Zdroj: http://www.zones.sk
Pou~
ívanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné Å›%0Å„ely a akéko>
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajÅ›ceho sÅ›hlasu zakázané.
Autor: Martin Slota
1/5 MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
MATURITNÅ» OKRUH 29: ANALYTICKÁ GEOMETRIA
1. príklad (301/Pr. 2)
Zadanie: Ur%0Å„te vzdialenose
mimobe~
iek p, q, pri%0Å„om:
p : x = 7 + t q : x = 3 - 7s
y = 3 + 2t y = 1+ 2s
z = 9 - t;t " R z = 1+ 3s; s " R
Riea
enie:
up = [1,2,-1]; uq = [- 7,2,3]
XY = pq
H>
adáme body X, Y také, ~
e X " p '" Y " q '" XY Ä„" p '" XY Ä„" q , tak~
e
(uXY Ä„" up '" uXY Ä„" uq)Ò! u = k Å"(up × uq)= k Å"[8,4,16]= k Å"[2,1,4] (k " R)
XY
Pre smerovż vektor XY zároveH
platí:
u = XY = [3 - 7s - 7 - t, 1+ 2s - 3 - 2t, 1+ 3s - 9 + t]= [- 4 - 7s - t, - 2 + 2s - 2t, - 8 + 3s + t]
XY
Teraz dostávame tri rovnice o troch neznámych:
- 4 - 7s - t = 2k
- 2 + 2s - 2t = k
- 8 + 3s + t = 4k
s = 0 = t; k = -2
Do parametrickżch vyjadrení mimobe~
iek dosadíme hodnoty s a t a dostaneme body X[7,3,9] a
Y[3,1,1].
pq = XY = 16 + 4 + 64 = 84 = 2 21
Vzdialenose
mimobe~
iek p, q je 2 21 .
2. príklad (303/1)
Zadanie: Je daná rovina Ä… : 2x + 3y - z - 6 = 0 a priamka p : x = 1- t, y = 2 + 2t, z = 4 + 3t, t " R .
a) Ur%0Å„te prienik priamky p a roviny Ä… .
b) Napía
te parametrické vyjadrenie pravouhlého priemetu priamky p do roviny Ä… .
Riea
enie:
nÄ… = [2,3,-1]
u = [-1,2,3]
p
a) u Å" nÄ… = 1 `" 0 Ò! p,Ä… nie sÅ› rovnobe~
né Ò! p,Ä… sÅ› rôznobe~
né
p
{P}= p )"Ä…
Sśradnice P:
Zdroj: http://www.zones.sk
Pou~
ívanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné Å›%0Å„ely a akéko>
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajÅ›ceho sÅ›hlasu zakázané.
Autor: Martin Slota
2/5 MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
MATURITNÅ» OKRUH 29: ANALYTICKÁ GEOMETRIA
2(1- t)+ 3(2 + 2t)- (4 + 3t)- 6 = 0
2 - 2t + 6 + 6t - 4 - 3t - 6 = 0
t = 2 Ò! P[-1,6,10]
Prienik priamky p a roviny Ä… je bod P[-1,6,10].
b) A " p;A[1,2,4]
k Ä„" Ä… '" A " k Ò! k : x = 1+ 2s
y = 2 + 3s
z = 4 - s; s " R
{AK}= k )"Ä…
Sśradnice AK:
2(1+ 2s)+ 3(2 + 3s)- (4 - s)- 6 = 0
2 + 4s + 6 + 9s - 4 + s - 6 = 0
1 9 17 27
Å‚Å‚
s = Ò! AK îÅ‚ , ,
ïÅ‚7 7 7 śł
7
ðÅ‚ ûÅ‚
16
PAK : PAK : x = -1+16k
x = -1+ k
7
y = 6 - 25k
25
y = 6 - k z =10 - 43k; k " R
7
43
z =10 - k; k " R
7
Kolmż priemet priamky p do roviny ą je priamka PAK .
3. príklad (303/3)
Zadanie: Napía
te rovnicu priamky q , ktorá prechádza bodom A[5, 3] a zviera s priamkou
p : x + 3y -1 = 0 uhol Ä… = 60° .
Riea
enie:
q : ax + by + c = 0
nq Å" n
a + 3b
p
1
cos 60° = = =
2
n Å" n a2 + b2 Å" 1+ 3
q p
a + 3b
1 =
a2 + b2
a + 3b = a2 + b2
a2 + 2ab 3 + 3b2 = a2 + b2
2ab 3 + 2b2 = 0
2b Å"(a 3 + b) = 0
Ó!
Zdroj: http://www.zones.sk
Pou~
ívanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné Å›%0Å„ely a akéko>
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajÅ›ceho sÅ›hlasu zakázané.
Autor: Martin Slota
3/5 MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
MATURITNÅ» OKRUH 29: ANALYTICKÁ GEOMETRIA
b = 0 (" b = -a 3
n = [a,0] (" nq =[a,-a 3]
q
nq = [1,0] (" nq =[1,- 3]
q : x + c = 0 (" q : x - 3y + c = 0
A " q : 5 + c = 0 (" A" q : 5 - 3 + c = 0
c = -5 (" c = -2
Rovnice priamok q1, q2 prechádzajÅ›cich bodom A[5, 3] a zvierajÅ›cich s priamkou
p : x + 3y -1 = 0 uhol Ä… = 60° sÅ› q1 : x - 5 = 0 a q2 : x - 3y - 2 = 0 .
Zdroj: http://www.zones.sk
Pou~
ívanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné Å›%0Å„ely a akéko>
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajÅ›ceho sÅ›hlasu zakázané.
Autor: Martin Slota
4/5 MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
MATURITNÅ» OKRUH 29: ANALYTICKÁ GEOMETRIA
4. príklad (303/6)
Zadanie: SÅ› dané body M[- 2,3], A[5,-1], B[3,7]. Nájdite va
etky priamky, ktoré prechádzajÅ› bodom M
a majÅ› od bodov A, B rovnakÅ› vzdialenose
.
Riea
enie:
p : ax + by + c = 0
M " p Ò! -2a + 3b + c = 0 Ò! c = 2a - 3b
5a - b + c 3a + 7b + c
Ap = Bp Ò!
=
a2 + b2 a2 + b2
5a - b + 2a - 3b = 3a + 7b + 2a - 3b
7a - 4b = 5a + 4b
Ó!
2a = 8b ("12a = 0
a = 4 a = 0
("
b = 1 b = 1
p : 4x + y + c = 0 (" p : y + c = 0
M " p Ò! p : 4x + y + 5 = 0 (" M " p Ò! p : y - 3 = 0
Priamky, ktoré prechádzajÅ› bodom M a majÅ› od bodov A, B rovnakÅ› vzdialenose
sÅ›:
p1 : 4x + y + 5 = 0 a p2 : y - 3 = 0 .
5. príklad (304/10)
Zadanie: Ur%0Å„te rovnice dvoch navzájom kolmżch priamok, ktoré prechádzajÅ› bodom A[7,1] a od
za%0ńiatku sśradnej sśstavy majś rovnakś vzdialenose
.
Riea
enie:
p Ä„" q Ò! p : ax + by + c = 0 , q : bx - ay + d = 0
A " p Ò! 7a + b + c = 0 Ò! c = -7a - b
A " q Ò! 7b - a + d = 0 Ò! d = a - 7b
- 7a - b a - 7b
0p = 0q Ò! = Ò! - 7a - b = a - 7b
2
a2 + b2
b2 + (- a)
Ó!
7a + b = a - 7b (" 7a + b = 7b - a
6a = -8b (" 8a = 6b
4 3
a = - b (" a = b
3 4
p : 4x - 3y + c = 0 p : 3x + 4y + c = 0
("
q : -3x - 4y + d = 0 q : 4x - 3y + d = 0
q : 3x + 4y + d = 0 p : 3x + 4y + c = 0
("
p : 4x - 3y + c = 0 q : 4x - 3y + d = 0
Zdroj: http://www.zones.sk
Pou~
ívanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné Å›%0Å„ely a akéko>
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajÅ›ceho sÅ›hlasu zakázané.
Autor: Martin Slota
5/5 MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
MATURITNÅ» OKRUH 29: ANALYTICKÁ GEOMETRIA
p : 3x + 4y + c = 0 , q : 4x - 3y + d = 0
A " p Ò! p : 3x + 4y - 25 = 0
A " q Ò! q : 4x - 3y - 25 = 0
Rovnice dvoch navzájom kolmżch priamok, ktoré prechádzajÅ› bodom A[7,1] a od za%0Å„iatku sÅ›radnej
sśstavy majś rovnakś vzdialenose
sÅ› p : 3x + 4y - 25 = 0 a q : 4x - 3y - 25 = 0 .