Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Optymalizacji Konstrukcji
WYKA
AD 2
SFORMUA
OWANIE PROBLEMU OPTYMALIZACYJNEGO
Wybór funkcji celu.
Przystępując do definiowania problemu optymalizacyjnego należy wyraz
nie określić
cele jakie mają być osiągnięte oraz rozmiar dziedziny, do której należą obiekty będące
przedmiotem zainteresowania. Niezwykle rzadko mamy do czynienia z projektem urzÄ…dzenia
bÄ…dz
systemu całkowicie nowatorskiego, nie posiadającego żadnego odniesienia
do istniejących produktów. Przeważnie zachodzi jedna z wymienionych niżej sytuacji:
- opracowanie nowej konstrukcji urządzenia w obrębie tej samej technologii produkcji,
czego przyczyną może być zmiana czynników zewnętrznych (np. cen materiałów
i nośników energii), albo wprowadzenie dodatkowych wymagań ilościowych
lub jakościowych;
- opracowanie nowej konstrukcji urzÄ…dzenia pozwalajÄ…cej na wprowadzenie zmian
w technologii produkcji, które z kolei umożliwią uzyskanie dodatkowych korzyści
z szeroko rozumianej jego nowoczesności;
- opracowanie nowych konstrukcji typoszeregu urządzeń, co daje okazję
do wprowadzenia unifikacji elementów konstrukcyjnych i pozyskania wynikających
z tego oszczędności.
W większości przypadków ocena jakości wybranego obiektu mającego podlegać
optymalizacji nie może być dokonana za pomocą jednego kryterium. Można przyjąć trzy
podstawowe grupy kryteriów pozwalających na szeregowanie wartości porównywanych
urządzeń:
- Ekonomiczna miara wartości, będąca zazwyczaj sumą iloczynów jednostki miary
i odpowiadającej jej ceny  wyrażonej na przykład w zł/kWh czy zł/kg.
- Techniczna miara wartości, będąca wybranym, bezpośrednio mierzalnym parametrem
obiektu, jak masa, sprawność, poziom emitowanego dz
więku, itp.
- Subiektywna miara wartości, opierająca się na indywidualnych ocenach stopnia
przyjemności wynikającej z posiadania czy użytkowania danego urządzenia. Można tu
mówić o kryteriach takich jak ergonomia, wygląd zewnętrzny, wygoda użytkowania
czy nawet prestiż.
1
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Optymalizacji Konstrukcji
O ile ocena subiektywnych cech urządzenia należy raczej do domeny działań marketingowo
-reklamowych (mających jednak szereg powiązań z obszarem projektowania technicznego),
to łączenie miar ekonomicznych i technicznych jest często spotykane. Zachodzi pytanie jak
można połączyć miary mające różne miana. Jednym ze sposobów jest wprowadzenie obiektu
referencyjnego, dla którego znane są wartości wszystkich potencjalnych składników funkcji
celu
Fref (xref )= {f1(xref ), f2(xref ), ... fM (xref )}
gdzie
xref = {xref 1, xref 2 , ... xref N ,}
jest wektorem parametrów tego obiektu. Wprowadzając normalizację, zarówno składników
funkcji celu jak i składowych wektora zmiennych decyzyjnych, otrzymuje się bezwymiarowe
wielkości względne
xk
Çk = k = 1,2,...kmax
xref k
f (xref 1 Ç1,xref 2 Ç2 ,... xref M ÇM )
j
Åš (Ç )= j =1, 2, ... jmax
j
f (xref 1 ,xref 2 ,... xref M )
j
Nie ma więc przeszkód, aby wprowadzić zastępczą (zlinearyzowaną, czyli przedstawioną
w postaci kombinacji liniowej) funkcjÄ™ celu ÅšL(Ç) jako sumÄ™ skÅ‚adników
jmax
ÅšL(Ç)= Åš (Ç)
"wj j
j =1
gdzie wagi wj spełniają zależność
jmax
= 1
"wj
j=1
WartoÅ›ci ÅšL(Ç) oraz Çk sÄ… bliskie jednoÅ›ci, co daje zarówno wygodnÄ… interpretacjÄ™ wyników
postępowania optymalizacyjnego oraz zabezpiecza przed błędami przy przeszukiwaniu
wielowymiarowej przestrzeni optymalizacji. Wartości poszczególnych wag wj są najczęściej
wyznaczane na drodze tzw. analizy wartości (ang. value engineering).
2
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Optymalizacji Konstrukcji
Wartość czasowa pieniądza
Niezależnie od omówionej techniki linearyzacji funkcji celu jest konieczne
wprowadzenie do procesu definiowania tej funkcji pewnych elementów ekonometrii, ponieważ
rachunek kosztów jest zazwyczaj integralnym składnikiem oceny. W szczególności istotna jest
rola czynnika czasu, czyli określenia kiedy powstają poszczególne składniki kosztów.
Rozpatrzmy inwestycję P jednostek pieniądza (przykładowo na zakup obligacji
państwowych lub złożenia ich na rachunku bankowym), która przynosi zysk iP jednostek
po okresie obliczeniowym (najczęściej 1 rok). Suma ta jest w całości ponownie inwestowana
i po drugim okresie przyniesie iP(1+i) jednostek, a całkowita suma wzrośnie do S2=P(1+i)2.
Jeżeli proces inwestowania trwa n okresów (lat), to końcowa wartość wyniesie
n
Sn = (1 + i) P
Podobnie rozumując, oczekiwana po n latach zapłata Sn ma obecnie wartość
1
P = Sn
n
(1 + i)
Wielkość i jest nazywana stopą dyskonta (ang. rate of interest) a wyrażenie 1/(1+i)n jest
określane jako współczynnik dyskonta (ang. compound interest factor).
Rozważmy teraz inwestycję polegającą na ciągu identycznych zapłat R wnoszonych
pod koniec każdego okresu obliczeniowego. W ten sposób mogą być przedstawiane koszty
eksploatacyjne (koszt energii, serwisu itp.). Pierwsza zapłata mogłaby przynosić zysk przez (n-1)
okresów, druga przez (n-2) itd. Ten ciąg zapłat tworzy szereg geometryczny o sumie
n
(1 + i) -1
n-1
Sn = (1 + i) R + ... +(1 + i)R + R = R
i
Wykorzystując relacje pomiędzy wartością w chwili początkowej P i zapłatą po n latach Sn
otrzymuje siÄ™
n
(1 + i) -1
P = R
n
i(1 + i)
Iloraz i(1+i)n/[(1+i)n-1] nazywany jest współczynnikiem odzysku kapitału (ang. capital
recovery factor).
3
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Optymalizacji Konstrukcji
Przykład obliczeniowy
Rozpatrzmy dwie alternatywne inwestycje A i B o składowych kosztów zestawionych
w tabeli.
Porównanie alternatywnych inwestycji
Koszty Inwestycja A Inwestycja B
Koszt poczÄ…tkowy P 75 100
Koszt eksploatacji R 8 5
Serwis po 3 latach 5 -
Wartość końcowa 0 15
Parametry ekonomiczne obliczeń i=0.05, n=6
Sprowadz
my wszystkie składniki kosztów do chwili początkowej.
Dla inwestycji A mamy:
PR=8*[(1+0.05)6-1]/0.05(1+0.05)6 =8*5.076=40.61
PS3=5/(1+0.05)3=5*0.864=4.32
PeqA=P+PR+PS3=75+40.61+4.32=119.93
Dla inwestycji B otrzymuje siÄ™
PR=5*5.076=25.38
PS5=15/(1+0.05)6=15*0.746=11.19
PeqB=P+PR - PS3=100+25.38 -11.19=114.19
Porównanie inwestycji jest także możliwe poprzez sprowadzenie kosztów do zastępczej
zapłaty okresowej Req.
Dla inwestycji A mamy:
RP =75*0.05(1+0.05)6/[(1+0.05)6-1]=75/5.076=14.77
RS3=5*0.05/[(1+0.05)3-1]=5*0.317=1.58
Req=R+RP+RS3=8+14.77+1.58=24.35
Dla inwestycji B mamy:
RP =100/5.076=19.70
RS6=5*0.05/[(1+0.05)6-1]=15*0.147=2.20
Req= R+RP -RS6=5+19.70  2.20=22.50
Porównując ilorazy zastępczych kosztów mamy PeqA/PeqB=122.52/114.19= 1.073
oraz ReqA/ReqB=24.35/22.50= 1.08. Nieznaczne różnice w wartościach tych ilorazów wynikają
z zaokrągleń wartości współczynników przeliczeniowych. Należy zwrócić uwagę, że identyczność
analizy opłacalności za pomocą wartości początkowej oraz zapłat okresowych dotyczy
wyłącznie przypadku gdy okres obliczeń n jest dla porównywanych inwestycji taki sam.
4
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Optymalizacji Konstrukcji
W przypadku, kiedy inwestycje A i B mają różne czasy trwania, porównanie opłacalności
można robić jedynie za pomocą sprowadzenia do równoważnych ciągów zapłat okresowych.
Jeżeli rozpatrywana inwestycja wymaga dodatkowych kosztów PB+R, związanych
na przykład z wprowadzeniem nowej technologii czy niezbędnych badań naukowych,
to zakłada się, że zyski z tej inwestycji muszą dodatkowo pokryć koszty jej odtworzenia
po pewnym okresie czasu m lat, kiedy dana technologia ulegnie deprecjacji technicznej. Koszt
produktu tej nowej technologii musi więc być obciążony dodatkowym składnikiem
nazywanym odpisem na fundusz amortyzacyjny (ang. sinking fund rate). Fundusz ten jest
inwestowany i przynosi zyski ze stopą i, które po m latach dadzą wyjściową sumę PB+R.
Przyjmując, że roczna produkcja zmodernizowanych urządzeń wynosi N, to odpis
amortyzacyjny przypadajÄ…cy na jedno urzÄ…dzenie wyniesie
i PB+ R
Ra =
m
N
(1 + i) - 1
Wyrażenie i /[(1+i)m-1] nazywane jest stopą amortyzacji.
Wybór składowych wektora zmiennych i ograniczeń równościowych
Opis konstrukcji nawet prostego urządzenia wymaga podania kilkudziesięciu liczb
charakteryzujących jej wymiary, własności materiałów z których jest wykonana, parametry
eksploatacyjne oraz dane niezbędne do określenia szczegółów procesu technologicznego.
W obiektach bardziej złożonych liczba tych danych rośnie bardzo szybko i osiąga rząd
kilkudziesięciu tysięcy. Ustalenie, które elementy tak wielkiego zbioru mają największy
wpływ na ewentualną zmianę wybranej funkcji celu, jest niezwykle trudne i w większości
przypadków wynika raczej z doświadczenia i intuicji projektanta niż z obiektywnie
istniejących reguł.
Najważniejsze parametry urządzenia są ustalane a priori przed rozpoczęciem procesu
projektowania i optymalizacji. Są to tak zwane dane znamionowe, do których w urządzeniach
elektrycznych należą: moc, charakter pracy (ciągły, dorywczy, przerywany), napięcie
i częstotliwość zasilania, oraz w przetwornikach elektromechanicznych prędkość obrotowa
lub moment. Za wyjątkiem nielicznych urządzeń specjalnych, wymienione wyżej parametry
są znormalizowane w postaci tzw. typoszeregów. Normalizacji podlega również wiele innych
danych konstrukcyjnych, przykładowo w maszynach elektrycznych wznios osi wału, klasa
odporności termicznej uzwojenia czy wymiary montażowe.
5
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Optymalizacji Konstrukcji
Kluczowym zagadnieniem w postępowaniu optymalizacyjnym jest przyjęcie
teoretycznego modelu urządzenia. W ogólnym przypadku modele można podzielić na dwie
grupy  proste oraz iteracyjne (niejawne). Schematycznie pokazano to na rys.5.
{Ywy} {Ywy}
{Ywe} {Ywe}
H({Ywe}) H({Ywe})
G({Ywy})
a. b.
Rys.5. Ogólne struktury modeli matematycznych.
a. model prosty
b. model iteracyjny
Rozmiary zbiorów danych wejściowych {Ywe} oraz wyjściowych {Ywy}mogą być bardzo
różne  poczynając od jedności a kończąc na dziesiątkach a nawet setkach tysięcy. Wielkości
H oraz G są nazywane, w zależności od zastosowania, funkcjami przejścia, transmitancjami
lub funkcjami stanu. Dla modeli bardziej skomplikowanych należy raczej mówić o
algorytmach niż o funkcjach, ze względu na niecelowość i bardzo często niemożliwość
podania tych zależności w postaci jawnej. Wielkości G, H są tworzone w oparciu o prawa
fizyki dotyczące rozważanego obiektu. Prawa te, w zależności od stopnia uogólnienia oraz
szczegółowości opisu, mają postać mniej lub bardziej skomplikowaną wykorzystując
rachunek różniczkowy bądz
całkowy w czasie i przestrzeni. Ponadto, zależnie od przyjętych
uproszczeń, wykorzystuje się notację skalarną, wektorową bądz
tensorowÄ….
Z punktu widzenia procesu optymalizacyjnego wielkości G, H wiążąc ze sobą poszczególne
parametry obiektu mają cechy ograniczenia równościowego.
Poniżej zestawiono najważniejsze prawa w ich najprostszej postaci wykorzystywane przy
budowie teoretycznych modeli urządzeń elektrycznych.
- zasada zachowania energii
d Ew
= Pwe - Pwy
d t
gdzie Ew  energia wewnętrzna układu,
Pwe, Pwy  moc dostarczona (wejściowa), moc odebrana (wyjściowa
6
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Optymalizacji Konstrukcji
- zasada zachowania pędu (momentu pędu)
r
r
d v
m =
"Fk
d t
k
r
r
d &!
J =
"Mk
d t
k
gdzie m, J  masa, moment bezwładności,
F, M  siła, moment
v, &! - prędkość liniowa, prędkość kątowa.
- warunek bezz
ródłowości prądu elektrycznego i (strumienia magnetycznego Ś),
nazywany w teorii obwodów I prawem Kirchoffa
( t ) = 0
"ik
k
( t ) = 0
"Åšk
k
- prawo indukcji elektromagnetycznej (Faraday a) wraz z II równaniem Maxwell a,
nazywane w teorii obwodów II prawem Kirchoffa
( t ) = ( t )
"uk "ej
k j
gdzie u(t), e(t) - wartości chwilowe napięć i sił elektromotorycznych liczone dla
zamkniętego obwodu (konturu).
- prawo Ampere a, I równanie Maxwell a
( t ) = ( t )
"Å k "Åš j
k j
gdzie Å (t), ¸ (t) - wartoÅ›ci chwilowe napięć magnetycznych i siÅ‚ magnetomotorycznych
liczone dla zamkniętego obwodu (konturu).
Oprócz przedstawionych wyżej praw fizyki, parametry urządzenia są powiązane
własnościami materiałów, z których zostało ono zrobione. Są to tzw. równania konstytutywne,
sformułowane najczęściej przy założeniu, że wielkości opisujące dany materiał spełniają tzw.
ortotropowe równanie pola potencjalnego (bezz
ródłowego) o ogólnej postaci
div (“ )= div ([ ]grad U ) = 0
gdzie “ - wektor gÄ™stoÅ›ci strumienia pola,
[]  diagonalna macierz przewodności,
U  potencjał.
7
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Optymalizacji Konstrukcji
Obserwując własności materiału wzdłuż wybranej współrzędnej otrzymuje się (z pominięciem
jej indeksu)
“ =  gradU
Dla pola elektrycznego (U jest potencjałem elektrycznym) mamy
J = Å‚ E
gdzie J  składowa wektora gęstości prądu, [A/m2],
E  składowa wektora natężenia pola elektrycznego, [V/m],
ł - konduktywność elektryczna, [S/m].
Dla pola magnetycznego (U jest potencjałem magnetycznym) mamy
B = µ H
gdzie B  składowa wektora indukcji (gęstości strumienia magnetycznego), [T=Vs/m2],
H  składowa wektora natężenia pola magnetycznego, [A/m],
µ - przenikalność magnetyczna, [H/m].
Dla pola cieplnego (U jest potencjałem cieplnym czyli temperaturą Ń) mamy
“Ń =  grad Ń
gdzie “Ń - wektor gÄ™stoÅ›ci strumienia mocy cieplnej, [W/m2],
Ń - temperatura, [deg],
 - przewodność cieplna, [W/(m deg)].
Jeśli ponadto można przyjąć, że strumień pola jest w pewnym obszarze przestrzeni
jednorodny (o stałej gęstości), to otrzymuje się szczególnie proste wyrażenia. Przykładowo,
dla pola elektrycznego zachodzi
J = i S
u
E =
l
co daje prawo Ohma
S
u = i = Ri
Å‚ l
gdzie S, l  pole przekroju oraz długość pewnej objętości.
8
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Optymalizacji Konstrukcji
Przykład obliczeniowy
Wyznaczyć prędkość obrotową nopt trójfazowego silnika indukcyjnego klatkowego
o p parach biegunów, przy której moc na wale osiąga maksimum, a napięcie fazowe U oraz
częstotliwość f zasilania są dane. Zakłada się znajomość wszystkich wymiarów
geometrycznych maszyny.
RozwiÄ…zanie
Problem optymalizacyjny jest jednowymiarowy  wektor zmiennych decyzyjnych x
ma jedną składową  prędkość obrotową. Funkcja celu F(x) jest skalarna (jednoskładnikowa)
i została określona jako moc mechaniczna silnika. Zadanie sprowadza się do wyboru
właściwego modelu teoretycznego silnika i wykonania odpowiednich obliczeń. Zauważmy, że
prędkość obrotowa jest jednoznacznie określona przez tzw. poślizg wirnika s (względem pola
wirujÄ…cego). Zachodzi bowiem
f
n = ( 1 - s )
p
Jak wiadomo z teorii silników indukcyjnych poślizg, będący wielkością bezwymiarową, jest
znacznie wygodniejszy od prędkości w opisie zjawisk w tych maszynach.
Przy budowie modeli obliczeniowych należy uwzględnić zasadę zachowania energii
(podstawowe ograniczenie równościowe), która dla ogólnego przypadku może być zapisana
w postaci
Pwe = Pwy + " P
gdzie Pwe, Pwy  odpowiednio moc wejściowa i wyjściowa przetwornika,
"P  straty mocy wewnÄ…trz maszyny.
Dla maszyn trójfazowych zachodzą oczywiste =równości
2
U
ëÅ‚ öÅ‚
2
" P = 3I R = 3 R
ìÅ‚ ÷Å‚
Z
íÅ‚ Å‚Å‚
Pwy = 2Ä„ n Mwy
gdzie R, Z  rezystancja i impedancja silnika,
Mwy  moment na wale (wyjściowy) silnika.
Jeżeli ustali się wartość napięcia i częstotliwości zasilania (dane znamionowe) oraz założy się
znajomość impedancji maszyny  na podstawie jej danych geometrycznych, to obecność
powyższego ograniczenia definiuje moment na wale.
9
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Optymalizacji Konstrukcji
Rozpatrzmy następujące modele badanej maszyny:
Model 1.
Silnik indukcyjny, a ściślej jego wirnik, jest reprezentowany wyłącznie przez rezystancję,
która zwyczajowo rozdziela się na dwie części  R/2, reprezentującą straty w uzwojeniach
wirnika oraz R/2 (1-s)/s odwzorowującą moc użyteczną silnika. Wartości rezystancji są
sprowadzone na stronę stojana. Siła elektromotoryczna E indukowana w obwodzie wirnika
odpowiada strumieniowi sprzęgającemu stojan i wirnik maszyny.
L
/
R2
E
S
1- s
/
R2
s
a. b.
Rys.6. Rezystancyjny model wirnika silnika indukcyjnego.
a. schemat obwodowy,
b. wymiary żłobka wirnika.
Rezystancję R/2 (dla prądu stałego!) oblicza się z zależności
2 L
2
/
R2 = 3(N1¾ )
1
ł Ż2 S
gdzie N1 ¾1  efektywna liczba zwojów szeregowych uzwojenia fazowego stojana,
Ż2, L, S  liczba żłobków wirnika i jego wymiary geometryczne,
ł - konduktywność materiału klatki wirnika.
Rozwiązując elementarny obwód z rys.6 otrzymuje się poszukiwane wyrażenie na moc
wyjściową
E2
Pwy = m1 / s(1 - s )
R2
oraz jego ekstremum
1
Pwy( sopt ) = max Ô! sopt =
2
JednoczeÅ›nie moc wejÅ›ciowa Pwe(s) i sprawność ukÅ‚adu ·(s) wynoszÄ…
2
E
Pwy (s ) = m s
1
/
R
2
10
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Optymalizacji Konstrukcji
Pwy(s)
· (s) = = 1 - s
Pwe(s)
Należy zwrócić uwagę, że dla s=sopt rezystancja odwzorowująca moc wyjściową jest równa R/2,
czyli rezystancji wewnętrznej. Stan taki w elektrotechnice jest nazywany dopasowaniem
obciążenia.
Model 2.
Silnik indukcyjny, a ściślej jego wirnik, jest reprezentowany przez rezystancję R/2/s oraz
indukcyjność L/2. Oznacza to, że oprócz strumienia sprzęgającego reprezentowanego przez
SEM E występuje dodatkowa SEM indukowana w obwodzie przez tzw. strumień rozproszenia,
przedstawiana jako spadek napięcia na reaktancji X/2= 2Ąf L/2.
/
L/
R2
2
E
1- s
/
R2
s
Rys.7. Impedancyjny model wirnika silnika indukcyjnego.
Rozwiązując obwód otrzymuje się kolejno
- kwadrat prÄ…du fazowego wirnika sprowadzonego na stronÄ™ stojana I/2
2
2 (s E)
/
(I2 ) =
2 2
/ /
(R2 ) +(sX2 )
- moc wyjściowa silnika
E2 E2 su s(1 - s )
/
Pwy(s)= m1 / 2 / 2 R2 s(1 - s ) = m1 / 2
X2
(su ) + s2
(R2 ) +(sX2 )
gdzie su=R/2 / X/2 jest tzw. poślizgiem utyku. Wartość tego parametru dla typowych silników
indukcyjnych zmienia się od su=0.05 (silniki dużej mocy) do s=0.1 (silniki małej mocy).
Wyznaczając ekstremum Pwy i pamiętając, że sopt"[0, 1], otrzymuje się
2
Pwy( sopt ) = max Ô! sopt = su ( 1 + su - su)
11
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Optymalizacji Konstrukcji
Wyrażenie na moc wejściową jest następujące
E2 E2 su s
/
Pwe(s) = m1 / 2 / 2 R2 s = m1 / 2
X2
(su ) + s2
(R2 ) +(sX )
2
Wykazuje się z łatwością, że
E2
Pwe( sopt we ) = m1 / = max Ô! sopt we = su
2 X2
Zapisując powyższe równanie w wielkościach względnych otrzymuje się wzór Kloss a
Pwe(s) 2 su s
=
2
Pwe(su )
(su ) + s2
Moc wejściowa Pwe jest mocą przechodzącą przez szczelinę maszyny ze stojana do wirnika.
Sprawność silnika jak poprzednio wyraża się zależnością
Pwy(s)
· (s) = = 1 - s
Pwe(s)
Przyjmując przykładowe wartości R/2=1&!, L/2= 32 mH otrzymuje się charakterystyki mocy
modeli silnika indukcyjnego pokazane na rys.8.
Pwe
model
rezystancyjny
Pwy
model
Pwe
impedancyjny
Pwy
Rys.8. Porównanie charakterystyk mocy silnika indukcyjnego obliczonych na podstawie
modeli obwodowych o stałych parametrach.
Różnice pomiędzy modelem rezystancyjnym a impedancyjnym są bardzo wyraz
ne. Z drugiej
strony, dla niewielkich poślizgów rzędu s<0.05, a więc w pobliżu znamionowego punktu
12
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Optymalizacji Konstrukcji
pracy, charakterystyki dla obydwu modeli są prawie identyczne. To tłumaczy, dlaczego
najprostszy model silnika indukcyjnego jest jeszcze używany w mniej odpowiedzialnych
napędach.
Należy pamiętać, że elementy R/2 oraz X/2 reprezentują odpowiednio moc czynną i bierną
akumulowane w silniku. W obydwu modelach założono stałość tych parametrów, co jest
równoznaczne z pominięciem prądów wirowych mogących płynąć w masywnych prętach
klatki wirnika. Ich wpływ można zilustrować przy pomocy modelu numerycznego silnika
indukcyjnego, którego strukturę pokazano na rys.9.
a. b.
Rys.9. Model numeryczny silnika indukcyjnego klatkowego
a. geometria przekroju silnika,
b. fragment siatki elementu skończonego w strefie przyszczelinowej.
Na kolejnych rysunkach pokazano chwilowe rozkłady strumienia magnetycznego oraz pola
gęstości prądu dla poszczególnych stopni uproszczeń przy modelowaniu silnika
indukcyjnego. RozwiÄ…zanie pola w maszynie jest dane w postaci uporzÄ…dkowanego zbioru
liczb zespolonych, reprezentujących magnetyczny potencjał wektorowy w węzłach siatki.
pojęcia części rzeczywistej i części urojonej rozwiązania interpretuje się jako chwilowe
rozkłady strumienia magnetycznego przesunięte w czasie o ź okresu napięcia zasilającego.
13
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Optymalizacji Konstrukcji
a.
b.
Rys.10. Pole strumienia magnetycznego i modułu gęstości prądu dla poślizgu s=0.1
część rzeczywista
a. model z wypieraniem prÄ…du w klatce wirnika,
b. model bez wypierania prÄ…du w klatce wirnika,
14
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Optymalizacji Konstrukcji
a.
b.
Rys.11. Pole strumienia magnetycznego i modułu gęstości prądu dla poślizgu s=0.1
część urojona
a. model z wypieraniem prÄ…du w klatce wirnika,
b. model bez wypierania prÄ…du w klatce wirnika,
15
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu z Optymalizacji Konstrukcji
Wypieranie prądu w klatce wirnika zmienia kształt charakterystyki mechanicznej, co
przedstawiono na rys.12. Moment elektromagnetyczny silnika Me jest przeskalowanÄ… mocÄ…
pola magnetycznego przechodzÄ…cÄ… ze stojana do wirnika. W modelu impedancyjnym oblicza
siÄ™ to jako
Pwe( s )
Me( s ) =
2Ä„ n1
natomiast w modelu numerycznym moment można wyznaczyć z zależności
"Wm 1 "Wm( s ) Pm( s )
Me( s ) = - = - =
"Ä… 2Ä„ n1 "t 2Ä„ n1
gdzie Wm, Pm  energia i moc pola magnetycznego w maszynie,
Ä… - kÄ…t obrotu.
z wypieraniem prÄ…du
w klatce wirnika
bez wypierana prÄ…du
w klatce wirnika
Rys.12. Charakterystyki momentu elektromagnetycznego silnika indukcyjnego
w funkcji poślizgu
16