Pręt Ścinany
Przebieg wykładu :
1. Sformułowanie zagadnienia
2. Warunki równowagi
3. Wzór Żurawskiego
4. Środek ścinania i jego współrzędne
5. Podsumowanie
6. Przykładowe zadanie
Sformułowanie zagadnienia
Przedmiotem analizy będzie odcinek dx belki o małej
rozpiętości, poddanej zginaniu nierównomiernemu , (i dlatego Mg
może być pominięte przy ocenie wytrzymałości), mającej
prostokątny przekrój o podstawie b i wysokości h. Wydzielimy
dolną część odcinka belki płaszczyzną równoległą do warstwy
obojętnej, odległą od niej o y, przy czym powierzchnia odciętego
przekroju normalnego jest równa A'. Przyjmiemy, że siła
poprzeczna T wywołuje w punktach leżących w odległości y od linii
obojętnej, na całej szerokości przekroju normalnego, naprężenia
styczne �. Zgodnie z twierdzeniem o równości naprężeń stycznych
w płaszczyznach wzajemnie prostopadłych, muszą wystąpić takie
same naprężenia styczne � w płaszczyz
nie odcinającej dolną część
elementu.
Warunki równowagi
Odpowiednio do zmiany momentu gnącego z Mg na
Mg + d Mg , naprężenia normalne w lewym i prawym przekroju
normalnym odcinka belki będą równe � oraz �+d � .
(� + d� )dA'
� dA' �!
(� + d � ) dA - � dA - �bdx = 0
+" +"
A ' A '
skąd po prostych przekształceniach otrzymamy
d� dA
+"
A '
� =
dxb
dM y
M y
g
g
d� =
� =
Ponieważ to
I
I
z
z
d � dA
+"
dM y
g
A '
Wstawiamy wyrażenie d� =
do � =
I
z
dxb
uwzględniając, że dMg oraz Iz nie podlegają całkowaniu i
uzyskujemy następującą postać
dM ydA
Sz
g
+"
A '
� =
dxbIz
T
Zważywszy że
dM
g
ydA = S
= T
z
, a
+"
dx
A '
gdzie: Sz - moment statyczny odciętej części przekroju belki
względem osi obojętnej z,
Wzór Żurawskiego
Otrzymujemymy ostatecznie wzór Żurawskiego
TS
z
� =
bI
z
Wzór ten opisuje rozkład naprężeń stycznych wywołanych siłą
poprzeczną T w przekroju belki. Stosuje się go również, jeśli
szerokość b zmienia się wzdłuż wysokości przekroju.
W przekroju prostokątnym rozkład naprężeń �
ma charakter
paraboliczny tak jak to widać na rysunku
2
�# ś#
T 1 1 h h 3 T y
ś# ś#
ź#
� = �" �" �"�# - y �"�# + y �"b = �" �"ś#1- 4
ś# ź# ś# ź#
ś#
b bh3 2 2 2 2 bh h2 ź#
�# # �# #
�# #
12
�max
Maksymalne naprężenia styczne występują w
warstwie obojętnej dla y=0
3 T
� = �"
max
2 bh
Często, aby uniknąć trudności z określeniem naprężeń stycznych w
pręcie ścinanym o dowolnym przekroju, przyjmuje się, że są one
rozłożone równomiernie na tym przekroju. Na podstawie takiego
radykalnego uproszczenia wykonuje się tak zwane techniczne
obliczenia wytrzymałościowe na ścinanie nitów, sworzni, a także
spoin pachwinowych, które nie są prętami.
Rozważania powyższe są poprawne, gdy przekrój
poprzeczny pręta ma oś symetrii, która pokrywa się z linią
działania siły poprzecznej T. W przeciwnym razie w przekroju
poprzecznym oprócz siły T
y
T
T =
+"� dA
A
wystąpi także moment skręcający Ms
x
z
T
()
M = � y - � z dA `" 0
s z y
+"
A
� �
gdzie: i są składowymi naprężenia stycznego
z y
�
wywołanymi siłą poprzeczną T.
Zatem oprócz ścinania wywołanego siłą T wystąpi także
skręcanie momentem skręcającym Ms.
Układ sił wewnętrznych (T, Ms) (rys. b) jest równoważny sile
wewnętrznej Pw = T, której linia działania jest przesunięta o ky i kz
względem głównych i centralnych osi z i y (rys. c).
Środek ścinania i jego współrzędne
Współrzędne ky i kz określają położenie punktu K, który
nazywa się środkiem ścinania. Moment skręcający Ms jest
równoważony teraz przez sumę momentów wywołanych przez
składowe Ty i Tz siły poprzecznej T względem środka ciężkości
przekroju S
Ms = Tzky - Tykz
Współrzędne środka ścinania K można teraz obliczyć
(przyjmując Ty = 0, gdy Tz 0, oraz Tz = 0, gdy Ty
`" `"
0
( - � z dA
� y )
( - � z dA
� y )
z y
z y
+"
+"
A
A
k =
k =
z
y
T
TZ
y
Jeśli obciążenie zewnętrzne będzie działać w płaszczyz
nie
równoległej do osi x, przechodzącej przez środek ścinania K,
to spowoduje ścinanie pręta bez dodatkowego skręcania. Jeśli
przekrój poprzeczny pręta ma oś symetrii, to środek ścinania leży na
niej, natomiast gdy przekrój ma dwie osie symetrii, to środek
ścinania K pokrywa się ze środkiem ciężkości S. Jeśli przyjąć, że
są stałe w całym przekroju i wynoszą
naprężenia styczne
�
, to doprowadza nas to do wzoru który stosuje się w
�
�
=
śr
technicznych obliczeniach wytrzymałościowych na ścinanie
T T
� = =
śr
A
d A
+"
A
Skoro naprężenia styczne zmieniają się wzdłuż wysokości,
�
zmieniają się również odkształcenia , a więc przekrój nie może
ł
pozostać płaski.
Podsumowanie
Rozkład naprężeń stycznych wywołanych siłą poprzeczną T
TS
dM Wzór Żurawskiego
z
g
� =
T =
bI
dx
z
Średnie naprężenia styczne (wzór uniwersalny najczęściej stosowany
w obliczeniach).
T T
� = =
śr
A
d A
+"
A
Podsumowanie cd.
Środek ścinania
Ms = Tzky - Tykz
Współrzędne środka ścinania
( - � z dA
� y )
( - � z dA
� y )
z y
z y
+"
+"
A
A
k =
k =
z
y
T
TZ
y
Wpływ sił poprzecznych na
przemieszczenia
dx
�
xy max
"v
Ą
ł =
%
= ł
xy max
-ł
xy max
"v
G
"x
2
x
T "x
C
C %
ł
D
"v "u
ł = ł =+
xy max xy
"x "y
D
"u
"u
y
"y
%
ł = ł +
xy max
Ponieważ �xy=f(y), więc odkształcenia wszystkich
"y
elementów są różne, największe na osi obojętnej.
"u
%
ł = ł -
xy max
"y
�
xy max
% ł =
ł =�ł gdzie
xy max
xy max
G
�
xy max
%
ł =�
G
3 T
T
�max = �"
� = ą�sr = ą np. dla prostokąta:
xy max
2 A
A
gdzie
T T
� =1.2
%
ł =�ą
%
ł = �
AG
AG
� =�ą � =1.185
dv T
d
%
= ł = �
dx AG
dx
2
d v � dT
=
dx2 AG dx
Równanie różniczkowe osi ugiętej:
Czyste zginanie:
2
2
M
d v
M
g
d v � dT
g
=-
+
=- +
dx2 EIz
dx2 EIz AG dx
Przykład
l f = f1 + f2
P
Pl3
f
f1 =
3EI
6
� =
Przekrój belki prostokątny: b�h
5
Pl
2
f2 = �
Dla stali:
f2 h
AG
= 0.8�# ś#
ś# ź#
f1 l
�# #
h 1 f2
Jesli np. = to = 0.008
l 10 f1
Przykładowe zadanie
Dobrać wymiary elementu przedstawionego na rysunku
poniżej, jeżeli siła P = 80 kN, a naprężenia dopuszczalne wynoszą
kt = 120 MPa, kr = 80 MPa, kd = 200 MPa.
�
3
�2
�
2
Rozwiązanie
Przekrój 1 - 1 pręta pracuje na rozciąganie
P 4P
�1 = = d" kr
2
S1 Ą �" d
więc
4P 4 �"80000
d e" = = 29,1mm
Ą �" kr Ą �"120
Przyjmujemy średnicę d = 30 mm. Jeżeli siła P będzie
zbyt duża, to element ulegnie zniszczeniu polegającemu na tym,
że pręt przedstawiony na rys. b przesunie się w prawo, a przekrój
2 - 2 zostanie ścięty. Ponieważ pole powierzchni ścinanej jest
równe S2 = pdh, więc naprężenia styczne wynoszą
P P
�2 = = d" kt
S2 Ą �" dh
skąd
P 80000
h e" = = 10,6mm
Ą �" kt Ą �" 30 �"120
W miejscach docisku poszczególnych elementów
konstrukcji nie mogą powstawać odkształcenia trwałe;
naprężenia docisku nie mogą przekraczać wartości naprężeń
dopuszczalnych na docisk.
Powierzchnia S3 (rys. c) jest dociskana do ściany siłą P. Pole
powierzchni wynosi
1
2
S3 = Ą(D2 - d )
4
Naprężenia docisku
P 4P
�3 = = d" kd
2
S3 Ą(D2 - d )
stąd
4P 4 �"80000
2
D e" + d = + 29,12 = 37,5mm
Ą �" kd Ą �" 200
Koniec