Współrzędne wektora w ustalonej bazie
Niech V = R
jest zbiorem wielomianów rzeczywistych ( x ∈ R) o współczynnikach rzeczywistych 2 [ x]
stopnia co najwyżej drugiego. Jest to przestrzeń liniowa (wektorowa) ze zwykłymi działaniami: mnożenia wielomianu przez liczbę i dodawaniem wielomianów.
Układ wielomianów B = e x = ,
1 e x = x, e x = x jest bazą kanoniczną (standardową) tej 0
{1( )
2 (
)
( ) 2
3
}
przestrzeni.
Oznacza to, że dowolny wielomian (wektor) z tej przestrzeni v( x) = ax 2 + bx + c ( a, b, c ∈ R) można zapisać jako kombinację liniową wektorów z bazy, tzn. v( x) = c ⋅ e ( x) + b ⋅ e ( x) + a ⋅ e ( x) (1).
1
2
3
c
Wielomian ten ma więc w tej bazie B współrzędne: [ v( x)] = b
.
0
B
0
a B 0
Wybór bazy ustala odpowiedniość ( izomorfizm) między wielomianami (wektorami) z przestrzeni V = R
a ich współrzędnymi w tej bazie czyli wektorami z przestrzeni 3
R .
2 [ x]
Zauważmy, że e ( x) = 1⋅ e ( x) + 0 ⋅ e ( x) + 0 ⋅ e ( x) , czyli wielomian e ( x) ma w bazie B współrzędne: 1
1
2
3
1
0
1
0
0
[
e ( x)
=
, analogicznie [ e ( x)
=
oraz [ e ( x)
=
.
2
]
1
2
]
1
1
]
0
0
B
0
B
0
B
0
0
0
B
B
B
0
0
0
c
1
0
0
Równości (1) odpowiada równość [ v( x)] = b
= c ⋅ 0
+ b ⋅ 1
+ a ⋅ 0 (2)
B
0
a
0
0
1
B
B
B
B
0
0
0
0
Baza składa się z trzech wektorów (wielomianów), tzn. że przestrzeń V = R
jest trzywymiarowa,
2 [ x]
dim V = dim R [ x]
3
= 3 = dim R
2
3
Wielomian w( x) = 4 2
x + 2 x + 3 ma w bazie B współrzędne [ w( x)] = 2
.
0
B
0
4 B 0
Zmiana bazy
Rozważmy układ trzech wektorów: B = v x = , 1 v x = 1 + x, v x = 1 + x + x .
1
{ 1( )
2 (
)
( )
2
3
}
1
1
1
Wektory te maja w bazie B współrzędne: [ v ( x)
=
, [ v ( x)
=
, [ v ( x)
=
.
3
]
1
2
]
1
1
]
0
0
0
B
0
B
B 0
0
0
1
B
B
B
0
0
0
1 1
1
Ponieważ macierz Q = 0 1
1 , której kolejnymi kolumnami są współrzędne (w bazie B ) wektorów 0
0 0
1
układu B , ma niezerowy wyznacznik (det Q ≠ 0), jest to układ wektorów liniowo niez ależnych, a więc 1
jest też bazą przestrzeni V = R
.
2 [ x]
Wyznaczymy współrzędne wektora w( x) = 4 2
x + 2 x + 3 w bazie B , tzn. wyznaczymy trzy liczby 1
β ,β ,β takie, że (
w x) = β ⋅ v ( x) + β ⋅ v ( x) + β ⋅ v ( x) (3).
1
2
3
1
1
2
2
3
3
1
1
1
Tej równości odpowiada równość: [ w( x)] = 2
= β ⋅ 0
+ β ⋅ 1
+ β ⋅ 1 (4)
B
1
2
3
0
4
0
0
1
B
B
B
B
0
0
0
0
1 1
1
β
3
1
Należy więc rozwiązać układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi 0 1 1 ⋅ β
(5).
2
=
2
0 0
1
β 4
3
Stąd łatwo („wyliczając od dołu”) mamy β = ,
4 β = − ,
2 β = 1 , czyli
3
2
1
β
1
1
szukanymi współrzędnymi są [ w( x)] = β
= − 2 , co oznacza, że (
w x) = 1 − 2 1
( + x) + 4 1
(
2
+ x + x )
B
2
1
β
4
3
B
B
1
1
Układ (5) w zapisie macierzowym ma postać Q[ w( x)] = w x (6).
B
[ ( )]
1
0
B
Macierz Q jest nieosobliwa, bo (det Q ≠ 0), więc rozwiązanie układu (5) (czyli (6) też) jest postaci
1 −1 0
β 1
1
−1 0
3
1
[
−
1
w( x)]
1
Q−
=
w x
. (7). Tu mamy Q
= 0 1 −1 czyli β
.
2
= 0 1 −1 ⋅ 2 = − 2
B
[ ( )] B
1
0
0 0
1
β 0 0 1 4 4
3
Macierze
1
Q,
−
Q nazywamy macierzami zmiany bazy lub macierzami przejścia z bazy B do bazy B
0
1
oraz z bazy B do B odpowiednio.
1
0
Równości (6) i (7) pozwalają przeliczać współrzędne w różnych bazach dowolnego wektora (wielomianu) v( x) ∈ R
.
2 [ x]
1
0
0
Zauważmy, że dla wektorów z bazy B mamy [ v ( x)
=
, [ v ( x)
=
, [ v ( x)
=
.
3
]
0
2
]
1
1
]
0
1
1
B
1
B
B 1
0
0
1
B
B
B
1
1
1
Przekształcenie liniowe i jego macierze w różnych bazach Niech odwzorowanie D : R
→
jest pochodną funkcji, tzn. Dv( x) = v (
′ x) .
2 [ x]
R 2[ x]
Jest to odwzorowanie liniowe.
Macierzą przekształcenia liniowego jest macierz, która „przelicza” współrzędne wektora na współrzędne jego obrazu w tym przekształceniu. Ponieważ współrzędne wektorów zależą od wyboru bazy, macierz przekształcenia liniowego też zależy od wyboru bazy.
Macierz przekształcenia D w bazie kanonicznej B możemy wyznaczyć wprost z wyliczenia pochodnej 0
dowolnego wielomianu (I) lub łatwiej z wyliczenia pochodnej wielomianów tworzących bazę (II).
Sposób II
0
1
0
De ( x) = 0 , De ( x) = 1, De ( x) = 2 x , czyli [ De ( x)
=
De x
=
De x
=
1
]
0
,
B
[ ( )
2
]
0
,
B
[ ( )
3
]
2
1
2
2
0
0
B 0
0
0
0
B
B
B
0
0
0
Kolumnami macierzy A przekształcenia liniowego są współrzędne obrazów wektorów bazy w tym
[ De ( x) De ( x) De ( x) jest macierzą przekształcenia D
1
B
2
B
3
0
0
0
B ]
0 1 0
przekształceniu, tzn. [
] [
] [
] = 0 0 2
0 0 0
(pochodnej wielomianu) w bazie B .
0
b
Dv( x) = D( ax 2 + bx + c) = ( ax 2 + bx + c)′ = 2 ax + b , czyli [ Dv( x)] = 2 a B
0
0 B 0
0 1 0 c
b
Łatwo zauważyć zgodność wyliczeń: [ Dv( x)] = A v x
=
⋅ b
= a
B
[ ( )]
0 0 2
2
B
0
0
0 0 0
a
0
B
B
0
0
0 1 0 3
2
Dla wektora w( x) = 4 2
x + 2 x + 3 mamy [ Dw( x)] = A w x
=
⋅
=
, czyli
B
[ ( )]
0 0 2
2
8
B
0
0
0 0 0
4
0
B
B
0
0
Dw( x) = 2 + 8 x , co jest zgodne z wyliczeniem pochodnej w „zwykły” sposób.
Macierz przekształcenia D w bazie B jest równa B
Q 1
−
=
AQ , tu
1
1 −1 0 0 1 01 1
1
0 1 −
1
B = 0 1 − 1 0 0 2 0 1 1 =
0 0 2
0 0
1 0 0 00 0
1
0 0 0
0 1 −1 1
− 6
Dla wektora w( x) = 4 2
x + 2 x + 3 mamy [ Dw( x)] = B w x
=
⋅ −
=
, więc
B
[ ( )]
0 0
2
2
8
B
1
1
0 0 0
4
0
B
B
1
1
Dw( x) = (−6) ⋅1 + 8 ⋅ 1
( + x) + 0 ⋅ 1
( + x + x 2 ) = −6 + 8 + 8 x = 2 + 8 x I znów wynik zgadza się z „analitycznym” wyliczeniem pochodnej. Hurrra!
Sposób powyższy jest wygodny, gdy znamy macierze zmiany bazy Q i Q-1.
Można też wyliczyć pochodne wektorów bazy B = v x = , 1 v x = 1 + x, v x = 1 + x + x : 1
{ 1( )
2 (
)
( )
2
3
}
Dv ( x) = 0 , Dv ( x) = D + x = , Dv ( x) = D(1
2
+ x + x = + x = − +
+ x , Stąd wynika, że
3
) 1 2
1 2 1
(
)
2
(1 ) 1
1
obrazy wektorów bazy B mają w bazie B następujące współrzędne: 1
1
0
1
−1
[
Dv ( x)
=
Dv x
=
Dv x
=
, a więc macierz przekształcenia D w bazie B
1
]
0
,
B
[ ( )
2
]
0
,
B
[ ( )
3
]
2
1
1
1
B 0
0
0
0
B
B
B
1
1
1
[ Dv ( x) Dv ( x) Dv ( x)
.
1
B
2
B
3
1
1
1
B ]
0 1 −
1
jest macierzą [
] [
] [
] = 0 0 2
0 0 0
Jest to ta sama macierz, co wcześniej wyliczona macierz B
Q 1
−
=
AQ .