Przykłady do rozwiązania
Przykład 9.2: Płyta prostokątna, Rys.9.8, przegubowo podparta, częściowo
obciążona.
- 2 - 1
- 2 2 1
2 a
- 3 3 4
p
2 , 5 a
Rys. 9.8
Przyjęto obciążenie o intensywności p, równomiernie rozłożone jak na rysunku w
lð =ð a / 2
części środkowej. Na Rys. 9.8 pokazano siatkę różnicową o , dla której ze
względu na symetrię otrzymujemy 4 węzły i układ 4-ch równań, z których napisano
przykładowo równanie dla węzła 2:
20w1 -ð 8(w1 +ð w3 ) +ð 2w4 +ð1(-ðw2 -ð w2 +ð w2 +ð w1) =ð 0
.
Pełny układ równań ma postać;
10 -ð 9 2 -ð 8 w1 0
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð Ä™ðw Å›ð Ä™ð Å›ð
7 19 -ð 8 2 0
2
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
=ð
,
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
2 -ð16 19 -ð 7 w3 0
Ä™ð-ð12 4 -ð 7 12 Å›ð Ä™ðw Å›ð Ä™ðAÅ›ð
ëð ûð ëð 4 ûð ëð ûð
pa4
gdzie: A =ð
16D
Rozwiązaniem rownan sa ugięcia węzłów siatki różnicowej:
1
w = 0.141 A , w = -0.07 A, w = 0.022 A, w = 0.261 A .
1 2 3 4
Przykład 9.3: Płyta kwadratowa o zróżnicowanych warunkach brzegowych,
częściowo obciążona jak na Rys.9.9
Rys.9.9
Przyjęto obciążenie o intensywności p=10 kN/m2, równomiernie rozłożone na

części środkowej. Przy stałych materiałowych E = 1.5x 107 kN/m2 i = 0.1, oraz
grubości płyty h = 0.1 m.
Sztywność płytowa wynosi:
Eh3 1.5 ×ð107 ×ð 0.13
D =ð =ð =ð 1262.6 kNm
.
2
12(ð1-ð )ð 12(ð1-ð 0.12)ð
lð =ð a / 4
Ze względu na symetrię dla kroku otrzymujemy 8 węzłów, w których
obliczamy ugięcia. Dla tych punktów piszemy równanie różnicowe płyty. Węzły
zewnętrzne sąsiadujące z krawędziami zaznaczone na rysunku będą powiązane z
punktami wewnętrznymi poprzez warunki brzegowe.
Korzystając z zależności krawędz
swobodna z warunkami brzegowymi
(ðmx )ð =ð (ðmx )ð =ð 0
i,k +ð1 i,k -ð1
2
-ð
wi+ð1,k =ð
i+1,k
-1 2-2
i , k
-ð
i+ 1 , k i + 2 , k
(2-)
2(2-) -4(1+2-2)
i+2,k
-1 -4(3-) 6(2-2-2)
2(2-) -4(1+2+2)
(2-)
(ðmx )ð =ð (ðmy)ð =ð 0
R =ð 2mxy =ð 0
Naroże swobodne warunek , .
i,k-ð1
i-ð1,k
i+1,k+1
wi+ð1,k +ð1 =ð
-ð 2+2 -2
i,k
-3 2+2
-ð
dzięki czemu ugięcia węzłów 9  13 wyrażamy przez ugięcia węzłów wewnętrznych:
w9 =ð -ðw3 +ð 2(ð1+ð 0.1)ðw -ð 0.1(ð0 +ð w8 )ð,
4
w10 =ð w -ð 4(ð3 -ð 0.1)ðw3 +ð 6(ð2 +ð 2 ×ð 0.1-ð 0.12)ðw +ð 2(ð2 -ð 0.1)ð(ð0 +ð w7 )ð -ð
2 4
-ð 4(ð1+ð 2 ×ð 0.1-ð 0.12)ð(ð0 +ð w8 )ð +ð 0.1(ð2 -ð 0.1)ð(ðw +ð w )ð,
4 4
w11 =ð -ðw7 +ð 2(ð1+ð 0.1)ðw8 -ð 0.1(ðw +ð w )ð,
4 4
3
w12 =ð w6 -ð 4(ð3 -ð 0.1)ðw7 +ð 6(ð2 +ð 2 ×ð 0.1-ð 0.12)ðw8 +ð 2(ð2 -ð 0.1)ð2 ×ð w3 -ð
-ð 4(ð1+ð 2 ×ð 0.1-ð 0.12)ð2 ×ð w +ð 0.1(ð2 -ð 0.1)ð ×ð 0.
4
w13 =ð -ð0 +ð 2(ð1+ð 0.1)ð ×ð 0 -ð 0.1(ðw +ð w )ð
4 4
Powyższe równania dołączamy do ośmiu równań wynikających z równań płyty
napisanych dla węzłów wewnętrznych w postaci różnicowej. Przykładowo dla węzła
1 otrzymujemy:
plð4
20w1 -ð 8(ð0 +ð w +ð 0 +ð w5)ð +ð 2(ð0 +ð 0 +ð 0 +ð w6 )ð +ð (ð-ð w1 +ð w3 +ð w1 +ð w1)ð =ð =ð 0.00396.
2
2D
W równaniu tym uwzględniono warunki brzegowe krawędzi utwierdzonej i
przegubowo podpartej
Pełny układ równań ma postać:
21 -ð 8 1 0 -ð 8 2 0 0 0 0 0 0 0 0 w1 0.00396
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð0.00792Å›ð
-ð 8 22 -ð 8 1 2 -ð 8 2 0 0 0 0 0 0 0Å›ð Ä™ð w
2
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð 1 -ð 8 22 -ð 8 0 2 -ð 8 2 1 0 0 0 0 0 w3 0.00396
Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
0 1 -ð 8 22 0 0 2 -ð 8 -ð 8 1 2 2 0 2Å›ð Ä™ð w 0
4
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð-ð16 4 0 0 19 -ð 8 1 0 0 0 0 0 0 0Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð0.00396Å›ð
w5
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
4 -ð16 4 0 -ð 8 20 -ð 8 1 0 0 0 0 0 0Å›ð Ä™ð w6 Å›ð Ä™ð0.00792Å›ð
Ä™ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð0.00396Å›ð
0 4 -ð16 4 1 -ð 8 20 -ð 8 0 0 1 1 0 0Å›ð Ä™ð w
7
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
=ð
0 0 4 -ð16 0 1 -ð 8 20 4 0 -ð 8 -ð 8 1 0Å›ð w8 Ä™ð 0
Ä™ð Ä™ð Å›ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
-ð -ð -ð -ð -ð -ð -ð -ð -ð -ð -ð -ð -ð -ðÅ›ð Ä™ð -ð -ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð 0 0 1 -ð 2.2 0 0 0 0.1 1 0 0 0 0 0Å›ð Ä™ð w9 Å›ð Ä™ð 0 Å›ð
Ä™ð
0 -ð1 11.6 -ð13.52 0 0 -ð 3.8 4.76 0 1 0 0 0 0Å›ð Ä™ðw10 Å›ð Ä™ð Å›ð
0
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
0 0 0 0.2 0 0 1 -ð 2.2 0 0 1 1 0 0Å›ð Ä™ðw11 Å›ð Ä™ð 0
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
0 0 -ð 7.6 9.52 0 -ð1 11.6 -ð13.14 0 0 0 0 1 0Å›ð Ä™ðw12 Å›ð Ä™ð Å›ð
0
Ä™ð
Ä™ð
0 0 0 0.20 0 0 0 -ð 0 0 0 0 0 0 1Å›ð Ä™ðw13 Å›ð Ä™ð Å›ð
0
ëð ûð ëð ûð ëð ûð
Rozwiązaniem tego układu są ugięcia węzłów:
4
w1 =ð 0.001724 m, w =ð 0.002737 m, w3 =ð 0.002455 m,
2
w =ð 0.001800 m, w5 =ð 0.002655 m, w6 =ð 0.004217 m,
4
w7 =ð 0.003887 m, w8 =ð 0.002986 m, w9 =ð 0.001205 m,
w10 =ð -ð0.000854 m, w11 =ð +ð0.002322 m, w12 =ð -ð0.000112 m,
w13 =ð -ð0.000365 m.
5