1 Wybrane rozkłady zmiennej losowej skokowej
1 Wybrane rozkłady zmiennej losowej skoko-
wej
(1) Rozkład dwupunktowy (zero-jedynkowy)
(2) Rozkład dwumianowy
(3) Rozkład Poissona
(Ad.1) Rozkład dwupunktowy
Zmienne losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli może przyjmować jedynie
dwie wartości, oznaczmy je jako x1 oraz x2, z prawdopodobieństwami
P (X = x1) = p P (X = x2) = q,
gdzie p + q = 1.
W przypadku szczególnym, gdy x1 = 1, x2 = 0, mówimy, że ZL X ma rozkład
zero-jedynkowy z prawdopodobieństwem sukcesu p. Funkcja rozkładu ZL
X zero-jedynkowej określona jest następująco
xi 0 1
P (X = xi) q p
Dystrybuanta ma postać
x (-", 0] (0, 1] (1, ")
F (x) 0 q 1
Wartość oczekiwana i warjancja ZL X zero-jedynkowej są równe
E(X) = p, D2(X) = pq.
Przykład Obserwujemy kobietę na Oddziale Położniczym. Urodzeniu
chłopca przyporządkowujemy liczbę 1, a urodzeniu dziewczynki zero. W tym
doświadczeniu mamy doczynienia ze ZL zero-jedynkową z prawdopodobień-
stwem p równym 0, 5. Oznacza to, że P (X = 1) = 0, 5, P (X = 0) = 0, 5,
E(X) = 0, 5, D2(X) = 0, 25.
Magdalena Górajska, CMF 1
1 Wybrane rozkłady zmiennej losowej skokowej
(Ad.2) Rozkład dwumianowy
Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, jeśli jej
funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem:

n
P (X = k) = pk(1 - p)n-k dla k = 0, 1, 2, ..., n,
k
gdzie p jest tzw. prawdopodobieństwem sukcesu.
W rozkładzie dwumianowym:
E(X) = np, D2(X) = np(1 - p).
W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakładamy, że ekspery-
ment losowy polega na wykonaniu doświadczeń Bernoulliego.
Doświadczenia Bernoulliego to ciąg n identycznych doświadczeń losowych,
spełniających warunki:
1. Są możliwe dwa wyniki sukces i porażka każdego doświadczenia.
2. Prawdopodobieństwo sukcesu, oznaczane jest symbolem p, jest ono w
każdym doświadczeniu stałe.
3. Doświadczenia są niezależne.
Przykład Eksperyment polega na trzykrotnym strzale do bramki, przez
strzelca, który trafia z prawdopodobieństwem 0, 8. Zdefiniujmy ZL X jako
liczbę celnych strzałów. Wówczas X = {0, 1, 2, 3}. Eksperyment spełnia wa-
runki schematu Bernoulliego, zatem P (X = 0) = 0, 008, P (X = 1) = 0, 096,
P (X = 2) = 0, 384, P (X = 3) = 0, 512. Wartość oczekiwana jest równa
E(X) = 0, 24, a wariancja D2(X) = 3 · 0, 8 · 0, 2 = 0, 48.
(Ad.3) Rozkład Poissona
Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem  > 0, jeśli jej
funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem:
k
P (X = k) = e-; dla k = 0, 1, 2, ..., n.
k!
Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładu dwumianowego, tzn.
jeśli w rozkładzie dwumianowym liczba prób n jest duża i prawdopodo-
bieństwo sukcesu p jest małe takie, że np = const, to prawdopodobieństwo
Magdalena Górajska, CMF 2
2 Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej
P (X = k) w rozkładzie dwumianowym można wyznaczać z powyższego wzo-
ru, przyjmując  = np. W rozkładzie Poissona
E(X) = , D2(X) = .
Przykład Pewne przedsiębiorstwo importuje banany. Uzgodniono, że w par-
tii towaru nie powinno siÄ™ znalez
ć więcej niż 0, 1% bananów nieodpowiadają-
cym nomom jakości. Pobrano próbę licząca 500 bananów. Stosując właściwy
rozkład obliczyć:
a) prawdopodobieństwo, że w losowo pobranej próbie bananów liczącej 500
sztuk, znajdziemy jednego banana nieodpowiadającego normie jakości,
b) prawdopodobieństwo, że w losowo pobranej próbie, będą co najwyżej dwa
banany zepsute,
c) obliczyć parametry rozkładu owoców wadliwych tzn. wartość oczekiwaną
i wariancjÄ™.
RozwiÄ…zanie:
Ad. a) n = 500, p = 0, 001, zatem  = n · p = 500 · 0, 001 = 0, 5. Ze wzoru
k
P (X = k) = e-,
k!
dla  = 0, 5 i k = 1 otrzymujemy
(0, 5)1
P (X = 1) = e-0,5 H" 0, 3.
1!
Prawdopodobieństwo tego, że w próbie 500 bananów będzie jeden zepsuty
wynosi 0, 3.
Ad. b) P (X 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2),
(0,5)0 (0,5)1
P (X = 0) = e-0,5 H" 0, 606, P (X = 1) = e-0,5 H" 0, 303, P (X =
0! 1!
(0,5)2
2) = e-0,5 H" 0, 076, stąd P (X 2) = 0, 985. Prawdopodobieństwo
2!
tego, że w próbie 500 bananów znajdziemy co najwyżej dwa banany nie
odpowiadające normom jakości wynosi 0, 985.
Ad. c)E(X) = , D2(X) = , zatem E(X) = 0, 5, D2(X) = 0, 5.
2 Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej
(1) Rozkład jednostajny
Magdalena Górajska, CMF 3
2 Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej
(2) Rozkład normalny
(3) Rozkład chi-kwadrat
(4) Rozkład Studenta
(Ad.1) Rozkład jednostajny
Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [a, b], jeśli jej funkcja
gęstości określona jest wzorem
Å„Å‚
1
òÅ‚
dla x " [a, b]
b-a
f(x) =
ół
0 dla x " [a, b]
/
Wartość oczekiwana i wariancja rozkładu jednostajnego wyrażają się nastę-
pujÄ…cymi wzorami:
(b-a)2
a+b
EX = , V arX = .
2 12
Przykład Czas oczekiwania na wydrukowanie książki przez Wydawnictwo
PA
jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym w przedziale [8 miesięcy,
20 miesięcy].
(Ad.2) Rozkład normalny
Rozkład normalny zwany też rozkładem Gaussa jest jednym z najważniej-
szych rozkładów prawdopodobieństwa. Zmienna losowa ciągła X ma rozkład
normalny z parametrami µ i Ã, jeÅ›li jej funkcja gÄ™stoÅ›ci wyraża siÄ™ wzorem:
(x-µ)2
1
"
f(x) = e- 2Ã2
dla x " (-", "),
à 2Ą
gdzie µ i à sÄ… dowolnymi parametrami liczbowymi, takimi że µ " R, a à > 0.
W rozkładzie normalnym:
E(X) = µ, D2(X) = Ã2.
JeÅ›li zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad normalny z parametrami µ i Ã, to ozna-
czamy go symbolem N(µ; Ã) (w skrócie piszemy X <" N(µ; Ã)).
Krzywa rozkÅ‚adu normalnego zmiennej losowej X <" N(µ, Ã)
Magdalena Górajska, CMF 4
2 Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej
Własności funkcji gęstości rozkładu normalnego
" Funkcja gęstości przyjmuje wartości nieujemne, a całkowite pole pod
krzywą gęstości jest równe 1.
" Wartość oczekiwana E(X) = µ okreÅ›la wartość przeciÄ™tnÄ… zmiennej X.
" Krzywa gęstości zmiennej losowej normalnej X jest symetryczna wzglę-
dem prostej prostopadÅ‚ej przechodzÄ…cej przez punkt x = µ. StÄ…d pola
1
pod krzywÄ… na lewo i na prawo od punktu µ sÄ… równe .
2
1
"
" Krzywa gęstości rozkładu normalnego osiąga maksimum równe
à 2Ą
dla x = µ.
" Finkcja gestoÅ›ci f(x) ma punkty przegiÄ™cia dla x = µ-à oraz x = µ+Ã.
Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu normalnego
REGUA
A TRZECH SIGM
P (µ - Ã < X < µ + Ã) = 0, 683
Magdalena Górajska, CMF 5
2 Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej
P (µ - 2Ã < X < µ + 2Ã) = 0, 955
P (µ - 3Ã < X < µ + 3Ã) = 0, 997
Rozkład normalny standaryzowany
Zmienna losowa U ma rozkÅ‚ad normalny standaryzowany, gdy µ = 0 i à = 1,
wówczas jej funkcja gęstości wyraża się wzorem:
1 u2
2
"
f(u) = e- dla u " (-", ").
2Ä„
W rozkładzie normalnym standaryzowanym:
E(U) = 0, D2(U) = 1.
Jeśli zmienna losowa U ma rozkład normalny standaryzowany, to oznaczamy
go w skrócie symbolem N(0; 1). Jego dystrybuantę oznaczamy literą Ś i

t2
"1 u 2
wyraża się ona wzorem Ś(u) = P (U < u) = e- dt.
-"
2Ä„
Zobrazowanie wartości dystrybuanty Ś(u)
Rozkład gestości prawdopodobieństwa i dystrybuanta ZL o rozkładzie
normalnym standaryzowanym
W odniesieniu do dystrybuanty rozkładu N(0; 1) prawdziwe są następu-
jąca równość:
Magdalena Górajska, CMF 6
2 Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej
1) P (U < u) = Åš(u),
2) P (U u) = 1 - P (U < u) = 1 - Åš(u),
3) P (a < U < b) = Åš(b) - Åš(a),
4) Åš(-u) = 1 - Åš(u),
Reguła trzech sigm dla rozkładu normalnego standaryzowanego
P (-1 < X < 1) = 0, 683
P (-2 < X < 2) = 0, 955
P (-3 < X < 3) = 0, 997
W celu znalezienia P (U < u) = Åš(u) korzysta siÄ™ z tablic statystycznych,
które zawierają obliczone prawdopodobieństwa dla różnych u.
Tablica wartości dystrybuanty Ś(u)
Standaryzacja dowolnego rozkładu normalnego
JeÅ›li zmienna losowa X <" N(µ, Ã) jest o wartoÅ›ciach parametrów innych
niż 0 i 1, wówczas obliczanie odpowiednich prawdopodobieństw z wykorzy-
staniem dostępnych tablic statystycznych wymaga zastosowania tzw. twier-
dzenia o standaryzacji.
X - µ
X <" N(µ, Ã) - U = - U <" N(0, 1)
Ã
Magdalena Górajska, CMF 7
2 Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej
X-10
Przykład Niech X <" N(10, 2), wówczas U = i U <" N(0, 1).
2
(Ad.3) Rozkład chi-kwadrat
Zmienna losowa X ma rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody,
jeśli jest sumą kwadratów k niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie
normalnym standaryzowanym.
k

X = Ui2,
i=1
gdzie U1, U2, ..., Uk są niezależnymi zmiennymi losowymi oraz Ui <" N(0; 1).
W rozkładzie chi-kwadrat:
E(X) = k, D2(X) = 2k.
Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu chi-kwadrat
Magdalena Górajska, CMF 8
2 Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej
(Ad.4) Rozkład t-studenta
Zmienna losowa t ma rozkład t-sudenta o k stopniach swobody, jeśli jest
opisana wzorem
"
U
"
t = k,
X
gdzie U <" N(0, 1), a X ma rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody oraz
U i X są niezależnymi zmiennymi losowymi.
Rozkład ten po raz pierwszy wyprowadził William Gosset pod pseudoni-
mem Student. Zmienna losowa jest tu oznaczana wyjątkowo małą literą t
(od ostatniej litery nazwiska autora). W rozkładzie Studenta:
k
E(t) = 0, D2(t) = ,
k - 2
o ile k > 2.
Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu t-studenta
Magdalena Górajska, CMF 9