Konstrukcje zbiorów liczbowych
1
Zbiór liczb wymiernych
Rozważmy zbiór
X = Z × (Z \ {0} = {(a, b); a, b " Z, b = 0}.

W zbiorze X określamy relację binarną
(a, b) (c, d) Ô! ad = bc.
Relacja jest relacją równoważności.
Definicja. Q = X/ = {[x] , x " X}.
2
Jeśli jest relacją równoważności w zbiorze X, to zbiór
[x] = {y " X : x y} = {y " X : y x}
nazywamy klasą abstrakcji (klasą równoważności) elementu x.
1
Przykład. Liczbę wymierną definiujemy jako klasę abstrakcji
2
pary (1, 2). Mamy
(1, 2) (a, b) Ô! 1 · b = 2 · a,
więc
[(1, 2)] = {(a, b) " X : b = 2a} =
= {(1, 2), (-1, -2), (2, 4), (-2, -4), (3, 6), (-3, -6), . . . }
3
Działania w zbiorze Q określamy następująco:
[(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)] ,
[(a, b)] · [(c, d)] = [(ac, bd)] .
Definicje te są poprawne, tzn. nie zależą od wyboru reprezentan-
tów klas abstrakcji:
jeśli (a, b) (a , b ) i (c, d) (c , d ),
to (ad + bc, bd) (a d + b c , b d ) i (ac, bd) (a c , b d ).
4
Analogicznie konstruujemy zbiór liczb całkowitych mając dany
zbiór liczb naturalnych.
Rozważmy zbiór
X = N × N = {(a, b); a, b " N}.
W zbiorze X określamy relację binarną
(a, b) (c, d) Ô! a + d = b + c.
Relacja jest relacją równoważności.
Definicja. Z = X/ = {[x] , x " X}.
5
Przykład. Liczbę całkowitą -1 definiujemy jako klasę abstrakcji
pary (0, 1).
Mamy (0, 1) (a, b) Ô! 0 + b = 1 + a, wiÄ™c
[(0, 1)] = {(a, b) " X : b = a+1} = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), . . . }
Działania w zbiorze Z określamy następująco:
[(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)] ,
[(a, b)] · [(c, d)] = [(ac + bd, ad + bc)] ,
i sprawdzamy poprawność definicji: jeśli (a, b) (a , b ) i (c, d) (c , d ),
to (a+c, b+d) (a +c , b +d ) i (ac+bd, ad+bc) (a c +b d , a d +b c ).
6
Zbiór liczb naturalnych określamy aksjomatycznie, a istnienie
takiego zbioru wynika z kolei z aksjomatów teorii zbiorów.
N  zbiór,
": N N, n n"  funkcja następnika,
0 " N  wyróżniony element (zero).
7
Aksjomaty Peana:
1) 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej:
"n"N n" = 0.

2) Funkcja następnika jest różnowartościowa:
"m,n"N m" = n" Ò! m = n.
3) Aksjomat indukcji matematycznej. Dla dowolnego podzbioru
A ‚" N mamy:
(0 " A '" "n"N (n " A Ò! n" " A)) Ò! A = N.
8
Dodawanie liczb naturalnych:
m + 0 = m dla m " N,
m + n" = (m + n)" dla m, n " N.
Mnożenie liczb naturalnych:
m · 0 = 0 dla m " N,
m · n" = m · n + m dla m, n " N.
9
Określamy: 1 = 0", 2 = 1", 3 = 2", 4 = 3", . . .
Przykład: n + 1 = n".
Przykład: 2 + 2 = 4.
PrzykÅ‚ad: 2 · 2 = 4.
10
Zbiór liczb rzeczywistych można skonstruować na dwa sposoby.
Sposób I. Rozważamy ciągi Cauchy ego liczb wymiernych, czy-
li wszystkie ciągi liczb wymiernych, które okażą się zbieżne w
zbiorze liczb rzeczywistych. Za pomocą relacji równoważności
"sklejamy" ciągi zbieżne do tej samej liczby rzeczywistej.
Sposób II. Przekroje Dedekinda. Rozważamy podziały zbioru
liczb wymiernych na dwa niepuste podzbiory A, B spełniające
warunek
"a"A"b"B a < b.
11
"
Przekrój Dedekinda (A, B) określający liczbę 2:
"
A = Q )" (-", 2) = {x " Q : x < 0 (" x2 < 2},
"
B = Q )" ( 2, +") = {x " Q : x > 0 '" x2 > 2}.
Jeśli w jest liczbą wymierną to mamy dwa przekroje:
A1 = {x " Q : x w}, B1 = {x " Q : x > w},
A2 = {x " Q : x < w}, B2 = {x " Q : x w},
które należy utożsamić.
12
Liczby zespolone
13
Definicja: C = R × R = {(a, b); a, b " R}.
Działania w C:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),
(a, b) · (c, d) = (ac - bd, ad + bc).
Para (a, 0) odpowiada liczbie rzeczywistej a:
(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0), (a, 0) · (c, 0) = (ac, 0).
PrzyjmujÄ…c i = (0, 1) mamy:
a + bi = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) = (a, 0) + (0, b) = (a, b),
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (-1, 0) = -1.
14
Liczbę zespoloną z można jednoznacznie przedstawić w postaci
z = a + bi,
gdzie a, b " R.
Działania wykonujemy jak na wyrażeniach algebraicznych, pa-
miętając o tym, że
i2 = -1.
15