MECHANIKA BUDOWLI
Architektura sem. II letni
Warunki równowagi: REAKCJE
dr inż. Marek BARTOSZEK
KTKB p.126 WB
[e-mail]
http://kateko.rb.polsl.pl/
22 marzec 2011
Za wszystkie uwagi odnośnie poniższych wykładów z góry dziękuję.
www.rb.polsl.pl
Jeśli ktoś chciałby wykorzystać te materiały to proszę o kontakt.
Siły działające na konstrukcję
siły czynne i bierne czyli przyczyny i skutki

Siły czynne
czyli obciążenia działające na
konstrukcję

Siły bierne
są to reakcje oraz siły
wewnętrzne powstające na
skutek działania obciążeń
reakcje pojawiają się m.in. w
podporach podtrzymujących
konstrukcję
wyznacza się je metodami
mechaniki budowli
22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 2
Równowaga statyczna konstrukcji

Statyka budowli

zajmuje się konstrukcjami, na które  zgodnie z I zasadą
dynamiki Newtona  działają zrównoważone układy sił (lub
nie działają żadne siły);

takie obiekty pozostają w spoczynku  są statyczne (lub
poruszają się ruchem jednostajnym prostoliniowym) .

Budowla  to przedmiot inżynierskiej działalności człowieka na
stale związany z podłożem (gruntem lub nawet inną budowlą) .

Związanie z podłożem unieruchamia budowlę odróżniając ją
od mechanizmów (Budownictwo nie Wydział Mechaniczny) .

Skoro budowla jest nieruchoma to oznacza, że siły na nią działające
są w równowadze statycznej, tzn.: obciążenia zewnętrzne jako siły
czynne są w równowadze z reakcjami podpór, czyli siłami biernymi.
22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 3
Warunki równowagi statycznej
Rozróżniamy dwa typy warunków równowagi
statycznej sił:

Suma rzutów sił na jakiś kierunek, np. oś
OX
" P =0
y
A
 blokująca możliwość przesuwu ustroju
w danym kierunku. W 2D układa się sumy
rzutów na dwa (np prostopadłe) kierunki.

Suma momentów sił względem jakiegoś
punktu, np. punktu A
" P =0
y
" M =0
A
zapewniająca brak możliwości obrotu
y
elementu względem tego punktu.
x
22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 4
" Px=0
Warunki równowagi statycznej
Wyznaczanie reakcje podpór
1 element  3 niewiadome
22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 5
Warunki równowagi statycznej
Wyznaczanie reakcji podpór
St. swobody : 1x3=3 st.sw.
P H" 2.32 kN P
Więzy: r=3 w.zewn.
B
Równa liczba więzów i stopni
swobody więc można ułożyć
tyle niezależnych równań
C
L
równowagi statycznej ile jest
reakcji podpór. Taki ustrój
H
r=3
nazywamy statycznie
A
wyznaczalnym.
Utwierdzenie w p. A całkowicie
M
unieruchamia słup więc jest
V
on też geometrycznie
Obciążony słup,
Schemat
niezmienny.
zamocowany w
statyczny z
22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 6
fundamencie i podłożu
reakcjami
Warunki równowagi statycznej
Równoważenie geometryczne

Równowaga w pionie  rzuty sił na OY
P
(nieruchome  statyczne w pionie)
P
B
V = P
" P =0
V
y

Równowaga pozioma  rzuty sił na OX
C
L
(nieruchome  statyczne w poziomie)
H
H = 0
" Px=0
H
r=3
A

Równowaga momentów względem p. A
P
(brak obrotu wokół p. A)
M
V
H
" M =0
M = 0
A
A
y
M
x
22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 7
V
Warunki równowagi statycznej
Wyznaczanie reakcji podpór analitycznie
St. swobody : 1x3=3 st. swobody.
P
Więzy: r=3 w. zewnętrznych.
B
Liczba więzów i stopni swobody zgodne!
3 nieznane reakcje więzów zapewniają
C
L
równowagę statyczną sił co do:

przesuwu w poziomie  wzdłuż OX
H
r=3
A
" Px=0

przesuwu w pionie  wzdłuż OY
" P =0
M
y
V

Obrotu np. względem punktu A
" M =0
A
y
x
22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 8
Warunki równowagi statycznej
Wyznaczanie reakcji podpór
Warunek równowagi ze względu na
P
przesuw w poziomie:
" Px=0:
-H =0
B
Aby ustrój był w równowadze w poziomie
reakcja H=0.
C
L
Warunek równowagi ze względu na obrót
H
r=3
A
względem punktu A:
" MA=0:
H"0�ąV"0�ąM =P"0
M
Aby ustrój nie obracał się moment
V
podporowy M=0.
y
x
22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 9
Warunki równowagi statycznej
Wyznaczanie reakcji podpór
Warunek równowagi ze względu na
P
przesuw w pionie:
" P =0:
V -P=0
B
y
Aby ustrój był w równowadze w pionie
reakcja V=P.
C
L
H i M zerują się więc mamy równowagę
H
r=3
A
dwóch sił P i V, która zachodzi gdy
zgodnie z II. zasadą statyki dwie siły:
"
leżą na jednej linii,
M
"
są równe co do wartości,
V
"
są przeciwnie skierowane.
y
x
22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 10
Warunki równowagi statycznej
Wyznaczanie reakcji podpór
Można użyć innych 3 war. równ. W 2D dla
P
całego ustroju niezależne są tylko 3, np.:

sumy rzutów sił tylko na 2 dowolne
B
kierunki oraz sumę momentów :
C " P�ą=0 " P�ą=0 " M =0
C
L
lub 2 sumy momentów oraz sumę rzutów
sił na jakiś jeden kierunek
H
r=3
A
" M =0 " M =0 " Py=0
A C
lub 3 warunki sumy momentów względem
M
dowolnych trzech punktów ale nie
V
leżących na jednej prostej.
y
" M =0 " M =0 " M =0
A B C
x
22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 11
O wyborze decyduje prostota rozwiązania.
�
�
Warunki równowagi statycznej
Wyznaczanie reakcje podpór
2 elementy  4 niewiadome
22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 12
Warunki równowagi statycznej
Wyznaczanie reakcji podpór
W=3*e-(2*p+r)=3*2-(2*1+4)=0
P
Warunek konieczny statycznej
p=1
ą
e2
wyznaczalności spełniony:
B
C
zgodna liczba więzów i stopni swobody.
L/2 L/2
Słup AB jest sztywno
L
e1
zamocowany w podporze A
więc jest geom. niezmienny.
HD
HA
r=3
A
D
Element BCD jest oparty na
r=1
nieruchomym słupie
(przegub B - 2 więzy) a
y
M
możliwość obrotu wokół p. B
V
x
blokuje trzeci więz
w podporze przesuwnej D =>
Schemat statyczny ramy statycznie
element geom. niezmienny13
.
22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek
wyznaczalnej i geom. niezmiennej
Warunki równowagi statycznej
Wyznaczanie reakcji podpór
Ustrój ma 4 nieznane reakcje
P
więzów zewn., które można
p=1
ą
e2 wyznaczyć z warunków
B
C
równowagi statycznej.
L/2 L/2
Dla całej konstrukcji są zawsze
L
e1
tylko 3 niezależne warunki
równowagi. Skąd czwarty?
HD
HA
r=3
Przegub umożliwia obrót
A
D
jednego elementu względem
r=1
drugiego. Jeśli ustrój ma być
y
M
w równowadze statycznej, to
V
x
nie może dojść do obrotu!
Stąd dodatkowy warunek sumy
Schemat statyczny ramy statycznie
momentów dla części ustroju
22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 14
wyznaczalnej i geom. niezmiennej
względem przegubu B.
Warunki równowagi statycznej
Wyznaczanie reakcji podpór
Jak ułożyć warunek sumy
P
momentów dla części ustroju
r
p=1
ą
e2 względem przegubu B ?
B
C
Przegub musi dzielić ustrój na
L/2 L/2
dwie, oddzielne części.
L
e1
Zapisujemy warunek sumy
momentów względem punktu
HD
HA
r=3
B ale bierzemy pod uwagę
A
D
tylko siły po jednej ze stron
r=1
od przegubu - np.:
4 reakcje
y
M
Aźą

nieznane
(od strony A)
" MśąB =0:
V
x
H "L-V"0-M =0
A
Schemat statyczny ramy statycznie
Cźą
(od strony C)
" MśąB =0:
22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 15
wyznaczalnej i geom. niezmiennej
H "L-P"r=0
D
Warunki równowagi statycznej
Wyznaczanie reakcji podpór
Mamy do wyboru dwa warunki:
P
Aźą
r
" MśąB =0:
p=1
ą
e2
H "L-V"0-M =0
B
A
C
Cźą
" MśąB =0:
L/2 L/2
H "L-P"r=0
D
L
e1
wybierzmy drugi, w którym
mamy tylko 1 nieznaną
HD
HA
r=3 reakcję HD.
A
D
r=1
Pierwszy warunek można
4 reakcje
y póz
niej będzie użyć np. do
M
nieznane
V
wyznaczenia M, ale wtedy
x
nie będzie można już użyć
3-go war-ku sumy
Schemat statyczny ramy statycznie
momentów dla całej ramy
22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 16
wyznaczalnej i geom. niezmiennej
wzgl. p. B !
Warunki równowagi statycznej
Wyznaczanie reakcji podpór
W wybranym warunku sumy M
Py P
występuje odległość punktu
r
p=1
ą
e2 B od siły P  promień r :
B
C Px
Cźą
" MśąB =0: H "L-P"r=0
D
L/2 L/2
L
e1
Możemy obliczyć  r albo
rozłożyć siłę P na składowe
Px i Py korzystając z I zasady
HD
HA
r=3
A
D
statyki (zas.równoległoboku):
r=1
Dowolne dwie siły
4 reakcje
y
M
przechodzące przez jeden
nieznane
V
x
punkt są składowymi ich
wypadkowej działającej na
Schemat statyczny ramy statycznie
ten sam punkt, będącej sumą
22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 17
wyznaczalnej i geom. niezmiennej
ich wektorów (wektorową).
Warunki równowagi statycznej
Wyznaczanie reakcji podpór
Cźą
" MśąB =0:
Równanie
Py P
r
H "L-P"r=0
p=1
ą
D
e2
B
C Px
można więc zapisać w
alternatywnej postaci :
L/2 L/2
L
e1
H "L-Px"0-Py"L=0
D
2
Podstawiając Py lub r otrzymamy
HD
HA
r=3
A
D
to samo równanie:
r=1
H "L-P"sinśą�ąźą"L=0
4 reakcje D
2
y
M
nieznane
V Teraz należy ułożyć brakujące
x
trzy równania, aby oprócz HD
Schemat statyczny ramy statycznie
wyznaczyć także pozostałe
22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 18
niewiadome: HA, M, V.
wyznaczalnej i geom. niezmiennej
Warunki równowagi statycznej
Wyznaczanie reakcji podpór
Unikając układu 4 równań z 4
Py P
niewiadomymi szukamy
p=1
ą
e2 prostych równań z jedną
B
C Px
niewiadomą :
Aźą
L/2 L/2
(M i HA)
" MśąB =0:
L
e1
(M i HA, HD, P)
" MB=0:
HD
HA
r=3
A
D
r=1
(M, P) (!)
" MA=0:
4 reakcje
y
M
nieznane
V (HAi HD, Px) (?)
x
" Px=0:
Schemat statyczny ramy statycznie
(V, Py) (!)
" Py=0:
22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 19
wyznaczalnej i geom. niezmiennej
Warunki równowagi statycznej
Wyznaczanie reakcji podpór
Równania z jedną niewiadomą
Py P
i/lub najprostsze:
p=1
ą
e2
" Py=0:
B
C Px
V -Py=0 �! V =Py
L/2 L/2
L
e1
" MA=0:
Px"L�ąPy"L �ąM =0
2
HD
HA
r=3
A
D
" Px=0:
r=1
H �ąH -Px=0
D A
4 reakcje
y
M
nieznane
oraz wybrana suma momentów
V
x
dla części ustroju:
Schemat statyczny ramy statycznie Cźą
" MśąB =0:
22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 20
wyznaczalnej i geom. niezmiennej
H "L-P"sinśą�ąźą"L=0
D
2
Warunki równowagi statycznej
Wyznaczanie reakcji podpór
Wyznaczmy reakcje:
Py P
H "L-P"sinśą�ąźą"L=0 �!
p=1
D
ą 2
e2
B
C Px
�! H =P"1"sinśą�ąźą
D
2
L/2 L/2
V
-Py=0 �! V =Py
L V-P y=0 �! V=Py
e1
HD
HA
Px"L�ąPy"L�ąM =0
r=3
A
2
D
r=1
P"cosśą�ąźą"L�ąP"sinśą�ąźą"L
2
y
�ąM =0
M
V 1
x
M =-P"L"[cosśą�ąźą�ą "sinśą�ąźą]
2
Schemat statyczny ramy statycznie
H �ąH -Px=0 �!
D A
22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 21
wyznaczalnej i geom. niezmiennej
H =Px-H
A D
Warunki równowagi statycznej
Wyznaczanie reakcji podpór
Sprawdzenie równaniami nie
Py P
wykorzystanymi  np. :
p=1
ą
e2
śą Aźą
B
" M =0:
C Px
B
L/2 L/2
H "L-M �ąV "0=0
A
L
e1
Są one zależne od poprzed-ich.
HD
HA
r=3
A
D
Można też podstawić wyliczone
r=1
reakcje do równań, z których
je otrzymaliśmy. Jednak w
y
M
ten sposób nie sprawdzimy
V
x
poprawności ułożonych
równań tylko dalsze ich
Schemat statyczny ramy statycznie
przekształcenia.
22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 22
wyznaczalnej i geom. niezmiennej
DZIEKUJ
ZA UWAG

KONIEC wykładu
22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 23