Układy równań  zadania
x + 2y = 1
Å„Å‚
1. [4] Układ równań
òÅ‚2x - 3y = 16 ma jedno rozwiÄ…zanie.
ół
a) Sprawdz
, czy para liczb (x, y) = (2,-4) spełnia jedno z równań danego układu
równań.
b) Podaj parę liczb (x, y) , która spełnia równanie pierwsze i nie spełnia równania
drugiego danego układu równań.
c) Sprawdz
, czy para liczb (x, y) = (5,-2) spełnia dany układ równań, a następnie
podaj rozwiązanie układu.
2. [4,2] Rozwiąż (algebraicznie) układ równań
3x + 2y = 9
Å„Å‚
a)
òÅ‚2x + y = 7 ;
ół
6x + 7 y = 8
Å„Å‚
b)
òÅ‚7x + 9y = 5;
ół
2x
Å„Å‚ - y = x +1
c)
òÅ‚y = x -1 ;
ół
2y
Å„Å‚ - 5x = 6
d)
òÅ‚- x = - y + 6;
ół
2x
Å„Å‚ - 5(y +1) = -5
e)
òÅ‚- x + 2(y + 2) = 4;
ół
2y
Å„Å‚ - (3 + y) = 0
f)
òÅ‚- x + y / 2 = 2 ;
ół
3x + y = 4
Å„Å‚
g)
òÅ‚6x - (1- 2y) = 8;
ół
1
Å„Å‚
ôÅ‚6 x + 3y = -20
ôÅ‚
h) ;
òÅ‚1
ôÅ‚
ôÅ‚3 x - 2y = 16
ół
Å„Å‚
2x + y = 3
i) .
òÅ‚
ół2y - x = 6
3. [4,2] Rozwiąż układ równań
2x + 5y = 26
Å„Å‚
a) ;
òÅ‚
ół3x - 2y = 1
1 1 1
Å„Å‚
ôÅ‚2 x + 4 y = 4 x -1
ôÅ‚
b) ;
òÅ‚
ôÅ‚- 1 x + 1 y = 1 y + 3
ôÅ‚
ół 4 2 4
1 1
Å„Å‚
ôÅ‚2 (x - y) = 3 (x + y)
ôÅ‚
c) ;
òÅ‚4 1
ôÅ‚
ôÅ‚5 x - 5 ( y + 3x) = -4
ół
x
Å„Å‚ -1 y +1
+ = 3
ôÅ‚
ôÅ‚
2 3
d) ;
òÅ‚
x +1 y - 2
ôÅ‚
- = 2
ôÅ‚
ół 3 6
x
Å„Å‚ - y x + y
- = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
2 4
e)
òÅ‚2x + y x + y .
ôÅ‚
- = 0
ôÅ‚
ół 3 2
4. [4] Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań
x + y = 3
Å„Å‚
a)
òÅ‚2x - y = 3;
ół
3x + 2y = -1
Å„Å‚
òÅ‚2x - 3y = 8 ;
b)
ół
x
Å„Å‚ - 0,5y = -1
c)
òÅ‚- 2x + y = 2 ;
ół
Å„Å‚- 2x + y = 1
d)
òÅ‚6x - 3y = 0.
ół
Å„Å‚
ôÅ‚y = (x + 3)2 - (x - 2)2
5. [4] Rozwiąż układ równań .
òÅ‚
ôÅ‚
ół4(5x + 3) = ( y +1)2 - (y -1)( y +1)
(n + 2)x + y = 5 - m
Å„Å‚
6. [4] Rozwiązaniem układu równań jest para liczb x = -1 i
òÅ‚
ół4x + (0,5n + 2) y = 1- m
y = 2 . Znajdz
liczby m i n.
3x
Å„Å‚ - 2y = 8
7. [3] Układ równań z niewiadomymi x i y ma postać .
òÅ‚
ółax = 4y = c
a) Rozwiąż układ równań, gdy a = 1 i c = -2 .
b) Dobierz współczynniki a i c tak, aby układ równań miał nieskończenie wiele
rozwiązań. Rozwiąż otrzymany układ równań.
8. [5] Rozwiąż metodą wyznacznikową i graficznie następujące układy równań:
(5x
Å„Å‚ - 4)(9y + 4) = (15x - 2)(3y + 2)
a)
òÅ‚
ół3(3y + 2) + 4(5x - 4) = 0,
2x
Å„Å‚ - 3 3x +1
=
ôÅ‚
b)
òÅ‚ 2y - 5 3y - 4
ôÅ‚3(y + 2) - 2(x - 3) = 16,
ół
x
Å„Å‚ - 3y y + 5
7 + = 2x -
ôÅ‚
c)
òÅ‚10(x -4 - 4(1- x) 3
y)
ôÅ‚
= y,
ół 3
1x
Å„Å‚
ôÅ‚11+4(.0.y +1) + 5 = 1.1y
d) 0 3 - x
òÅ‚
- 5 = 4(1/ x -1),
ôÅ‚
ół x
(x + 3)(y + 5) = (x +1)( y + 8)
Å„Å‚
e)
òÅ‚(2x - 3)(5y + 7) = 2(5x - 6)(y +1),
ół
Å„Å‚
(y +1)2 - x(4x + 5) = (y + 2x)(y - 2x)
f)
òÅ‚
ół3x - y = 1,
Å„Å‚ - 3)2 - (x + 5)(x - 5) = 2y + 48
ôÅ‚(x
g)
x + y x - y 3
òÅ‚
- = .
ôÅ‚
ół 2 4 4
9. [5] Dla jakich wartości parametru m " R układ równań z niewiadomymi x i y jest
oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny? W przypadku istnienia rozwiÄ…zania wyznacz je.
2x + y
Å„Å‚ - m = 0
a)
òÅ‚x + 2y -1 = 0,
ół
2x
Å„Å‚ - 3y = 6
b)
òÅ‚x - my = 1,
ół
x
Å„Å‚ - my = 1
c)
òÅ‚mx - y = 1,
ół
mx = (2m -1) y = 3m
Å„Å‚
d)
òÅ‚x + my = m,
ół
2x + 3y = 3
Å„Å‚
e)
òÅ‚4x + my = 2m,
ół
x
Å„Å‚ - my = m
f)
òÅ‚mx - y = 2m,
ół
x + my = 3
Å„Å‚
g)
òÅ‚mx + 4y = 2m.
ół
10. [4] Jakie to liczby dodatnie, których suma jest 3,5 razy większa od ich różnicy, a jedna
z nich jest o 2,4 większa od drugiej?
11. [4] Rozmieniono 10 złotych na monety 50-groszowe i 20-groszowe otrzymując razem
35 monet. Oblicz, ile otrzymano monet każdego rodzaju.
12. [4] Jeżeli do liczby dwucyfrowej dodamy cyfrę jedności, to otrzymamy 38. Jeżeli w
tej liczbie przestawimy cyfry i od otrzymanej odejmiemy sumÄ™ jej cyfr, to otrzymamy
36. znajdz
tÄ™ liczbÄ™.
2
13. [1] Hiszpania i Portugalia razem zajmujÄ… obszar 598 tys. km . Powierzchnie tych
państw mają się tak jak 11:2. Podaj powierzchnię każdego z nich.
14. [1] Monika dojeżdża do szkoły pociągiem, a potem tramwajem. Za oba bilety
miesięcznie płaci razem 76 zł 80 gr. Oblicz, ile kosztuje każdy z biletów, jeśli
wiadomo, że bilet kolejowy jest o 40% droższy od tramwajowego.
15. [1] Marcin po zdaniu wszystkich egzaminów w sesji zimowej chciał zaprosić 3
koleżanki i 3 kolegów z grupy do klubu studenckiego. Aby wyrównać proporcje
między liczbą studentów a liczbą studentek odwiedzających ten klub, zachęcano
dziewczęta do przybycia niższą ceną biletów. Marcin za bilety dla wszystkich
zapłaciłby 61 zł, uznał jednak, że nie może wydać na imprezę więcej niż 60 zł.
Postanowił zmienić plany. Zaprosił tylko najbliższego przyjaciela i 5 koleżanek. Teraz
miał zapłacić tylko 55 zł. Ile kosztuje bilet  damski , a ile bilet  męski ?
16. [1] Karol ważył za dużo, więc zaczął zwracać uwagę na to, co je. Na podwieczorek,
zamiast dwóch drożdżówek, przygotował sobie 3 kromki grahama i 2 szklanki mleka.
Kiedy jednak zajrzał do tabeli wartości kalorycznych, przekonał się, że jego
podwieczorek to aż 334 kcal. Zredukował go więc do 2 kromek chleba i 1 szklanki
mleka. Rezultat był lepszy  tylko192 kcal. Uspokojony zabrał się do jedzenia. Jaka
jest wartość kaloryczna jednej kromki chleba, a jaka jednej szklanki mleka?
Literatura podstawowa:
[1] M. Antek, K. Belka, P. Grabowski, Matematyka, prosto do matury. Podręcznik dla liceum
ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum. Nowa Era, Warszawa 2007
[2]W. Babiański, L. Chańko, D. Ponczek, Matematyka. Kształcenie ogólne w zakresie
podstawowym. Nowa Era, Warszawa 2009
[3] Praca zbiorowa pod redakcją A. Cewe i H. Nahorskiej, Zbiór zadań maturalnych z
zakresu kształcenia podstawowego, Matura z matematyki od roku 2010, Wyd. Podkowa 2009
[4] A. Kiełbasa, Matura z matematyki 2010-& , poziom podstawowy i rozszerzony, część I,
Wydawnictwo 2000, Warszawa 2009
[5] K. Kłaczkow, M. Kurczab, E. Świda, Matematyka dla licealistów. Zbiór zadań do I klasy.
Oficyna Edukacyjna Krzysztof Pazdro, Warszawa 2007
Literatura uzupełniająca:
[6] S. Gniłka, K. Nowakowski, D. Stachowiak-Glinka, Zbiór zadań z matematyki dla
chemików, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 1998
[7] J. Sikorska, Zbiór zadań z matematyki dla studentów chemii, Wydawnictwo UŚ,
Katowice 2007