RUCH KRZYWOLINIOWY
RUCH JEDNOSTAJNY PO OKR
GU
SZCZEGÓLNY PRZYPADEK RUCHU
KRZYWOLINIOWEGO
r r
v = v = Const , lecz v `" Const - zmiana kierunku ruchu
DROGA
Dla ruchu obrotowego wiel-
v'
kością analogiczną do prze-
v
sunięcia (drogi) jest przesu-
nięcie kątowe ą. Kąt ą okre-
śla położenie punktu wzglę-
dem układu odniesienia.
r
ds- element łuku zakreślony
dą
r
przez r w czasie dt
2Ąr - 2Ą
�! �! ds = dą �" r
ds - dą
Dla ruchu po okręgu, z definicji miary łukowej kąta ą =
S/R (w radianach).
dą
dą
zwrot w dół
zwrot w górę
r r r
dą
ale ds Ą" dą Ą" r ,
dą
r'
więc
ą
r r r
ds = dą � r
401
d
'
s
r
ą
d
r
ą
r
s
d
r r
r ds dą r
v= = �r
PR
DKOŚĆ:
dt dt
r
r ds
v =
Kątową analogią prędkości (liniowej) jest pręd-
dt
kość kątowa �:
r
r dą
� =
�
d t
-1
r r
r[�]=rd�s
v = � � r
r r
r Ą" v , reguła śruby prawoskrętnej
W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu � jest na-
zywane częstością kątową i jest związana z częstotliwo-
1
ścią f relacją � Ąf f = , [f] = Hz = s-1
� = 2Ą
� Ą
� Ą
T
PRZYSPIESZENIE K
TOWE Podobnie jak przyspie-
r
r dv
szenie liniowe zostało zdefiniowane przyspieszenie
a =
dt
r
r d�
� =
kątowe �
�:
�
�
d t
Dla ruchu po okręgu związek pomiędzy a i � jest ana-
�
�
�
logiczny do związku pomiędzy v i � �
� tzn. a = �R. Możemy
� �
� �
teraz np. podać opis ruchu obrotowego ze stałym przy-
spieszeniem ą poprzez analogię do ruchu postępowego
jednostajnie zmiennego.
402
r
v
Ruch postępowy Ruch obrotowy
a = const
� = const
�
�
�
v = v0 + at
� = �0 + ą
� � ą
� � ąt
� � ą
s = s0 + v0t + (1/2)at2
ą =ą0 + �0t + (1/2)�
ą ą � �
ą ą � �t2
ą ą � �
1) 2)
r
Kierunek i zwrot wekto-
�
�
rów prędkości kątowej �
�
�
�
r r
i przyspieszenia kąto- � �
� �
wego � w ruchu obro-
�
�
�
r
�
towym przyspieszonym
�
(1) i opóz
nionym (2):
403
RZYSPIESZENIE W RUCHU KRZYWOLINIOWYM
 PRZYSPIESZENIE STYCZNE I NORMALNE
as
v r
Z
r(t) - chwilowy pro-
an r mień krzywizny
r r r
v = �� r
r
r dv d r r
a = = (�� r) =
= = �� =
= = �� =
= = �� =
dtr dt
r
d� r r dr
�
�
�
= � r + �� ,
= � + ��
= � + ��
= � + ��
dt dt
Y
r
r s dv
�ła �ł
r r
skąd się bierze dv , = ?
�ł �ł
d� r dr r
dt
�ł łł
= � i = v,
X
dt dt
v'
r
dv
dv r
= a
v
dt
v
v'
a
r r r r r
a = � � r + �� v
zatem:
Jeśli dla uproszczenia ograniczymy się do ruchu w jednej
płaszczyz
nie np. YZ (co może być słuszne dla nieskoń-
czenie małego odcinka toru), to:
r
r r d�
(i) w pierwszym składniku � a zatem i � = są pro-
dt
stopadłe do płaszczyzny ruchu.
as
r
d� r r r
v
Zatem � r = � � r posiada ten
dt
r
r
sam kierunek co v czyli jest styczne
�
404
a
�
�
'
r
r
do toru ruchu:
r
r d� r r r
as = � r = � � r
dt
v
r r
(ii) Drugi składnik �� v
jest prostopadły do płaszczyzny
an
r r
v
(�, v) , a więc ma kierunek r lecz
�
przeciwny zwrot.
Zatem jest skierowany ku środko-
wi krzywizny, a więc ma kierunek
normalny (prostopadły) do toru ruchu.
Składnik ten ma sens przyspieszenia normalnego:
r r r
an = �� v
Korzystając z ww.
as
przyspieszenie w ruchu
krzywoliniowym:
r r r a
an
a = as + an
PRZYSPIESZENIE W RUCHU
JEDNOSTAJNYM PO OKR
GU
r
r dv r r r r
Obliczyć: a = = an + as , as = ? i an = ?
dt
r
(i) Obliczyć as
r
� =rConst
RJ po O: , v
r d�
v'
zatem � = = 0 ,
dv v'
dt
r'
r
405
�
r
r r r
as = 0
as = � � r
= � �
= � �
= � �
czyli W!!!
r r r
r
an = �� v
(ii) Obliczyć an = ? ,
r r r r
r r r
an = �� �� r
v = �� r ,
r r r r r r r r r
r r
{ A � B � C = B(A �" - C(A �" B) A �" = A �" B �" ą }
� � = �"C) - �" �"B = �" �"cos ą
� � = �" - �" �" = �" �" ą
� � = �" - �" �" = �" �" ą
r r r r r r r
v r r
an = �(� �" r) - r(� �" �) = 0 - r�2 bo � Ą" r
� Ą"
� Ą"
� Ą"
r r
an = -�2 �" r
W ruchu po okręgu przyspieszenie normalne, jest skiero-
wane wzdłuż promienia, o zwrocie do
środka okręgu (radialne), a zatem
dv
a
r,s,n
jest przyspieszeniem dośrodkowym:
r r r
r
an a" ar a" ad ,
r v2
ad = ar = �2 �" r =
,
r
r
r dv r r r
a = = ar + as = ar + 0
dt
r r
a = ar
czyli:
r
r
Fd = m �" ad
Siła dośrodkowa:
Siła dośrodkowa jest siłą centralną.
r
r
Fd = -m �" �2 �" r
406
v2
Fd = m �" �2 �" r = m �"
.
r
Istnienie siły dośrodkowej jest warunkiem koniecznym ru-
chu po okręgu!
407
DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO
 MOMENT P
DU PUNKTU MATERIALNEGO (KR
T)
Używany w opisie ruchu postępowe-
r r
go pęd p = m �" v nie jest dobrym pa-
rametrem dla opisu ruchu obrotowe-
v v
go ponieważ dla stałej �, prędkość v
�
�r
�
r r
zależy od r: v = �� r
Zdefiniujmy teraz wielkość, która w
ruchu obrotowym odgrywa rolę analogiczną do pędu.
r
Wielkość L będziemy nazywać momentem pędu i defi-
niujemy ją
r
r r
L = r � p
= �
= �
= �
m
,
[L] = m �" kg �" = kg �" m2 �" s-1
Z
s
r
gdzie p jest pędem
r
cząstki, a r reprezentuje
położenie cząstki wzglę-
L
dem wybranego inercjal-
nego układu odniesienia.
Y
p
Wartość L wynosi
rpsin� � nazy-
�, a rsin�
� �
� �
r
X wamy ramieniem pędu.
O
408
r
r
MOMENT SIA
Y
W ruchu postępowym siłę wiążemy z liniowym przy-
spieszeniem ciała. Jaką wielkość będziemy wiązać z
przyspieszeniem kątowym?
Nie może być to tylko siła, bo jak pokazuje doświadcze-
nie np. z otwieraniem drzwi przyspieszenie kątowe zależy
od tego gdzie i pod jakim kątem jest przyłożona siła.
Dla ruchu obrotowego odpowiednikiem siły w ruchu po-
stępowym jest moment siły (tzw. moment obrot.) �
�.
�
�
Jeżeli siła F działa na cząstkę to moment siły jest defi-
r
r r
� = r � F
niowany jako ,
gdzie wektor r reprezentuje
położenie cząstki względem
wybranego inercjalnego
układu odniesienia. Moment
siły jest wielkością wektoro-
wą, której wartość bez-
względna wynosi: � = rFsin�
(iloczyn wektorowy). Wiel-
kość r nazywamy ramieniem siły (widać, że bierzemy albo
rĄ" albo FĄ"). [�] = N�m
r
r
r
r r
dp
Z � = r � F , oraz z II ZDN F = :
dt
r
r r dp
� = r �
(*).
dt
409
Opisać położenie w przestrzeni, wektorów:
r r
r r r r r
jeżeli na punkt materialny o masie m
r, p, F, dp, �, L, dr
�
�
�
r
r
i pędzie p zaczepiony w punkcie O, działa siła F, przy
r
r
czym F Ą" p .
r
r
Załóżmy na rys.: F(z) , p(y)
r
r
dp
z II ZDN: F = ,
Z
(z)
dt
r
r
więc dp(z) II F(z) .
r r
(z) r r r r
(y)
� = r � F, � Ą" (r,F) ,
r
r r
m
�(y) = r(x) � F(z) .
L(z)
r r
r r
L = r � p , L Ą" (r,p),
Ą" ( )
Ą" (r r)
Ą" ( )
r
r r
L(z) = r(x) � p(y) .
r
dr(z)
r r
O
dp(z) = m �" dv(z) = m ,
�
Y
(y)
dt
X
r r
r r r
dr(z) II dp(z) II dv(z) II L(z) IIF(z) .
410
)
x
(
r
PIERWSZA ZASADA DYNAMIKI DLA RUCHU
OBROTOWEGO
Jeżeli na ciało nie działają żadne momenty sił, lub
działające momenty sił równoważą się, to ciało pozo-
staje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostaj-
nym obrotowym.
r
�i
� = 0
Gdy lub "r = 0
i
to
r
r
� = 0 � = Const
lub .
DRUGA ZASADA DYNAMIKI DLA RUCHU
OBROTOWEGO
r r
r r
Wyjdz
my z definicji L L = r � p
Zróżniczkujemy obustronnie względem czasu
r
r r r r
d L d(r � p) d r r r dp
= = �p + r �
d t d t d t d t
r
dr r r r
ale = v, p = mv
rdt
r
d L r r r d p
więc = (v � mv) + r �
d t d t
r r
v� mvr= 0, bo v�v�sin(0o)=0
r
r
d L r dp r r
= � = � = �
= � = � = �
= � = � = �
= r � = r � F = �
d t d t
r
r
d p
Porównajmy ww. z F =
d t
411
r
r d L
� = II ZDN dla ruchu obrotowego
d t
Widzimy, że wypadkowy moment siły działający na cząst-
kę jest równy prędkości zmian momentu pędu tej cząstki.
412
Przykład
Zadanie z wykładu inauguracyjnego 06-10-1998
Z jaką prędkością poruszał się na rowerze A. Einstein, na
łuku drogi o promieniu R = 5 m jeżeli odchylał się od pio-
nu o kąt Ą
Ą/6 = 30o?
Ą
Ą
�i
"r = 0
i
r r
�d = �Q
Fd
r r
r r
r � Fd = r � Q
ą
r � Fd � sin(90-ą) = r � Q � siną
r
m �" cosą = m �"g �"sin ą
/�" v2 /
O
Q=mg
R
ą
m km
v = g �" R �" tgą H" 5,4 H"19 .
s h
413
MOMENT P
DU DLA PUNKTU MATERIALNEGO I
BRYA
Y SZTYWNEJ
 POJ
CIE MOMENTU BEZWA
ADNOŚCI
(i) Moment pędu dla punktu materialnego w ruchu po
okręgu
r
r r r r
L = r � p = r � v �" m
r r r
v = �� r
r
r r r
m
L = m �" r �� r
r r r� r r r r r r
A � B� C = B(A �"C) - C(A �" B)
r
r r r r r r
L = m��" (r �" r) - mr �" (r �" �)
r r r r
(r �" r) = r2 ; (r �" �) = 0, bo
r r
r Ą" �
r r
r r
�
L = (m �" r2) �" � czyliL " �
r r r r
porównajmy to z: p = (m) �" v czyli p " v
r
r
L = I �"�
zatem
gdzie I jest momentem bezwładności. Jest to odpowied-
nik masy w ruchu postępowym prostoliniowym.
Dla punktu materialnego o masie m obracającego się
wokół osi o promieniu r:
I = m �" r2
[I] = kg�m2
414
r
v
(ii) Moment pędu dla dyskretnego układu punktów
materialnych.
Wartość momentu pędu L i-tego
�
punktu materialnego
r
r
Li = Ii �"�i
L
r
L =
"L = "I �"� = ��""I
i i i
r1 m1L1 i i i
r2 m2L2
I =
"I = "m �" ri2
rn i i
Ln
i
i
mn
r
r
L = I �"�
(iii) Moment pędu dla ciągłego rozkładu masy (obrót
ciała sztywnego wokół osi stałej).
Przeanalizujmy ruch takiej bryły obracającej się ze sta-
łą prędkością kątowa � wokół stałej osi w układzie środka
masy (rysunek). Zauważmy, że różne części ciała mają
różną prędkość liniową v chociaż tą samą kątową �. Dla
potrzeb opisu ciało możemy podzielić na elementy o ma-
sie "mi odległe od osi obrotu o ri. Wtedy prędkość takiego
elementu wynosi vi = ri�.
Wartość momentu pędu L tego ciała moż-
na obliczyć
�
�ł
2
L = "mivi = "mi (ri�) = "mi �ł�
�ł �ł
"r "r "r łł
i i i
i i �ł i
Wielkość w nawiasie nazywamy momen-
"mi
tem bezwładności I, który definiujemy jako
n
ri
2
I = "mi
"r ,
i
i=1
vi
415
u
t
ś
o
o
r
b
o
a dla ciągłego rozkładu masy mamy
2
n
2 2
I = dm
I =
+"r
"r "mi = dm ,
i
lim +"r
"m0
i=1
M
Zwróćmy uwagę, że I zależy od osi obrotu.
m dm
� = = , skąd dm = ��" dV
V dV
2
I = �" dV , dV = dx dy dz
+"�r
V
2
I =
+"+"+"�r �" dxdydz.
x,y,z
Moment bezwładności wzgl. określonej osi jest miarą
bezwładności ciała w ruchu obrotowym wokół tej osi.
Moment bezwładności I jest analogiczną wielkością do
masy m w ruchu postępowym.
Chociaż masa ciała nie zależy od jego położenia to mo-
ment bezwładności zależy od osi, wokół której obraca się
ciało.
416
TWIERDZENIE STEINERA
TWIERDZENIE O OSIACH RÓWNOLEGA
YCH
Wez
my ciało o masie m i znanym położeniu środka masy
oraz znanym momencie bezwładności względem osi
przechodzącej przez ś.m. Iśm. Obl. moment bezwładności
I względem osi równoległej, oddalonej o a od śm.
(widok z góry)
2
I = dm
+"r
r2 = (a + x)2 + y2 =
= a2 + x2 + 2ax + y2
ŚM
a
x
r2 = a2 + 2ax + x2 + y2
�
r1 y
r
x2 + y2 = r12
dy
dV, dmdy
r2 = a2 + 2ax + r12
2 2
I = dm = + 2ax + r12)dm =
+"r +"(a
m m
2 2
= �"dm +2a �" dm + �" dm =
1
+"a +"x +"r
m m m
2
= a2 �" m + 2a x �" dm + �"dm
1
+" +"r
m m
1
xśm = x �" dm wyznacza położenie śm. Jeżeli początek
+"
m
m
układu współrzędnych pokrywa się z położeniem śm, to
+"x �"dm = 0 .
m
417
2
1
+"r �"dm = Iśm jest momentem bezwładności wzgl. śm.
m
a2�m jest odległością śm od osi obrotu.
Tw. Steinera (o osiach równoległych):
I = ma2 + Iśm
gdzie m jest masą ciała, a d odległością pomiędzy osia-
mi.
Moment bezwładności ciała o masie m względem osi
oddalonej o a od śm. jest równy sumie momentu bez-
władności tego ciała wzgl. osi obrotu równoległej do danej
i przechodzącej przez śm. i iloczynu masy ciała i kwadra-
tu odległości osi obrotu od śm.
Jakub Steiner (1796 1863) - jeden z najsławniejszych
niemieckich matematyków nauczył się czytać i pisać do-
piero w wieku 14 lat. Jego niewykształceni rodzice byli
przeciwni edukacji syna nie widząc żadnej z tego korzy-
ści. Jednakże uparty młodzieniec ukończywszy 18 lat,
wbrew woli rodziców zaczął uczęszczać do szkoły w
Yverdon, gdzie szybko wykazał się niezwykłą intuicją
geometryczną.
Studiował w Hilderbergu i Berlinie. Pracował na uniwersy-
tetach w Królewcu i Berlinie.
Karierę naukową rozpoczął dopiero w wieku 36 lat.
Nie znosił algebry i analizy matematycznej, gdyż uważał,
że rachunki zastępują myślenie, podczas gdy geome-
tria je stymuluje.
418
Przykład
Obl. I rury cylindrycznej o masie m, długości L i promie-
niach wewnętrznym R1 i zewnętrznym R2 względem osi
obrotu równoległej do osi głównej rury i oddalonej od niej
o odległość a.
Dane: m, L, R1, R2, a
Szukane: I = ?
2
dr
I = ma + Iśm
z Tw. Steinera:
a dm
R1 r dV
2 2
R2
Iśm = �" dm = dV ,
+"r +"�r
M V
dV = 2Ąr �" dr �" L
V, m
R
R 2
L
2
r4
Iśm = 2Ą�L r3 �" dr = 2Ą�L =
+"
4
R
1 R
1
2Ąr
dr
1
4
= Ą�L(R4 - R1 ),
2
L
2
m m
dm dV
� = =
4
V ĄL(R4 - R1 ),
2
4 2 2
1 ĄLm R4 - R1 1 (R2 - R1 )(R2 + R1 )
2 2 2
Iśm = = m ,
2 2
2 ĄL R1 - R1 2 (R1 - R1 )
2 2
1
2
,
Iśm = m(R2 + R1 )
2
2
1
2
I = ma2 + m(R2 + R1 )
.
2
2
Moment bezwładności nie zależy od długości ciała, lecz rozkładu
(odległości) mas od osi obrotu i wielkości masy.
419
oś
obrotu
.
ś
m
o
ś
Momenty bezwładności walców wzgl. ś.m.:
(i) dla rury dwuściennej R2 > R1 :
1
2
Iśm = m(R2 + R1 ),
2
2
I nie zależy od L, ale od rozkładu masy wzgl. osi
(ii) dla pełnego walca R1 = 0, R2 = R:
1
Iśm = mR2,
2
(iii) dla cienkościennego cylindra R1 = R2 = R:
Iśm = mR2 .
420
Momenty bezwładności niektórych innych brył:
(Obowiązuje Państwa umiejętność obliczania)
bryła rysunek I
m
Obręcz względem gł. mR2
R
dm
osi symetrii
dm
dx
x
Cienki pręt względem 1
ml2
m
l
osi Ą" przechodzącej
3
przez koniec pręta
dm
xdx
1
ml2
Cienki pręt względem
12
l m
osi symetrii Ą" do pręta
Sfera względem osi
2
mR2
przech. przez środek
3
R
m
Pełna kula względem
osi przech. przez śro-
2
R
mR2
dek
5
m
421
x
d
MOMENT BEZWA
ADNOŚCI CIAA
A SZTYWNEGO
WOKÓA
OSI SWOBODNEJ
("
r
r
L = I�" �
w ogólnym przypadku:
�ł łł
Ixx Ixy Ixz
("
�łI Iyy Iyz śł
gdzie I = jest wielkością tensorową 3D.
yx
�ł śł
�łIzx Izy Izz śł
�ł �ł
�ł łł
Lx Ixx Ixy Ixz �x
�ł łł �ł łł
�łI Iyy Iyz śł
�łL śł �ł� śł
Moment pędu: = �" ,
y yx y
�ł śł
�ł śł �ł śł
�łIzx Izy Izz śł
�ł śł �ł śł
�łLz �ł �ł�z �ł
�ł �ł
Lx = Ixx �" �x + Ixy �"�y + Ixz �" �z ,
Ly = Iyx �" �x + Iyy �" �y + Iyz �" �z ,
Lz = Izx �" �x + Izy �"�y + Izz �" �z .
OSIE SWOBODNE
Nie każda oś obrotu ciała jest osią swobodną.
Oś swobodna to taka, na którą nie działają żadne siły.
Oś swobodna nie zawsze musi przechodzić przez
środek masy, ale I (moment bezwładności) musi mieć
wartość ekstremalną (największą lub najmniejszą)
422
ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU P
DU
r
Wynika wprost z II ZDN dla ruchu obrotowego � = d L
r
d t
r
r
r d L
� = 0
Gdy to = 0 , więc L = Const
d t
r
r
d Lwypadkowy
d
lub ogólniej
�i
�ł �ł
"r = d t �ł"L �ł = d t
i
i �ł i łł
r
r
d Lwypadkowy
= 0 �! Lwypadkowy = Const.
d t
Jeżeli na układ nie działa zewnętrzny moment siły (lub
suma = 0) to moment pędu układu pozostaje stały.
r
I �" � = Const
Inaczej: .
423
Przykład
A
yżwiarka w pozycji wyjściowej do pirueta posiada mak-
symalnie rozłożone ramiona, wysuniętą w bok jedną nogę
i odchyloną głowę. Powoduje to, że zaczyna się kręcić z
małą �1, ale z dużym I1. Jaka będzie częstotliwość jej ob-
�
�
�
rotów, gdy złoży ręce zmniejszając pięciokrotnie I2?
I�"� = Const
I1� �1 = I2 � �2
I1
�2 = �" �1
.
I2
I1� �1 = I2 �
�2
ENERGIA KINETYCZNA RUCHU OBROTOWEGO
1
Ek = mv2, m I , v �
2
1
Ek = I�2 , [Ek] = kg�m2�s-2�(rd2) = J.
2
424
RUCH POST
POWO-OBROTOWY CIAA
A
SZTYWNEGO
Dotychczas rozpatrywaliśmy osobno ruch postępowy i
ruch obrotowy ciała względem osi nieruchomych. Toczą-
ce się ciało wykonuje zarówno ruch postępowy, jak i ob-
rotowy. Toczenie to złożenie ruchu postępowego i obro-
towego:
(a) ruch postępowy (wszystkie punkty poruszają się z ta-
kimi samymi prędkościami),
(b) ruch obrotowy (przeciwległe punkty poruszają się z
przeciwnymi prędkościami, a środek jest nieruchomy),
(c) ruch postępowo-obrotowy (superpozycje rysunków (a)
i (b)).
Zwróćmy uwagę, że podstawa walca (punkt P stycz-
ności z podłożem) w każdej chwili spoczywa (v = 0). Na-
tomiast prędkość liniowa każdego innego punktu jest w
każdej chwili prostopadła do li-
nii łączącej ten punkt z podsta-
wą P i proporcjonalna do odle-
głości tego punktu od P. Walec
obraca się wokół punktu P.
Toczenie możemy opisywać
również jako "czysty" ruch ob-
rotowy, ale względem osi przechodzącej przez punkt P
styczności z powierzchnią, po której toczy się ciało.
Ek = Ek.r.obrot + Ek.r.post ,
1 1
Ek = I�2 + mv2 .
2 2
425
B
K SYMETRYCZNY
(PRZYKA
AD RUCHU OBROTOWEGO CIAA
A WOKÓA
OSI
SWOBODNEJ
Z
Z
�
p
�
p
�
dĆ
dL
Ś
F
Ś
R
mg
Y
Y
� �
+d
�
�
X
X
Bąk wykonuje ruch obrotowy dookoła pewnej osi sy-
metrii, w którym oś obrotu nie jest nieruchomą w inercjal-
nym układzie odniesienia.
Punkt podparcia bąka znajduje się w początku iner-
cjalnego układu odniesienia, a oś wirującego bąka poru-
sza się dookoła osi pionowej, zakreślając powierzchnię
stożka.
Taki ruch nazywamy precesją.
r
�  prędkość kątowa dookoła osi własnej,
�
�
�
r r
�  kąt jaki tworzy moment pędu L z osią pionową.
�
�
�
Na bąk działają dwie siły:
(i) siła w punkcie podparcia działająca w górę (ma zerowy
moment bo ma zerowe ramię),
r
(ii) siła ciężkości mg przyłożona do środka masy działa-
jąca w dół.
426
L
+
d
L
Względem punktu podparcia wywierany jest moment siły:
r
r r r r
� = r � F = r �
� = � = �mg
� = � = �
� = � = �
r r
gdzie r określa położenie środka masy, � Ą" (r,g) .
� Ą" ( )
� Ą" (r r)
� Ą" ( )
r
r r
Zauważmy, że �, L, obracają się dokoła osi pionowej z
rr
prędkością precesji �p .
�
�
�
r
Obl. prędkość precesji �p
�
�
�
d�
�p =
dt
�
L d� - dL
R
�p
dL d
2Ą - 2ĄR
dL
więc d� = .
�p
R
R
R
= sin �, R = Lsin �
L
L
�
zatem
d� dL 1 dL
�p = = , � =
dt dt L �"sin � dt
�
r
�p =
, (*)
L �"sin � o
Obl. �:
�
� = r F sin ą = r m g sin(180�-�) =
mg
r
= r m g sin�,
�
427
1
8
0
ą
m �"g �" r �"sin �
�p = ,
L �"sin �
m �" g �" r
�p =
.
L
�p <" m, r, 1/L, +nutacje
Prędkość precesji nie zależy od kąta �.
r
r r
Z równania (*): � � �,
� = �p L sin� � Ą" �p Ą" L
� � �
� � �
r
r
Otrzymaliśmy wartość iloczynu wektorowego �p � L.
r
r r
� = �p �L
Jest to wyrażenie wiążące prędkość kątową precesji z
momentem siły i momentem pędu ma postać
Zjawisko precesji momentu magnetycznego (spinu)
jest podstawą różnych technik doświadczalnych (NMR,
EPR), które znalazły szerokie zastosowanie w badaniach,
technice i medycynie.
428
EFEKT GIROSKOPOWY
Giroskop to koło o możliwie dużym I wprawione w ruch
obrotowy o dużym �, zawieszone swobodnie (np. na za-
�
�
�
wieszeniu Cardana).
Giroskop posiada tę ciekawą własność, że każda pró-
ba zmiany położenia osi obrotu w przestrzeni powoduje
powstanie � starającego się przywrócić układ do stanu
�
�
�
równowagi.
Zastosowanie efektu giroskopowego:
(i) stabilizator toru rakiet, torped... za pomocą serwome-
chanizmów (przekaz
ników) uruchamiających stery i
dodatkowe silniki,
(ii) stabilizator kolei jednoszynowej,
(iii) stabilizator statków.
Statek M > 104 T
G  wielki giroskop m <" 102 T,
S1  duży silnik napędzający G,
K  koło zębate zwiększające pr. obr.,
K
S2  mały silnik napędzający K,
g  mały, precyzyjny giroskop dla stero-
wania S2,
429
ZESTAWIENIE WIELKOŚCI OPISUJ
CYCH RUCH
POST
POWY Z ICH ODPOWIEDNIKAMI DLA RUCHU
OBROTOWEGO.
ruch ru ch zwią-
wielkość prostoliniowy obro towy zek
def. [jedn.] def. [jedn.]
r r
przmiesz- x, s, m rd
dr =
ą
r r r
czenie
r r dą� r
r r r
v = � � r
r
r r r
r
r dr m�s-1 � = dą rd�s-1
v = �� r
v =
prędkość
dt dt
r r r r
r r
r dv
m�s-2 rd�s-2
a = � � r
r d� d2ą
a =
� = =
przyspie-
dt
dt dt2
r
szenie
d2r
=
dt2
2
bezwład- m kg kg�m2
I = �"dm I = m �" r2
+"r
ność
r r r r
r r r r r
pęd / p = m �" v kg�m kg2ms-1
L = r � p
L = r � p = I �"�
moment �s-1
pędu
r r r
r r r
siła / N�m
F = ma
� = r � F
r r dL
N=
r � = I �" � =
moment
dp
kg m s-2 dt
=
siły
dtr
r
r r
W =
praca 
+"F�"ds J= N�m W = �"dą J
+"�
1
energia 1 
Ek = m �" v2
Ek = I �"�2 J
2
kinetycz- J
2
na
r
r
dW
W = W 
P = M �"�
P =
moc = J�s-1
dt
r
r
= F�" v
430