Pochodne funkcji
WILiŚ, Budownictwo, sem.I, 2013/2014
Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi
dr L.Kujawski
Zad.1 Korzystając z definicji, obliczyć pochodne następujących funkcji w podanym punkcie x0: x + 1
1.1 f ( x) = 4 2
x + 2 x, x = 2
−
1.2 f ( x) =
, x = 3
1.3 f ( x) = 2 3 x − 5, x = 3
0
0
x − 2
0
π
1.4 f ( x) = cos x, x =
.
0
3
Zad.2 Obliczyć pochodne następujących funkcji: 2
7
x
1
−
3
6
3
x
⋅ x
2.1 f ( x) = −
− 2
5
x +
x − 3 2.2 f ( x) =
2.3 f ( x) = ex ⋅ (3
3
x− +
x )
7
5
3
4
x
5 2
x − x
4
2.4 f ( x) =
2.5 f ( x) =
2.6 f ( x)
5
= x + 5 ln x + 5
2
x + 2 x − 3
4
x
x + 4
x
2
2.7 f ( x) = cos 4 x
3
+ ln x
2.8
− sin x
f ( x) = arctg(ln x) + e 2.9 f ( x) =
cos x
2.10 f ( x) = x 2 ⋅ arcsin 3 x 2.11
2
2
f ( x) = ln x + ln x 2.12
2 x
f ( x) = ln arctg e
2
x + 4
2.13 f ( x) =
2
5 ln3
+
5 x
2.14 f ( x) = arcctg
2.15 f ( x) = arccos
x
1 − 4 x
ln x
2.16 f ( x) = arccos2 8
( x − )
2
2.17 f ( x) = 2sin 4 x ⋅ log ( 2
x − )
4 2.18 f ( x) = ln
2
2 x
2
5 x − 6
2.19 f ( x) = sin2 (log3 x) 2.20 f ( x) = ln 2 x +
4 x + 1
2.21 f ( x) =
2 x + 4
x 2 + 1 −1
2.22 f ( x) = ln
2.23
x
f ( x) = (ln x)
2.24
arcsin x
f ( x) = x
x
2.25
sin x
f ( x) = (cos x)
2.26 f ( x) = cos( ln x
x
)
2.27
x
f ( x) =
cos x .
Zad.3 Obliczyć drugie pochodne następujących funkcji: 1
3.1 f ( x) = ln(ln x) 3.2 f ( x) =
tg 2 x + ln cos x
3.3 f ( x) = arctg 2 x 2
3.4
x
f ( x) = x ⋅ 7
3.5 f ( x
4
) = cos x
3.6
x
f ( x) = x .
2
Zad.4 Dana jest krzywa f ( x)
− x
= e
i jej punkt P
,
1
(
1
−
=
e ) . Napisać równanie stycznej i normalnej w punkcie P do danej krzywej.
Zad.5 Czy istnieje styczna do wykresu funkcji f(x)=sin23x, równoległa do prostej o równaniu 4x-y-1=0?
Zad.6 Czy istnieje styczna do wykresu funkcji f(x)=sinx-cosx, prostopadła do prostej o równaniu x-2y-6=0?
2
1 + 3 x
Zad.7 Wykazać, że styczne do wykresu funkcji f ( x) =
poprowadzone w punktach, których rzędna
2
3 + x
jest równa 1, przecinają się w początku układu współrzędnych pod kątem prostym.
Zad.8 Pod jakim kątem przecinają się krzywe: 1
1
8.1 f ( x) = x 2 + x − , 2 g( x) = x 2 − x 8.2
2
f ( x) =
, g( x) =
x .
x
8
Zad.9 Zbadać różniczkowalność funkcji:
x( x − )
1
x − 1 ,
x < 0
, x < 1
9.1 f ( x) =
9.2 f ( x) =
2
2
9.3 f ( x) = x − x .
ln 1
( + x) , x ≥ 0
x −1, x ≥ 1
Zad.10 Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych wyrażeń: 10.1 arcctg( 9
,
0 9)
10.2 ln( ,
1 0 )
3
10.3 arccos(0,51)
10.4 4 15 9
, 8 .
Zad.11 Sprawdzić, czy funkcja spełnia założenia twierdzenia Rolle’a. Jeśli tak, to wyznaczyć wszystkie punkty, o których mowa w twierdzeniu:
11.1 f ( x) = 2
x + 4 , x ∈< −3 ; 3 >
11.2 f ( x) =
2 x − 2
x , x ∈< 0 ; 2 >
7 − 4 2
x
11.3 f ( x) =
, x ∈< −2 ; 2 >
11.4
3
2
f ( x) = 1 −
x , x ∈ − ;
1 1 .
2
x + 1
Zad.12 Sprawdzić, czy funkcja spełnia założenia twierdzenia Lagrange’a. Jeśli tak, to wyznaczyć stałą, o której mowa w twierdzeniu:
12.1 f ( x) = 3
x + x , x ∈< −1 ; 1 > 12.2 f ( x) = arcsin x , x ∈< −1 ; 1 > 12.3 f ( x) = ex , x ∈< 0 ; 2 > .
Zad.13 Napisać wzór Taylora rzędu n dla podanych funkcji w otoczeniu punktu x0, jeżeli: 13.1 f ( x) = −
e x , n = 5 , x = 1
13.2 f ( x) = ln x , n = 4 , x = e 0
0
13.3 f ( x) = sin 2 x , n = 6 , x = π
13.4 f ( x)
3
= x , n = 5 , x = 1 .
0
0
Zad.14 Napisać wzór Maclaurina dla funkcji: x
14.1
x
f ( x) = e
14.2 f ( x) = sin x
14.3 f ( x) = cos x
14.4 f ( x) =
.
x
e
Zad.15 Obliczyć granice:
x − arctgx
ex − e− x − 2 x
4 x
e
− cos 2 x
15.1 lim
15.2 lim
15.3 lim
3
2 x
x→0
x
x→0
x − sin x
x
0
→
cos 4 x − e
3arcsin x
π − 2 arctgx
ln sin 2 x
15.4 lim
15.5 lim
15.6 lim
x→0
5 x
x→∞
1
x
0 +
→
ln sin x
ln1 +
x
1
1
x
1
15.7 lim ctgx −
15.8 lim
−
15.9 lim
x
x e −1
x→
0
x
x→
1 x − 1
ln x
x→∞
1
2
x
2
15.10
x −3
lim ( x − )
3 ⋅ e
15.11 lim
arctgx
15.12
x
lim x sin
x→3+
x→0 π
x
0+
→
1
6
tgx
x
2
1
15.13
1+ 2
x
lim x
ln
15.14 lim
⋅ arccos x
15.15 lim
.
+
x→0 +
x
0
→
π
x→
0
x