Mechanika ogólna
Mechanika ogólna
Wykład nr 2
Wykład nr 2
Wypadkowa dowolnego układu sił.
Wypadkowa dowolnego układu sił.
Równowaga.
Równowaga.
Rodzaje sił i obciążeń.
Rodzaje sił i obciążeń.
Rodzaje ustrojów prętowych.
Rodzaje ustrojów prętowych.
Wyznaczanie reakcji.
Wyznaczanie reakcji.
1
1
Wypadkowa układu sił
Wypadkowa układu sił
równoległych
równoległych
Z
Z
Przyłożenie układu
Przyłożenie układu
W2
zerowego (układ sił
zerowego (układ sił
W1
P2
równoważących się,
równoważących się,
P1
np. dwie siły o
np. dwie siły o
takiej samej mierze,
takiej samej mierze,
linii działania i
linii działania i
Z
przeciwnych
przeciwnych
Z
P1
W2
zwrotach) nie
zwrotach) nie
P2
W
wpływa na stan
wpływa na stan
W1
P1
równowagi ciała.
równowagi ciała.
P2
2
2
Moment siły (1)
Moment siły (1)
Moment siły względem punktu  iloczyn
Moment siły względem punktu  iloczyn
wektorowy promienia wodzÄ…cego, czyli
wektorowy promienia wodzÄ…cego, czyli
wektora Å‚Ä…czÄ…cego omawiany punkt i punkt
wektora Å‚Ä…czÄ…cego omawiany punkt i punkt
przyłożenia siły, oraz wektora siły:
przyłożenia siły, oraz wektora siły:
P
MO = r × P
P
Ä…
P
MO = r Å" P sinÄ…
r
Ä…
rÄ„" = r Å"sinÄ…
O
P
MO = rÄ„" Å" P
r
4%
3
3
Moment siły (2)
Moment siły (2)
Moment siły względem prostej -
Moment siły względem prostej -
Momentem względem prostej
Momentem względem prostej
nazywamy iloczyn wektorowy
nazywamy iloczyn wektorowy
promienia wodzÄ…cego, czyli wektora
promienia wodzÄ…cego, czyli wektora
łączącego punkt prostej najbliższy
łączącego punkt prostej najbliższy
kierunkowi siły i punkt przyłożenia siły,
kierunkowi siły i punkt przyłożenia siły,
i wektora siły:
i wektora siły:
Ml=r × P
Ml=r × P
4
4
Para sił
Para sił
Parę sił stanowią dwie siły o równoległych
Parę sił stanowią dwie siły o równoległych
liniach działania, o przeciwnych zwrotach,
liniach działania, o przeciwnych zwrotach,
zaÅ› o tych samych miarach.
zaÅ› o tych samych miarach.
Ramię pary sił  odległość pomiędzy
Ramię pary sił  odległość pomiędzy
kierunkami sił nosi nazwę ramienia pary sił.
kierunkami sił nosi nazwę ramienia pary sił.
P1 = P2 = P
a
P M = Pa
2
P
1
5
5
Dowolny płaski układ sił (1)
Dowolny płaski układ sił (1)
Redukcja do siły wypadkowej
Redukcja do siły wypadkowej
przyłożonej w biegunie redukcji i
przyłożonej w biegunie redukcji i
wypadkowego momentu względem
wypadkowego momentu względem
tego bieguna.
tego bieguna.
Siły składowe mogą zostać
Siły składowe mogą zostać
przeniesione do bieguna redukcji,
przeniesione do bieguna redukcji,
pod warunkiem przyłożenie
pod warunkiem przyłożenie
momentu od tych sił względem
momentu od tych sił względem
bieguna redukcji.
bieguna redukcji.
6
6
Dowolny płaski układ sił (2)
Dowolny płaski układ sił (2)
Wypadkową siłę wyznacza się dla układu
Wypadkową siłę wyznacza się dla układu
zbieżnego przyłożonego w biegunie
zbieżnego przyłożonego w biegunie
n
redukcji.
redukcji.
W =
"P
i
i=1
Wypadkowy moment jest równy sumie
Wypadkowy moment jest równy sumie
momentów od sił składowych.
momentów od sił składowych.
nn
Mo =
"r × Pi = "M
i io
i=1 i=1
7
7
Przykład (1)
Przykład (1)
y
P
3y
P
1y
P
P
3 1
Ä…
3
Ä…
P
(x ,y )
1
3x (x ,y )
3 3
1 1
P
1x
x
0
(x ,y )
2 2
Ä…2 P2x
P2
P2y
8
8
Przykład (2)
Przykład (2)
y
P
3y
P
1y
P
P
3 1
Ä…
3
Ä…
P
1
3x
P
1
P
1x
P1
0
M x
0
P1
M = -P1x y1 + P1y x1
0
Ä…2 P2x
P2
P2y
9
9
Przykład (3)
Przykład (3)
y
P
3y
P
1y
P
P
3 1
Ä…
3
Ä…
P
1
3x
P
1x
P2
M
0
x
0
P2
P
M0 2 = -P2 x y2 + P2 y x2
Ä…2 P2x
P2
P2y
10
10
Przykład (4)
Przykład (4)
y
P
3y
P
1y
P
P
3 1
Ä…
3
Ä…
P
1
3x
P
1x
P3
P
M
3
0 x
0
P3
M0 = -P3x y3 + P3 y x3
Ä…2 P2x
P2
P2y
11
11
Przykład (5)
Przykład (5)
y
P
3y
P
1y
P
P
1
3
Ä…
3
Ä…
P
1
3x
W
P
1x
M
0
x
0
P1 P P3
M0 = M0 + M0 2 + M0
Ä…2 P2x
P2
P2y
12
12
Dowolny płaski układ sił (3)
Dowolny płaski układ sił (3)
Wypadkowy moment może zostać
Wypadkowy moment może zostać
przedstawiony jako:
przedstawiony jako:
 wektor momentu;
 wektor momentu;
 para sił;
 para sił;
 moment od siły wypadkowej przyłożonej
 moment od siły wypadkowej przyłożonej
nie w biegunie redukcji, a na linii
nie w biegunie redukcji, a na linii
działania wyznaczonej w taki sposób, że
działania wyznaczonej w taki sposób, że
moment od siły wypadkowej równy jest
moment od siły wypadkowej równy jest
momentowi od sił składowych.
momentowi od sił składowych.
13
13
Moment od wypadkowej
Moment od wypadkowej
y
W
y
W
W
W
x
y
M
0
0
Ä…
x
0
M0 = -Wx y0 +Wy x0
x
0
Wyx0 - M0
y0 =
Wx
M0
y0 = x0tgÄ… -
Wx
14
14
Uogólnienie w przestrzeni
Uogólnienie w przestrzeni
Układ sił zbieżnych  redukcja do siły
Układ sił zbieżnych  redukcja do siły
wypadkowej przyłożonej w punkcie
wypadkowej przyłożonej w punkcie
zbieżności.
zbieżności.
Dowolny przestrzenny układ sił 
Dowolny przestrzenny układ sił 
redukcja do wypadkowej siły i
redukcja do wypadkowej siły i
wypadkowego momentu.
wypadkowego momentu.
15
15
Stan równowagi
Stan równowagi
Równowaga statyczna
Równowaga statyczna
Punkt materialny (ciało sztywne) jest
Punkt materialny (ciało sztywne) jest
w równowadze, jeżeli pod wpływem
w równowadze, jeżeli pod wpływem
układu sił, nie porusza się on lub
układu sił, nie porusza się on lub
porusza siÄ™ ruchem jednostajnym
porusza siÄ™ ruchem jednostajnym
prostoliniowym. Taki układ sił nazywa
prostoliniowym. Taki układ sił nazywa
się zrównoważonym lub
się zrównoważonym lub
równoważnym zeru.
równoważnym zeru.
16
16
Oswobodzenie z więzów
Oswobodzenie z więzów
Ciało nieswobodne można myślowo
Ciało nieswobodne można myślowo
oswobodzić z więzów, zastępując ich
oswobodzić z więzów, zastępując ich
działanie reakcjami.
działanie reakcjami.
Ciało oswobodzone z więzów można
Ciało oswobodzone z więzów można
traktować jako swobodne pod
traktować jako swobodne pod
działaniem sił czynnych (obciążeń) i
działaniem sił czynnych (obciążeń) i
biernych (reakcji).
biernych (reakcji).
17
17
Rodzaje sił w mechanice
Rodzaje sił w mechanice
W mechanice wyróżnia się następujące
W mechanice wyróżnia się następujące
rodzaje sił:
rodzaje sił:
 siły zewnętrzne - obciążenie
 siły zewnętrzne - obciążenie
pochodzące od innych ciał;
pochodzące od innych ciał;
 reakcje - siły zewnętrzne wynikające ze
 reakcje - siły zewnętrzne wynikające ze
sposobu zamocowania konstrukcji;
sposobu zamocowania konstrukcji;
 siły wewnętrzne - wzajemne
 siły wewnętrzne - wzajemne
oddziaływanie pomiędzy częściami ciała.
oddziaływanie pomiędzy częściami ciała.
18
18
Więzy  nacisk (1)
Więzy  nacisk (1)
Powierzchnia płaska na płaszczyz
nie:
Powierzchnia płaska na płaszczyz
nie:
 reakcja prostopadła do płaszczyzny styku;
 reakcja prostopadła do płaszczyzny styku;
Przekrój kołowy na płaszczyz
nie:
Przekrój kołowy na płaszczyz
nie:
 reakcja prostopadła do płaszczyzny styku
 reakcja prostopadła do płaszczyzny styku
(stycznej w punkcie styczności);
(stycznej w punkcie styczności);
G
G
G G
R
R
19
19
Więzy  nacisk (2)
Więzy  nacisk (2)
Przekrój kołowy oparty o przekrój kołowy:
Przekrój kołowy oparty o przekrój kołowy:
 reakcja prostopadła do stycznej obu ciał w
 reakcja prostopadła do stycznej obu ciał w
punkcie styku (wzdłuż prostej łączącej środki
punkcie styku (wzdłuż prostej łączącej środki
okręgów);
okręgów);
Punkt na płaszczyz
nie:
Punkt na płaszczyz
nie:
 reakcja prostopadła do płaszczyzny.
 reakcja prostopadła do płaszczyzny.
RC
Q
R
C
RD
C RD
C
Q
Q
RB
R
B
B
B
RA
R
A A
G
A 20
20
G
G
Równowaga dwóch sił
Równowaga dwóch sił
Układ dwóch sił pozostaje w
Układ dwóch sił pozostaje w
równowadze, jeżeli siły te leżą na
równowadze, jeżeli siły te leżą na
jednej prostej, majÄ… przeciwne zwroty
jednej prostej, majÄ… przeciwne zwroty
i takie same miary.
i takie same miary.
R = -G
G
G
R = G
R
21
21
Równowaga trzech sił
Równowaga trzech sił
Układ trzech sił jest zrównoważony,
Układ trzech sił jest zrównoważony,
jeżeli siły te tworzą płaski układ sił,
jeżeli siły te tworzą płaski układ sił,
przecinajÄ… siÄ™ w jednym punkcie, zaÅ›
przecinajÄ… siÄ™ w jednym punkcie, zaÅ›
wielobok sznurowy zbudowany z tych
wielobok sznurowy zbudowany z tych
sił jest zamknięty.
sił jest zamknięty.
R
B
R
B B
G
A
R
A
G R
G
A
22
22
Równania równowagi
Równania równowagi
punktu materialnego
punktu materialnego
II zasada dynamiki Newtona:
II zasada dynamiki Newtona:
P = ma
Jeżeli punkt materialny jest w stanie
Jeżeli punkt materialny jest w stanie
równowagi statycznej, to:
równowagi statycznej, to:
a = 0 Ò! P = 0
23
23
Równania równowagi ciała
Równania równowagi ciała
sztywnego (siły zbieżne)
sztywnego (siły zbieżne)
II zasada dynamiki Newtona:
II zasada dynamiki Newtona:
P1 + P2 + P3 + P4 +.......Pn = ma
Jeżeli punkt materialny jest w stanie
Jeżeli punkt materialny jest w stanie
równowagi statycznej, to:
równowagi statycznej, to:
n
a = 0 Ò!
"P = 0
i
i=1
24
24
Układ sił zbieżnych
Układ sił zbieżnych
Układ sił, przyłożonych do ciała
Układ sił, przyłożonych do ciała
sztywnego, których kierunki działania
sztywnego, których kierunki działania
przecinajÄ… siÄ™ w jednym punkcie.
przecinajÄ… siÄ™ w jednym punkcie.
Układ takich sił jest w równowadze,
Układ takich sił jest w równowadze,
jeżeli wypadkowa sił jest równa zeru
jeżeli wypadkowa sił jest równa zeru
lub mówiąc inaczej, jeżeli wektory sił
lub mówiąc inaczej, jeżeli wektory sił
tworzą wielobok zamknięty.
tworzą wielobok zamknięty.
n
W = P1 + P2 + P3 + P4 +.......Pn =
"P = 0
i
i=1
25
25
Płaski układ sił zbieżnych
Płaski układ sił zbieżnych
Układ sił, przyłożonych do ciała
Układ sił, przyłożonych do ciała
sztywnego, których kierunki działania
sztywnego, których kierunki działania
leżą w jednej płaszczyz
nie i
leżą w jednej płaszczyz
nie i
przecinajÄ… siÄ™ w jednym punkcie.
przecinajÄ… siÄ™ w jednym punkcie.
Układ takich sił jest w równowadze,
Układ takich sił jest w równowadze,
jeżeli wypadkowa sił jest równa zeru
jeżeli wypadkowa sił jest równa zeru
lub mówiąc inaczej, jeżeli wektory sił
lub mówiąc inaczej, jeżeli wektory sił
tworzą wielobok zamknięty.
tworzą wielobok zamknięty.
n
W = P1 + P2 + P3 + P4 +.......Pn =
"P = 0
i
i=1
26
26
Równania równowagi
Równania równowagi
układu sił zbieżnych
układu sił zbieżnych
Aby siły zbieżne były w równowadze,
Aby siły zbieżne były w równowadze,
sumy rzutów tych sił na osie układu
sumy rzutów tych sił na osie układu
współrzędnych muszą być równe zeru.
współrzędnych muszą być równe zeru.
n n n
"P = 0; "P = 0; "P = 0.
ix iy iz
i=1 i=1 i=1
27
27
Równania równowagi
Równania równowagi
płaskiego układu sił zbieżnych
płaskiego układu sił zbieżnych
Aby siły zbieżne, leżące w jednej
Aby siły zbieżne, leżące w jednej
płaszczyz
nie, były w równowadze,
płaszczyz
nie, były w równowadze,
sumy rzutów tych sił na osie układu
sumy rzutów tych sił na osie układu
współrzędnych muszą być równe zeru.
współrzędnych muszą być równe zeru.
n n
"Pix = 0; "P = 0.
iy
i=1 i=1
28
28
Warunki równowagi układu
Warunki równowagi układu
zbieżnego (podsumowanie)
zbieżnego (podsumowanie)
Wypadkowa układu sił musi być równa 0, tj.
Wypadkowa układu sił musi być równa 0, tj.
zamyka się wielobok sznurowy sił
zamyka się wielobok sznurowy sił
(graficznie), a sumy rzutów sił układu na
(graficznie), a sumy rzutów sił układu na
osie układu współrzędnych muszą być
osie układu współrzędnych muszą być
równe zeru (analitycznie).
równe zeru (analitycznie).
Przestrzenny układ sił
Przestrzenny układ sił
n n n
= 0; = 0; = 0
"Pix "Piy "Piz
i=1 i=1 i=1
Płaski układ sił
Płaski układ sił
n n
= 0; = 0;
"Pix "Piy
i=1 i=1
29
29
Równania równowagi ciała
Równania równowagi ciała
sztywnego (dowolny układ sił)
sztywnego (dowolny układ sił)
n n n
Mo =
"r × Pi = "r × (mia) = -a ×"m ri
i i i
i=1 i=1 i=1
Jeżeli ciało sztywne jest w stanie
Jeżeli ciało sztywne jest w stanie
równowagi statycznej, to dodatkowo:
równowagi statycznej, to dodatkowo:
a = 0 Ò! Mo = 0
30
30
Warunki równowagi
Warunki równowagi
dowolnego układu sił (1)
dowolnego układu sił (1)
Płaski układ sił
Płaski układ sił
n n n
= 0; = 0; = 0
"Pix "Piy "MiO
i=1 i=1 i=1
lub
lub
nnn
"P = 0; "M = 0; "M = 0 AB Ä„" x
ixiAiB
i=1 i=1 i=1
lub
lub
n n n
= 0; = 0; = 0 A, B,C " l
"M iA "M iB "M iC
i=1 i=1 i=1
31
31
Warunki równowagi
Warunki równowagi
dowolnego układu sił (2)
dowolnego układu sił (2)
Przestrzenny układ sił
Przestrzenny układ sił
n n n
= 0; = 0; Piz = 0
"Pix "Piy "
i=1 i=1 i=1
n n n
"M = 0; "M = 0; "M = 0
ix iy iz
i=1 i=1 i=1
32
32
Przykład
Przykład
(dwa układy zbieżne) (1)
(dwa układy zbieżne) (1)
2 2
y2 = (R + r) - (R - r)
y2
r
sin ² =
C
R + r
y2
Q
²
R - r
cos ² =
R-r
R + r
R
²
B
2
R
y1 = R2 - (d - R)
y1
Ä…
Ä…
y1
d-R
sinÄ… =
A
R
G
d - r
cosÄ… =
R
33
33
d
Przykład
Przykład
(dwa układy zbieżne) (2)
(dwa układy zbieżne) (2)
X = RD cos ² - RC = 0
R
"
C
C
R
"Y = RD sin ² - Q = 0 R Q R D
D
R
D
²
Q
²
R
B
X = RA cosÄ… - RB - RD cos ² = 0
"
G
R
A
G
R
"Y = RA sinÄ… - G - RD sin ² = 0
A
Ä… R
D
34
34
²
Ä…
R
B
r
+
R
Przykład
Przykład
(układ niezbieżny)
(układ niezbieżny)
R
r
O2 C C
Q
y2
²
R
²
R
B
B
R-r
O1
Ä…
R
R y1
A A
Ä…
G
d-R
X = RA cosÄ… - RB - RC = 0
"
"Y = RA sinÄ… - Q - G = 0
35
35
= RC Å" y2 - Q Å"(R - r)= 0
"Mo1
Równowaga par sił
Równowaga par sił
Aby układ par sił, działających w
Aby układ par sił, działających w
jednej płaszczyz
nie na ciało sztywne,
jednej płaszczyz
nie na ciało sztywne,
znajdował się w równowadze, suma
znajdował się w równowadze, suma
momentów tych par musi być równa
momentów tych par musi być równa
zero.
zero.
P
2
a
2
n
P
a
1 1
= 0
"Mi
P a
P
3
i=1
1
2
P P
3 3
36
36
r
+
R