Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
1
1. SZACOWANIE MODELI TRENDU Z EFEKTAMI
SEZONOWYMI
LINIOWY MODEL TRENDU Z SEZONOWOSCIA
SZACOWANIE PARAMETRÓW MODELU
Na podstawie kwartalnych danych o sprzedazy lodówek z lat 1996-1998 oszacowac KMNK parametry liniowego modelu trendu z uwzglednieniem efektów sezonowych.
Sprzedaz lodówek w latach 1996-1998
1996
1997
1998
1 kwart.
123,3
180,09
203,7
2 kwart.
173,49
285,9
302,91
3 kwart.
193,89
282,99
299,7
4 kwart.
149,19
257,79
196,59
Rozwiazanie problemu zaczniemy od podania postaci modelu: y = b
0 + b 1 ⋅ t + a 1 ⋅ v 1
+ a 2 ⋅ v 2 + a 3 ⋅ v 3 + u t
t
t
t
t
gdzie:
y – sprzedaz lodówek w poszczególnych kwartalach, t – zmienna czasu,
a1, a2, a3 – parametry sezonowe (przecietne odchylenia wielkosci sprzedazy od poziomu trendu), v1, v2, v3 – zmienne sezonowe zerojedynkowe, takie, ze:
1 dla danego kwartalu
nego
jednoimien
vi = −1 dla ostatniego kwartalu w roku
0 dla
h
pozostalyc kwartalow
Dla ulatwienia obliczen przedstawiono ponizsza tabele.
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
1
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
2
kwartal
sprzedaz lodówek w
t
v1 v2 v3 t2
v12
v22
v32 t*v1
t*v2
t*v3 v1*v2 v1*v3 v2*v3
y*t
y*v1
y*v2
y*v3
kwartale [tys. szt.]
y
1 kw 96
123,3
1
1 0 0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
123,3
123,3
0
0
2 kw 96
173,49
2
0 1 0
4
0
1
0
0
2
0
0
0
0
346,98
0
173,49
0
3 kw 96
193,89
3
0 0 1
9
0
0
1
0
0
3
0
0
0
581,67
0
0
193,89
4 kw 96
149,19
4
-1 -1 -1 16
1
1
1
-4
-4
-4
1
1
1
596,76
-149,19
-149,19
-149,19
1 kw 97
180,09
5
1 0 0 25
1
0
0
5
0
0
0
0
0
900,45
180,09
0
0
2 kw 97
285,9
6
0 1 0 36
0
1
0
0
6
0
0
0
0
1715,4
0
285,9
0
3 kw 97
282,99
7
0 0 1 49
0
0
1
0
0
7
0
0
0
1980,93
0
0
282,99
4 kw 97
257,79
8
-1 -1 -1 64
1
1
1
-8
-8
-8
1
1
1
2062,32 -257,79
-257,79
-257,79
1 kw 98
203,7
9
1 0 0 81
1
0
0
9
0
0
0
0
0
1833,3
203,7
0
0
2 kw 98
302,91
10 0 1 0 100
0
1
0
0
10
0
0
0
0
3029,1
0
302,91
0
3 kw 98
299,7
11 0 0 1 121
0
0
1
0
0
11
0
0
0
3296,7
0
0
299,7
4 kw 98
196,59
12 -1 -1 -1 144
1
1
1
-12
-12
-12
1
1
1
2359,08 -196,59
-196,59
-196,59
suma
2649,54
78 0 0 0 650
6
6
6
-9
-6
-3
3
3
3
18825,99 -96,48
158,73
173,01
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
2
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
3
Poslugujac sie wynikami obliczen z tabeli mozemy skonstruowac niezbedne macierze: macierz X’X
n
t
1
v
v 2
v 3
∑
∑ t
∑ t
∑
t
2
∑ t
∑ t
∑ t ⋅ 1 v
t v
t v
t
∑ ⋅ 2 t
∑ ⋅ 3 t
X ' X =
∑ 1 v
v
t
v
v
v
v
v
t
∑ 1 t ⋅
∑ 12 t
∑ 1 t ⋅ 2 t ∑ 1 t ⋅ 3 t =
∑ v 2
v
t
v
v
v
v
v
t
∑ 2 t ⋅
∑ 2 t ⋅ 1 t
∑ 22 t
∑ 2 t ⋅ 3 t
2
∑ v 3
v
t
v
v
v
v
v
t
∑ 3 t ⋅
∑ 3 t ⋅ 1 t ∑ 3 t ⋅ 2 t
∑ 3 t
12
78
0
0
0
78 650 − 9 − 6 − 3
= 0
− 9
6
3
3
0
− 6
3
6
3
0
− 3
3
3
6
Wyznacznik tej macierzy |X’X| = 165888
Na podstawie powyzszych danych mozemy wyznaczyc macierz (X’X)-1:
,
0 41341
− 05078
,
0
− 07617
,
0
− 02539
,
0
02539
,
0
− 05078
,
0
00781
,
0
01172
,
0
00391
,
0
−
00391
,
0
( X' )−1
X
= − 07617
,
0
01172
,
0
,
0 26757
− 07747
,
0
− 08919
,
0
− 02539
,
0
00391
,
0
− 07747
,
0
,
0 25195
− 08529
,
0
02539
,
0
− 00391
,
0
− 08919
,
0
− 08529
,
0
,
0 25195
Macierz X’y posiada postac nastepujaca:
y
∑ t
54
,
2649
∑ y t
t ⋅
99
,
18825
X ' y = ∑ y v
t ⋅
1
t
= − ,
96 48
∑ y v
t ⋅
2 t
,
158 73
∑ y v
t ⋅
3
,
173 01
t
Wektor ocen parametrów modelu wyznaczymy zatem, jak ponizej:
05
,
147
34
,
11
ˆ
b = ( X ' X )−1 ⋅ X ' y = −
75
,
34
98
,
38
39
,
32
Na podstawie powyzszych wyników obliczen mozemy zapisac analizowany model w postaci analitycznej: y =
05
,
147
+ 34
,
11
⋅ t −
75
,
34
⋅ v 1 +
98
,
38
⋅ v 2 +
39
,
32
⋅ v 3 + uˆ
t
t
t
t
t
Biorac pod uwage sposób konstrukcji zmiennych sezonowych vi mozemy oszacowac wartosc srednich odchylen sezonowych dla czwartych kwartalów kazdego z analizowanych lat: ˆ
a = − a + a + a = − −
+
+
= −
4
(ˆ ˆ ˆ
1
2
3 )
(
75
,
34
98
,
38
35
,
32
)
58
,
36
Interpretujac analizowany model mozemy powiedziec, iz:
• w kazdym kolejnym kwartale analizowanych lat sprzedaz lodówek wzrastala srednio o 11,34 tys. sztuk,
• w kazdym pierwszym kwartale badanych lat sprzedaz lodówek malala, w stosunku do sredniego poziomu trendu, przecietnie o 34,75 tys. sztuk,
• w kazdym drugim kwartale badanych lat sprzedaz lodówek rosla, w stosunku do sredniego poziomu Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
3
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
4
trendu, przecietnie o 38,98 tys. sztuk,
• w kazdym trzecim kwartale badanych lat sprzedaz lodówek rosla, w stosunku do sredniego poziomu trendu, przecietnie o 32,39 tys. sztuk,
• w kazdym czwartym kwartale badanych lat sprzedaz lodówek malala, w stosunku do sredniego poziomu trendu, przecietnie o 36,58 tys. sztuk.
W nastepnej kolejnosci nalezy wyznaczyc srednie bledy ocen parametrów modelu, sredni blad reszt i inne statystyki.
MIARY DOPASOWANIA MODELU
Wariancje skladnika resztowego (realizacje estymatora wariancji skladnika losowego) wyznaczamy ze wzoru:
′
ˆ
2
y y − y X ⋅ b
∑ yt − X y ⋅ b
2
'
'
(
) ˆ
'
ˆ
σ
u =
n − ( k
) =
+1
n − ( k + )
1
gdzie:
n – ilosc obserwacji,
k – ilosc zmiennych objasniajacych w modelu.
Sredni blad reszt (estymator odchylenia standardowego skladnika losowego) wyznaczamy ze wzoru: 2
ˆ
σ = ˆ σ
u
u
Do oszacowania srednich bledów ocen parametrów posluzymy sie macierza wariancji i kowariancji estymatorów parametrów:
2
D (ˆ b)
2
= ˆ σ
u
(
−
⋅ X ' X ) 1
Elementy lezace na diagonalnej tej macierzy to wariancje estymatorów parametrów, zas ich pierwiastki to srednie bledy ocen parametrów.
Wspólczynnik zbieznosci ϕ2 obliczymy na podstawie wzoru: y' y − y X ⋅ ˆ
'
b
∑ 2
ˆ
y
X ' y
b
2
t
(
)′
−
⋅
ϕ =
=
(
y
y)′
−
⋅ ( y − y)
∑( y y
t −
t )2
Wspólczynnik determinacji R2 otrzymamy ze wzoru R2=1-ϕ2.
Do wykonania niezbednych obliczen przydatna bedzie ponizsza tabela.
kwartal
y
2
y
y − y
( y − )2
y
1 kw 96
123,3
15202,890
-97,495
9505,275
2 kw 96
173,49
30098,780
-47,305
2237,763
3 kw 96
193,89
37593,332
-26,905
723,879
4 kw 96
149,19
22257,656
-71,605
5127,276
1 kw 97
180,09
32432,408
-40,705
1656,897
2 kw 97
285,9
81738,810
65,105
4238,661
3 kw 97
282,99
80083,340
62,195
3868,218
4 kw 97
257,79
66455,684
36,995
1368,630
1 kw 98
203,7
41493,690
-17,095
292,239
2 kw 98
302,91
91754,468
82,115
6742,873
3 kw 98
299,7
89820,090
78,905
6225,999
4 kw 98
196,59
38647,628
-24,205
585,882
suma
627578,777
42573,593
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
4
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
5
Wariancje skladnika resztowego (estymator wariancji skladnika losowego) wyznaczamy ze wzoru: 1
ˆ 2
σ u =
⋅ (
777
,
627578
−
12 − (4 + )
1
0545
,
147
3447
,
11
− [
54
,
2649
99
,
18825
− ,
96 48
73
,
158
01
,
173
]⋅ − 748
,
34
)
9773
,
38
3927
,
32
2
ˆ
σ
u = 1319,047
Sredni blad reszt (estymator odchylenia standardowego skladnika losowego) wyznaczamy ze wzoru: σˆ
u = 36,31869
Sredni blad reszt wskazuje, ze wartosci teoretyczne sprzedazy lodówek yˆ róznia sie od wartosci t
empirycznych y srednio o 36,32 tys. sztuk.
t
2
1
ϕ =
⋅ (
777
,
627578
−
593
,
42573
0545
,
147
3447
,
11
− [
54
,
2649
99
,
18825
− ,
96 48
73
,
158
01
,
173
]⋅ − 748
,
34
)
9773
,
38
3927
,
32
2
ϕ = 0,2169
Wspólczynnik zbieznosci wskazuje, ze okolo 22% zmiennosci zmiennej objasnianej y nie zostalo wyjasnione przez rozwazany model.
2
R = 1 − 2
ϕ = 0,7831
Wspólczynnik determinacji wskazuje, ze okolo 78 % zmiennosci zmiennej y zostalo wyjasnione przez model.
Do oszacowania srednich bledów ocen parametrów posluzymy sie macierza wariancji i kowariancji estymatorów parametrów:
,
0 41341
− 05078
,
0
− 07617
,
0
− 02539
,
0
02539
,
0
2
D (ˆ b)
− 05078
,
0
00781
,
0
01172
,
0
00391
,
0
−
00391
,
0
=1319,047 ⋅ − 07617
,
0
01172
,
0
,
0 26757
− 07747
,
0
− 08919
,
0
− 02539
,
0
,
0 00391
− 07747
,
0
,
0 25195
− 08529
,
0
02539
,
0
− 00391
,
0
− 08919
,
0
− 08529
,
0
,
0 25195
3092
,
545
−
9829
,
66
−
,
100 474
− ,
33 4914
,
33 4914
2
D (ˆ b) −
9829
,
66
3051
,
10
,
15 4576
1525
,
5
− ,
5 4576
= −
,
100 474
,
15 4576
9481
,
352
−
192
,
102
− 1525
,
5
− ,
33 4914
1525
,
5
−
192
,
102
338
,
332
−
,
112 497
,
33 4914
− 1525
,
5
− 1525
,
5
−
,
112 497
338
,
332
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
5
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
6
Elementy lezace na glównej przekatnej w tej macierzy to wariancje ocen parametrów, zas pierwiastki z nich to srednie bledy ocen parametrów:
σˆ b =
3092
,
545
= 23,35186
o
σˆ = 10,30506 = 3,210149
1
b
σˆ = 352,9481 =18,78691
a 2
σˆ = 332,33803 =18,23014
a 2
σˆ = 332,33802 =18,23014
a3
Znajac srednie bledy ocen parametrów mozemy zapisac postac analityczna naszego modelu w pelniejszej wersji:
yˆ =
05
,
147
+
34
,
11
⋅ t −
75
,
34
⋅ v 1 +
98
,
38
⋅ v 2 +
39
,
32
⋅ v 3
t
(±23,352) (±3,210)
( 18
± ,787)
t
( 18
± ,230)
t
( 18
± ,230)
t
TEST INDYWIDUALNEJ ISTOTNOSCI ZMIENNYCH OBJASNIAJACYCH
Przystepujac do oceny istotnosci statystycznej parametrów modelu przyjmiemy poziom istotnosci α=0,1.
Stosujac obustronny obszar krytyczny (przy liczbie stopni swobody równej 7) uzyskujemy wartosc krytyczna rozkladu t-Studenta o wartosci tα/2=1,895.
Na podstawie wyników powyzszych obliczen mozemy wyznaczyc wartosci statystyk t-Studenta dla kolejnych parametrów modelu:
bˆ
t
0
ˆ
=
= 6,29733
b0
sˆ b0
bˆ
t
1
ˆ
=
= 3,53400
b1
sˆ 1b
aˆ
t
1
ˆ
=
=1,84958
aa
sâ1
aˆ
t
2
ˆ
=
= 2,13807
a 2
sâ2
aˆ
t
3
ˆ
=
=1,77687
a3
sâ3
Zauwazmy, ze statystyki t , t i t maja wartosci wieksze od wartosci krytycznej 1,895. Mozna zatem ˆ
ˆ
ˆ
a
0
b
1
b
2
uznac, iz parametry b0, b1 i a2 istotnie róznia sie od 0, zas zmienne t i v2 statystycznie istotnie oddzialuja na zmienna sprzedazy y. Statystyki t i t sa mniejsze od 1,895, a zatem nieistotnie róznia sie od 0, zas zmienne ˆ
ˆ
1
a
a 3
v1 i v2 nieistotnie statystycznie oddzialuja na sprzedaz y.
TEST ISTOTNOSCI AUTOKORELACJI SKLADNIKA LOSOWEGO
TEST DURBINA-WATSONA
Chcac zweryfikowac hipoteze o istotnosci autokorelacji I-ego rzedu skladników losowych modelu posluzymy sie statystyka Durbin-Watsona. Statystyke ta obliczamy na podstawie ponizszego wzoru: Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
6
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
7
∑ n( uˆ u 2
ˆ
t −
t −1 )
t =
DW =
2
∑ nu 2ˆ t
t =1
Do niezbednych obliczen moze byc przydatna ponizsza tabela.
kwartal
y
yˆ
uˆ
ˆ
u
(ˆ u u
2
ˆ
u
t − ˆ t 1
− )2
t
t
t
t 1
−
(
t
y −
yˆ
t
t )
1 kw 96
123,3
123,651
-0,351
-
-
0,123
2 kw 96
173,49
208,721
-35,231
-0,351
1216,614
1241,241
3 kw 96
193,89
213,481
-19,591
-35,231
244,609
383,817
4 kw 96
149,19
155,811
-6,621
-19,591
168,220
43,840
1 kw 97
180,09
169,030
11,060
-6,621
312,626
122,323
2 kw 97
285,9
254,100
31,800
11,06
430,147
1011,24
3 kw 97
282,99
258,860
24,130
31,8
58,828
582,256
4 kw 97
257,79
201,190
56,600
24,13
1054,300
3203,56
1 kw 98
203,7
214,409
-10,709
56,6
4530,467
114,677
2 kw 98
302,91
299,479
3,431
-10,708
199,939
11,773
3 kw 98
299,7
304,239
-4,539
3,431
63,520
20,600
4 kw 98
196,59
246,569
-49,979
-4,538
2064,793
2497,875
suma
2649,540
0,000
10344,070
9233,329
Wartosc statystyki DW wynosi zatem:
=
07
,
10344
DW
=1,120
329
,
9233
Wartosc ta jest mniejsza od 2, wobec tego mozemy wnioskowac o istnieniu dodatniej autokorelacji 1-ego rzedu skladnika losowego. Statystyczna istotnosc tej autokorelacji mozna rozstrzygnac przy pomocy odpowiedniego testu.
W tablicach wartosci krytycznych rozkladu DW (dla poziomu istotnosci α=0,05) znajdujemy (dla ilosci obserwacji T=12 i liczby zmiennych objasniajacych k=4) wartosci dolna dL=0,512 i górna dU=2,177.
Obliczona przez nas statystyka DW spelnia zaleznosc dL≤DW≤dU, zatem test Durbin-Watsona jest niekonkluzywny i nie wskazuje jednoznacznie, czy parametr autokorelacji pierwszego rzedu ρ jest istotnie 1
rózny od 0. W takim przypadku mozna zastosowac inne testy do sprawdzania istotnosci autokorelacji reszt.
Badanie istotnosci autokorelacji mozemy przeprowadzic za pomoca testu t istotnosci wspólczynnika autokorelacji ρ .
1
TEST T-STUDENTA DLA WSPÓLCZYNNIKA AUTOKORELACJI Stosujemy tu statystyke o postaci:
ˆ
ρ ⋅
− 3
1
=
n
I
1
2
1 − ˆ
ρ 1
gdzie ˆ
ρ jest ocena wspólczynnika autokorelacji 1-ego rzedu. Wartosc te w przyblizeniu mozemy oszacowac 1
na podstawie wzoru:
DW
ˆ
ρ =1 −
.
1
2
12
,
1
,
0 44 ⋅ 12 − 3
W naszym przypadku ˆ
ρ =1 −
= ,
0 44 , a zatem statystyka I =
= ,1637 .
1
2
1
1 − ,
0 442
Przyjmujac obustronny obszar krytyczny o α=0,05 odczytujemy z tablic wartosci krytycznych rozkladu t-Studenta (dla liczby stopni swobody 12-3=9) tα/2=2,262. Widzimy, iz statystyka I1 < tα/2, a zatem nie ma Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
7
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
8
podstaw do odrzucenia hipotezy o nieistotnosci wspólczynnika autokorelacji 1-ego rzedu. Tym samym mozemy sadzic, ze autokorelacja reszt modelu jest nieistotna.
Na zakonczenie tego przykladu mozemy przedstawic graficzne porównanie wartosci rzeczywistych i teoretycznych otrzymanych na podstawie modelu. Przedstawione to jest na ponizszym wykresie.
350
300
y
y teoret.
250
200
150
100
50
0
1 kw 96
2 kw 96
3 kw 96
4 kw 96
1 kw 97
2 kw 97
3 kw 97
4 kw 97
1 kw 98
2 kw 98
3 kw 98
4 kw 98
NIELINIOWY (WYKLADNICZY) MODEL TRENDU Z SEZONOWOSCIA SZACOWANIE PARAMETRÓW MODELU
Na podstawie kwartalnych danych o sprzedazy lodówek z poprzedniego przykladu oszacowac KMNK
parametry wykladniczego modelu trendu z uwzglednieniem efektów sezonowych.
Postac naszego modelu przed oszacowaniem parametrów jest nastepujaca: b 0 + b t
1 ⋅
a v
1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅
t
a v t a v 3 t
ut
y = e
⋅ e
⋅ e
t
Aby sprowadzic model do postaci liniowej mozliwej do oszacowania KMNK stosujemy logarytmowanie: ln y = ln e 0 + 1⋅ ⋅ e 1⋅ 1 + 2⋅ 2 + 3⋅ 3 ⋅ e t
( b b t a v t a v t a v t ut )
ln y = b 0 + b 1 ⋅ t + a 1 ⋅ v 1 + a 2 ⋅ v 2 + a 3 ⋅ v 3 + u t
t
t
t
t
Postac estymatora KMNK w przypadku naszego modelu:
−
bˆ = ( X ' X ) 1 ⋅ X 'ln y Jesli chodzi o macierz (X’X)-1 to jej postac jest identyczna, jak w przykladzie poprzednim.
Aby obliczyc wartosc estymatora mozemy posluzyc sie tabela.
kwart.
y
ln y
ln y ⋅ t
ln y ⋅ 1
v
ln y ⋅ v 2
ln y ⋅ v 3
1 kw 96
123,3
4,8146
4,8146
4,8146
0
0
2 kw 96
173,49
5,1561
10,3122
0
5,1561
0
3 kw 96
193,89
5,2673
15,8019
0
0
5,2672
4 kw 96
149,19
5,0052
20,0209
-5,0052
-5,0052
-5,0052
1 kw 97
180,09
5,1935
25,9673
5,1934
0
0
2 kw 97
285,9
5,6556
33,9339
0
5,6556
0
3 kw 97
282,99
5,6454
39,5179
0
0
5,6454
4 kw 97
257,79
5,5521
44,4172
-5,5521
-5,5521
-5,5521
1 kw 98
203,7
5,3166
47,8498
5,3166
0
0
2 kw 98
302,91
5,7134
57,1344
0
5,7134
0
3 kw 98
299,7
5,7028
62,7306
0
0
5,7027
4 kw 98
196,59
5,2811
63,3734
-5,2811
-5,2811
-5,2811
suma
2649,54
64,3039
425,8740
-0,5138
0,6867
0,7770
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
8
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
9
Wektor X’lny bedzie mial postac nastepujaca:
ln y
∑ t
3039
,
64
∑ ln y t
t ⋅
8740
,
425
X ' ln y = ∑ln y v
t ⋅
1
t
= 5138
,
0
∑ln y v
t ⋅
2 t ,
0 6867
∑ln y v
t ⋅
3
,
0 7770
t
Korzystajac z wyników dotychczasowych obliczen mozemy wyznaczyc oceny parametrów modelu:
4,9990
0,0553
bˆ = ( X ' X )−1 X 'ln y = 0,1674
-
0,1774
0,1522
Na podstawie przeprowadzonych oszacowan mozemy zapisac nasz model w nastepujacej postaci: 4,999+0,055⋅ t
0
− 167
,
⋅ v 1 +0 177
,
⋅ 2 +0 152
,
⋅ 3
ˆ
t
v t
v t
ut
y = e
⋅ e
⋅ e
t
Na podstawie wyników estymacji mozemy oszacowac wielkosc srednich odchylen sezonowych dla czwartych kwartalów kazdego roku:
ˆ
a = − a + a + a = − −
+
+
= −
4
(ˆ ˆ ˆ
1
2
3 )
(
167
,
0
177
,
0
)
152
,
0
162
,
0
Majac postac analityczna modelu mozemy dokonac jego interpretacji:
• w kazdym kolejnym kwartale badanych lat sprzedaz lodówek rosla srednio o ( 0,055
e
− )
1 ⋅100 =
%
65
,
5
,
• w kazdym pierwszym kwartale badanych lat sprzedaz lodówek zmieniala sie srednio o ( 0−167,
e
− )
1 ⋅100 = −
%
38
,
15
w stosunku do sredniego poziomu trendu,
• w kazdym drugim kwartale badanych lat sprzedaz lodówek wzrastala srednio o ( 0177,
e
− )
1 ⋅100 =
%
36
,
19
w stosunku do sredniego poziomu trendu,
• w kazdym trzecim kwartale badanych lat sprzedaz lodówek wzrastala srednio o ( 0152,
e
− )
1 ⋅100 =
,
16
%
42
w stosunku do sredniego poziomu trendu,
• w kazdym czwartym kwartale badanych lat sprzedaz lodówek wzrastala srednio o ( 0−162,
e
− )
1 ⋅100 = −
%
96
,
14
w stosunku do sredniego poziomu trendu.
MIARY DOPASOWANIA MODELU
W nastepnej kolejnosci nalezy wyznaczyc srednie bledy ocen parametrów modelu, sredni blad reszt i inne statystyki.
Wariancja skladnika resztowego (estymator wariancji skladnika losowego) dla naszego modelu wyznaczamy ze wzoru:
′
ˆ
2
y
y −
y X ⋅ b
∑ yt − X y ⋅ b
2
ln ' ln
ln '
(ln ) ( ' ) ˆ
ln
ˆ
σ
u =
n − ( k
)
=
+1
n − ( k + )
1
gdzie:
n – ilosc obserwacji,
k – ilosc zmiennych objasniajacych w modelu.
Sredni blad reszt (estymator odchylenia standardowego skladnika losowego) wyznaczamy ze wzoru: 2
ˆ
σ = ˆ σ
u
u
Do oszacowania srednich bledów ocen parametrów posluzymy sie macierza wariancji i kowariancji Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
9
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
10
estymatorów parametrów:
2
D (ˆ b)
2
= ˆ σ
u
(
−
⋅ X ' X ) 1
Elementy lezace na diagonalnej tej macierzy to wariancje estymatorów parametrów, zas ich pierwiastki to srednie bledy ocen parametrów.
Wspólczynnik zbieznosci ϕ2 obliczymy na podstawie wzoru: ln y' ln y − ln y X ⋅ ˆ
'
b
∑(ln y
X
y
b
t )2
ˆ
' ln
2
(
)′
−
⋅
ϕ = (
ln y
ln y)′
2
−
⋅ (ln y ln y) =
−
∑(ln y
y
t − ln
t )
Wspólczynnik determinacji R2 otrzymamy ze wzoru R2=1-ϕ2.
Do wykonania niezbednych obliczen przydatna bedzie tabela.
kwartal
ln y
(ln y
(ln y −ln y (ln y −ln y t
t )2
t
t )
t )2
t
1 kw 96
4,8146
23,181
-0,544
0,296
2 kw 96
5,1561
26,586
-0,203
0,041
3 kw 96
5,2673
27,744
-0,091
0,008
4 kw 96
5,0052
25,052
-0,353
0,125
1 kw 97
5,1935
26,972
-0,165
0,027
2 kw 97
5,6556
31,986
0,297
0,088
3 kw 97
5,6454
31,871
0,287
0,082
4 kw 97
5,5521
30,826
0,193
0,037
1 kw 98
5,3166
28,267
-0,042
0,002
2 kw 98
5,7134
32,643
0,355
0,126
3 kw 98
5,7028
32,522
0,344
0,118
4 kw 98
5,2811
27,890
-0,078
0,006
suma
64,3039
345,540
0,000
0,957
Wariancja skladnika resztowego (estymator wariancji skladnika losowego) dla naszego modelu wyznaczamy ze wzoru:
∑(ln yt )2 X y b
2
( ' )′
−
⋅ ˆ
ln
ˆ
σ u =
1
540
,
345
(
n − ( k + )
=
⋅
−
1
12 − 5
4,9990
0,0553
− [
64,30389
425,87403
- 0,51376
0,68671
0,77699 ]⋅
0,1674
-
=
0,1774
0,1522
= 0,02776
Sredni blad reszt:
ˆ
σ
u =
02776
,
0
= 0,16661
Mozemy zatem powiedziec, iz udzial reszt modelu uˆ w wartosciach teoretycznych sprzedazy lodówek yˆ
t
t
wynosi srednio o ( 0 166
,
e
− )
1 *100 =
%
06
,
18
.
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
10
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
11
Wspólczynnik zbieznosci
2
ϕ :
∑(ln y
X
y
b
t )2
2
( ' )′
−
⋅ ˆ
ln
ϕ =
∑(
2
ln y
ln y
t
t )
=
−
4,9990
0,0553
=
540
,
345
− [
64,30389
425,87403
- 0,51376
0,68671
0,77699 ]⋅
0,1674
-
⋅
0,1774
0,1522
⋅ 1 = 0,20296
0,957
Wspólczynnik zbieznosci
2
ϕ oznacza, ze okolo 20,3 % zmiennosci zmiennej lny nie zostalo wyjasnione przez model.
Wspólczynnik determinacji R2:
2
R = 0,79703
Wspólczynnik determinacji oznacza, ze okolo 79,7 % zmiennosci zmiennej lny zostalo wyjasnione przez model.
Jako graficzny wyraz dopasowania zmiennosci teoretycznej sprzedazy do zmiennosci rzeczywistej przedstawiono ponizszy wykres.
350
300
y rzeczyw.
y teoret.
250
200
150
sprzedaz [tys. szt./kwartal]
100
50
0
1 kw 96
2 kw 96
3 kw 96
4 kw 96
1 kw 97
2 kw 97
3 kw 97
4 kw 97
1 kw 98
2 kw 98
3 kw 98
4 kw 98
okres
Do oszacowania srednich bledów ocen parametrów posluzymy sie macierza wariancji i kowariancji estymatorów parametrów:
2
D (ˆ b)
2
= ˆ σ
u
(
−
⋅ X ' X ) 1
0,41341 − 05078
,
0
− 07617
,
0
− 02539
,
0
02539
,
0
2
D (ˆ b)
− 05078
,
0
00781
,
0
01172
,
0
00391
,
0
−
00391
,
0
= 0,027761⋅ − 7617
,
0
01172
,
0
,
0 26758
− 07747
,
0
− 08919
,
0
− 02539
,
0
,
0 00391
− 07747
,
0
,
0 25195
− 08528
,
0
02539
,
0
− 00391
,
0
− 08919
,
0
− 08528
,
0
,
0 25195
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
11
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
12
01148
,
0
− 00141
,
0
− 00211
,
0
− 0007
,
0
0007
,
0
2
D (ˆ b) − 00141
,
0
00022
,
0
00033
,
0
00011
,
0
−
00011
,
0
= − 00211
,
0
00033
,
0
00743
,
0
− 00215
,
0
− 00248
,
0
− 0007
,
0
00011
,
0
− 00215
,
0
00699
,
0
− 00237
,
0
0007
,
0
− 00011
,
0
− 00248
,
0
− 00237
,
0
00699
,
0
Na podstawie elementów powyzszej macierzy mozemy okreslic wariancje oraz srednie bledy ocen parametrów modelu:
ˆ
σ
0,10713
b
=
01148
,
0
=
0
ˆ
σ = 0,00022 = 01483
,
0
1
b
ˆ
σ
a
=
00743
,
0
= 08619
,
0
1
ˆ
σ a =
00699
,
0
= 0836
,
0
2
ˆ
σ a =
00699
,
0
= 0836
,
0
3
Majac oszacowane srednie bledy ocen parametrów mozemy zapisac model w pelnej postaci: 4,999 + 0,055 ⋅ t
0
− 167
,
⋅ v 1 + 0 177
,
⋅ v 2 + 0 152
,
⋅ v 3
(±0,107) (±0,015)
(±0,086) t (±0,084)
t
(±0,084)
t
uˆ t
y = e
⋅ e
⋅ e
t
TEST INDYWIDUALNEJ ISTOTNOSCI ZMIENNYCH OBJASNIAJACYCH
Na podstawie powyzszych wyników mozemy dokonac zweryfikowania istotnosci statystycznej parametrów modelu. Posluzymy sie w tym celu testem t-Studenta, przy zalozonych wspólczynniku istotnosci α=0,05. Wartosc krytyczna rozkladu t (przy obustronnym obszarze krytycznym α/2=0,025 i liczbie stopni swobody n-(k+1)=7) tα/2=2,365. Obliczmy wartosci empirycznych statystyk t dla kolejnych parametrów: 999
,
4
t
=
= ,
46 72
ˆ0
b
107
,
0
,
0 055
t
=
= ,
3 67
ˆ
b 1
,
0 015
− 167
,
0
t
a
=
= 94
,
1
ˆ1
,
0 086
177
,
0
ta =
= 11
,
2
ˆ2
,
0 084
152
,
0
ta =
= 81
,
1
ˆ3
,
0 084
Porównajmy z kolei obliczone wartosci statystyk t z wartoscia krytyczna tα/2. Przy przyjetym wspólczynniku α tylko t i t sa wieksze od wartosci krytycznej 2,365. Pozostale statystyki maja wartosci ˆ
ˆ
0
b
1
b
mniejsze od 2,365. Oznacza to, ze tylko parametr trendu b1 mozemy uznac za statystycznie istotny. Parametry sezonowe a1, a2, i a3 nieistotnie róznia sie od 0, zatem zmienne sezonowe mozemy uznac za nieistotnie wplywajace na sprzedaz lodówek i usunac je z modelu. Tak poprawiony model (bez zmiennych sezonowych) powinien zostac ponownie oszacowany i poddany weryfikacji statystycznej.
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
12
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
13
TEST ISTOTNOSCI AUTOKORELACJI SKLADNIKA LOSOWEGO
W nastepnej kolejnosci rozpatrzymy zagadnienie istotnosci autokorelacji 1-ego rzedu skladnika losowego modelu. Weryfikacje istotnosci autokorelacji przeprowadzimy z uzyciem testu DW. W tym celu wykorzystamy ponizsza tabele.
kwartal
ln y
ln yˆ
uˆ
ˆ
u
(ˆ u u
2
ˆ
u
t − ˆ t 1
− )2
t
t
t
t 1
−
t
(ln y − ln yˆ
t
t )
1 kw 96
4,814
4,887
-0,072
0,0052
2 kw 96
5,156
5,287
-0,131
-0,072
0,0034
0,0171
3 kw 96
5,267
5,317
-0,050
-0,130
0,0065
0,0024
4 kw 96
5,005
5,058
-0,053
-0,049
0,0000
0,0028
1 kw 97
5,193
5,108
0,085
-0,052
0,0190
0,0072
2 kw 97
5,655
5,508
0,147
0,085
0,0038
0,0216
3 kw 97
5,645
5,538
0,107
0,147
0,0016
0,0114
4 kw 97
5,552
5,279
0,273
0,106
0,0274
0,0743
1 kw 98
5,316
5,330
-0,013
0,272
0,0815
0,0001
2 kw 98
5,713
5,730
-0,016
-0,012
0,0001
0,0002
3 kw 98
5,702
5,760
-0,057
-0,016
0,0016
0,0032
4 kw 98
5,281
5,501
-0,220
-0,057
0,0264
0,0482
suma
0,000
0,1717
0,1943
Korzystajac z powyzszych obliczen mozemy wyznaczyc wartosc statystyki DW:
∑(ˆ u u
t − ˆ t − )2
1
1717
,
0
DW =
=
= 8836
,
0
ˆ 2
u
1943
,
0
∑ t
Poniewaz DW<2 mozemy postawic hipoteze, iz skladniki losowe modelu wykazuja autokorelacje dodatnia.
Z tablic odczytujemy wartosci krytyczne rozkladu DW (dla poziomu istotnosci α=0,05, liczby obserwacji T=12 i liczby zmiennych k=4) dL=0,512 i dU=2,177. Poniewaz zachodzi zaleznosc dL≤DW≤dU nie mozemy jednoznacznie przychylic sie lub nie do hipotezy o wystepowaniu istotnej autokorelacji dodatniej skladnika losowego. Dodatkowo mozemy oszacowac wartosc wspólczynnika autokorelacji 1-ego rzedu.
884
,
0
ˆ =
DW
ρ
1 −
= 1−
= 558
,
0
1
2
2
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
13