Statystyka Inżynierska
W3: Zmienna losowa ci¸
ag la
dr hab. inż. Katarzyna Filipiak
Instytut Matematyki
Politechnika Poznańska
23.10.2015
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 23.10.2015 1 / 20
Zmienna losowa
Zmienn¸ losow¸ X nazywamy funkcj¸ X = X(É)
a a e
okreÅ›lon¸ na przestrzeni zdarzeÅ„ elementarnych &! o
a
wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych R.
Zmienna losowa ci¸  zmienna przyjmuj¸ wszystkie
ag la aca
wartości z pewnego przedzia lu liczbowego. f&
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 23.10.2015 2 / 20
Funkcja g¸
estości
Funkcja g¸
estości prawdopodobieństwa f (x)  funkcja
opisuj¸ rozk lad prawdopodobieÅ„stwa zmiennej losowej
aca
ci¸ aca epuj¸
ag lej posiadaj¸ nast¸ ace cechy:
a) f : R - R+ *" {0},
b) P(a d" X d" b) = pole pod krzyw¸ f (x) mi¸
a edzy a i b.
W lasności:
f (x) e" 0

b
P(a d" X d" b) = f (x)dx
a

"
f (x)dx = 1
-"
P(X > b) = 1 - P(X d" b)
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 23.10.2015 3 / 20
Funkcja g¸
estości
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 23.10.2015 4 / 20
Kszta lt krzywej g¸
estości
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 23.10.2015 5 / 20
Dystrybuanta
Dystrybuant¸ zmiennej losowej X nazywamy funkcj¸
a e
F(X) okreÅ›lon¸ na zbiorze liczb rzeczywistych i
a
przyjmuj¸ a wartoÅ›ci
ac¸
F(x) = P(X < x).
JeÅ›li dystrybuanta F(x) ma pochodn¸ w punkcie x, to
a
pochodn¸ t¸ nazywamy g¸ a
a e estoÅ›ci¸ prawdopodobieÅ„stwa
zmiennej losowej X w punkcie x.
Niech F (x) = f (x). Wówczas

x
F(x) = f (t)dt.
-"
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 23.10.2015 6 / 20
Charakterystyki liczbowe
Definicja
WartoÅ›ci¸ oczekiwan¸ ci¸
a a ag lej zmiennej losowej X
nazywamy

"
E(X) = x · f (x)dx
-"
Definicja
Wariancj¸ ci¸
a ag lej zmiennej losowej X nazywamy

" "
D2(X) = [x - E(X)]2 · f (x)dx = x2 · f (x)dx - [E(X)]2
-" -"
(o ile ca lki istniej¸
a!)
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 23.10.2015 7 / 20
Rozk atny)
lad jednostajny (prostok¸
Funkcja g¸
estości (a,b " R, a < b):

1
dla a d" x d" b,
f (x) =
b - a
0 dla x < a i x > b
Dystrybuanta:
Å„Å‚
ôÅ‚
0 dla x < a
òÅ‚
x - a
F(x) = dla a d" x d" b,
ôÅ‚ - a
b
ół
1 dla x > b
Charakterystyki liczbowe:
a + b (b - a)2
E(X) = , D2(X) =
2 12
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 23.10.2015 8 / 20
Rozk atny
lad trójk¸
Funkcja g¸
estości (a,b,c " R, a < b < c):
Å„Å‚
2(x - a)
ôÅ‚
ôÅ‚
dla a d" x d" b,
ôÅ‚
òÅ‚
(c - a)(b - a)
2(c - x)
f (x) =
dla b < x d" c,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ - a)(c - b)
(c
ół
0 dla x < a i x > c
Charakterystyki liczbowe:
a + b + c a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc
E(X) = , D2(X) =
3 18
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 23.10.2015 9 / 20
Rozk ladniczy
lad wyk
Funkcja g¸
estości ( > 0):

0 dla x < 0
f (x) =
 e-x dla x e" 0
Dystrybuanta:

0 dla x < 0
F(x) =
1 - e-x dla x e" 0
Charakterystyki liczbowe:
1 1
E(X) = , D2(X) =
2
 
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 23.10.2015 10 / 20
Rozk
lad normalny
Funkcja g¸
estoÅ›ci (µ " R, à " R+):
(x-µ)2
1
2Ã2
"
f (x) = e-
2Ä„Ã
Charakterystyki liczbowe:
E(X) = µ, D2(X) = Ã2
f&
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 23.10.2015 11 / 20
Rozk
lad normalny
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 23.10.2015 12 / 20
Rozk
lad normalny
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 23.10.2015 13 / 20
Rozk
lad normalny
Regu la trzech sigm
Niech X <" N(µ,Ã). Wówczas
P(µ - Ã < X < µ + Ã) = 0,683
P(µ - 2Ã < X < µ + 2Ã) = 0,954
P(µ - 3Ã < X < µ + 3Ã) = 0,997
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 23.10.2015 14 / 20
Regu la Czebyszewa
Jeżeli X jest dowoln¸ zmienn¸ losow¸ o skoÅ„czonej
a a a
wariancji Ã2 i wartoÅ›ci oczekiwanej µ, to dla dowolnej
liczby k > 0 zachodzi tzw. nierówność Czebyszewa:
1
P(|X - µ| e" kÃ)) d" .
k2
UWAGA! Jeżeli rozk lad zmiennej losowej X jest
symetryczny i jednomodalny, to zachodzi (pochodz¸
ace
od Gaussa) oszacowanie:
4
P(|X - µ| e" kÃ)) d" .
9k2
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 23.10.2015 15 / 20
Rozk
lad normalny
W lasności:
X <" N(µ,Ã) Ò! Y = aX + b <" N(a + bµ,|b|Ã)
X - µ
X <" N(µ,Ã) Ò! Z = <" N(0,1)
Ã

X - µ b - µ b - µ
P(X d" b) = P d" = P Z d"
à à Ã

a - µ b - µ
P(a d" X d" b) = P d" Z d"
à Ã
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 23.10.2015 16 / 20
Przybliżenie rozk ladu dwumianowego
Niech X <" B(n,p) oraz niech a,b " N. Wówczas

b
n
P(a d" X d" b) = pkqn-k.
"
k
k=a
Jeżeli X <" B(n,p), gdzie n jest duże i p nie jest bliskie 0
lub 1, to rozk lad standaryzowanej zmiennej losowej
X-np
"
Z = jest w przybliżeniu N(0,1), tzn.
npq

X - np
lim P a d" d" b = F(b) - F(a),
"
n"
npq
gdzie F(x) jest dystrybuant¸ rozk ladu normalnego.
a
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 23.10.2015 17 / 20
Przybliżenie rozk ladu dwumianowego

a - np b - np
P(a d" X d" b) H" P d" Z d"
" "
npq npq
(bez poprawki na ci¸
ag lość)

a - 0,5 - np b + 0,5 - np
P(a d" X d" b) H" P d" Z d"
" "
npq npq
(z poprawk¸ na ci¸
a ag lość)
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 23.10.2015 18 / 20
Åšrednia
Niech X1,X2,...,Xn b¸ a zmiennymi losowymi o takim
ed¸
samym rozk ladzie f (x).
Jeżeli f (x) jest funkcj¸ g¸
a estości rozk ladu normalnego
N(µ,Ã), to

n
1 Ã
"
X = Xi <" N µ, .
"
n n
i=1
Jeżeli f (x) jest funkcj¸ g¸
a estości dowolnego rozk ladu z
wartoÅ›ci¸ oczekiwan¸ µ i odchyleniem standardowym Ã,
a a
oraz n jest duże (n > 30), to

n
1 Ã
"
X = Xi <" N µ, .
"
n n
i=1
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 23.10.2015 19 / 20
Centralne twierdzenie graniczne
W losowym próbkowaniu z dowolnej populacji o wartości
oczekiwanej µ i odchyleniu standardowym à rozk lad X
przy dużym n jest w przybliżeniu rozk ladem normalnym z
wartoÅ›ci¸ oczekiwan¸ µ i odchyleniem standardowym
a a
"
Ã/ n, tzn.
X - µ
"
Z = <" N(0,1).
Ã/ n
WNIOSEK: Rozk lad zmiennej losowej
T = X1 + X2 + ... + Xn
"
d¸Å¼y do rozk ladu normalnego N(n · µ, n · Ã).
a
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 23.10.2015 20 / 20