ (F\{0}, . ).