Wyrażeniem algebraicznym nazywamy jedną lub więcej liczb zapisanych cyframi lub literami i połączonych znakami działań i nawiasami wskazującymi kolejność ich wykonywania, np.
3 a
4 a + 3 b,
− 8,
( a + b)⋅( a
3 − b
6 ),
− 7 .
4 b
4 x
x + 2 y,
+ 3 ,
( x − y)⋅( x + 2 y).
7 y
3 x
x + 4 a,
( x + a)⋅( x − 2 a),
.
7 a
Równością algebraiczną lub krótko wzorem nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości, np.
4 x = 2 y + c , y = ax + b , 2
a + b = x .
y = 2 x + 4 , 4 x = y + c , 2
x − a = a .
x = 4 y + b , 2 y = x + b , 3
a + b = c .
Iloczyn n jednakowych liczb rzeczywistych a nazywamy n-tą potęgą liczby a i piszemy:
n
a = a ⋅ ⋅
⋅
4
1 a
4
2 3
K a .
n czynników
Liczbę a nazywamy podstawą, zaś liczbę n wykładnikiem potęgi.
Jeżeli wykładniki są liczbami naturalnymi, to
n
m
n+ m
a ⋅ a = a
,
n
a
n
m
n− m
a : a
=
= a
( a ≠ ,
0 n > m),
m
a
( a⋅ b) n
n
n
= a ⋅ b ,
m
( na)
n ⋅ m
= a ,
n
n
a
a
=
.
n
b
b
Jeżeli założymy, że a > 0 i b > 0 , to powyższe wzory będą prawdziwe także wtedy, gdy wykładniki będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
1
W przypadku potęg o wykładniku rzeczywistym należy pamiętać, że 0
a = 1 dla a ≠ 0 ,
−
1
n
a
=
a, n ∈ R , a ≠ 0 .
n
a
Działaniem odwrotnym względem potęgowania jest pierwiastkowanie, a mianowicie pierwiastkiem arytmetycznym stopnia n > 1 z liczby a nazywamy taką liczbę b, której n-ta potęga jest równa liczbie a i piszemy
n a = b .
Z powyższej definicji wynika, że gdy n jest liczbą parzystą, wtedy pierwiastek istnieje tylko dla liczb nieujemnych, a gdy n jest liczbą nieparzysta, wtedy pierwiastek istnieje dla wszystkich liczb rzeczywistych.
W działaniach na pierwiastkach pomocne są następujące wzory:
n
n
n a b = a ⋅ b
( a ≥ ,0 b ≥ 0),
n
a
a
n
=
( a ≥ ,0 b > 0),
n
b
b
n
n m
m a =
a ( a ≥ 0) ,
n
m
a
= ( a) m
n
( a ≥ 0) .
Jednomianem nazywamy bądź to jedną liczbę, bądź to iloczyn liczb zapisanych cyframi lub literami, np.
6,
2,
0,
-4,
x,
a 3
4
b ,
3
2
x y .
3,
0,
-3,
a,
x 2
3
y ,
7
8
xy c .
-3,
2,
1,
x,
ab,
2
3
7
x y z .
Wielomianem nazywamy sumę algebraiczną jednomianów.
W zależności od liczby składników rozróżniamy: dwumiany, trójmiany itd., np.
x 4 + a
3 x jest dwumianem, a 3 2
x + 5 x − 6 trójmianem.
Stopniem wielomianu ze względu na daną literę nazywamy największy ze stopni jego składników ze względu na tę literę, np. dwumian x 4 + a 3 x jest stopnia czwartego ze względu
na literę x, a stopnia pierwszego ze względu na literę a.
2
Stopniem wielomianu ze względu na zespół występujących w nim liter nazywamy najwyższy ze stopni jego składników ze względu na zespół liter a oraz x.
Jeżeli w wielomianie znajdują się jednomiany podobne, tzn. różniące się tylko współczynnikami, to dodajemy je do siebie. Mówimy wtedy, że dokonujemy redukcji wyrazów podobnych, np.
5 2
a b + 3 b + 4 2
a b − 7 b = 9 2
a b − 4 .
b
3
7
xy + 3 x + 2
7
xy + 5 x = 5
7
xy + 8 .
x
2 2
x y + 6 y − 4 2
x y + 2 y = −2 2
x y + 8 .
y
Aby do wielomianu A dodać wielomian B, należy do wielomianu A dodać wszystkie wyrazy wielomianu B (z zachowaniem ich znaków), a następnie wykonać redukcję wyrazów podobnych. W przypadku odejmowania postępujemy tak samo, zmieniając uprzednio znaki współczynników liczbowych wielomianu B.
Aby wielomian pomnożyć przez wielomian, należy każdy wyraz jednego wielomianu pomnożyć przez każdy wyraz drugiego wielomianu, otrzymane iloczyny dodać oraz wykonać redukcję wyrazów podobnych.
Jeżeli wielomian W ( x) jest iloczynem dwóch wielomianów (
A x) i B( x), to mówimy,
że wielomian
(
A x) jest podzielnikiem wielomianu W ( x), przy czym B( x) jest ilorazem W ( x): (
A x)= B( x). Dzielenie wielomianów nie zawsze jest wykonalne. Warunkiem koniecznym (lecz nie dostatecznym) na to, aby wielomian (
A x) był podzielnikiem
wielomianu W ( x) jest, by
Stopień wielomianu (
A x) ≤ stopniowi wielomianu W ( x).
Jeżeli warunek konieczny jest spełniony, a
(
A x) nie jest stałą, to istnieją takie dwa
wielomiany B( x) i R( x), że
W ( x) = (
A x)⋅ B( x) + R( x),
przy czym
stopień wielomianu R( x)<stopnia wielomianu (
A x).
3
Wielomian R( x) nazywamy resztą dzielenia W ( x) przez (
A x). Jeżeli R( x) = 0 , to (
A x) jest
podzielnikiem wielomianu W ( x) i na odwrót.
Niezwykle pomocne przy wykonywaniu działań za wyrażeniach algebraicznych są wzory nazywane wzorami skróconego mnożenia:
( a + b)2
2
2
= a + 2 ab + b
kwadrat sumy,
( a − b)2
2
2
= a − 2 ab + b
kwadrat różnicy,
a 2 − b 2 = ( a − b)( a + b) różnica kwadratów,
( a + b)3
3
2
2
3
= a + 3 a b + 3 ab + b sześcian sumy, ( a − b)3
3
2
2
3
= a − 3 a b + 3 ab − b
sześcian różnicy,
3
3
a + b = ( a + b)( 2
2
a − ab + b )
suma sześcianów,
3
3
a − b = ( a − b)( 2
2
a + ab + b )
różnica sześcianów.
4