Pręty silnie zakrzywione 1
1. DEFINICJA
Prętem silnie zakrzywionym nazywamy pręt, którego oś jest płaską krzywą, a stosunek wymiaru przekroju
poprzecznego  h (leżącego w płaszczyz
nie krzywizny) do promienia krzywizny osi ciężkości  r(x) pręta
spełnia warunek
1
h r >
6
2. ZAA
OŻENIA
" y, z - osie główne centralne przekroju poprzecznego
" oś  z leżąca w płaszczyz
nie osi pręta jest osią symetrii przekroju
" obciążenie leży w płaszczyznach równoległych do płaszczyzny osi pręta i jest symetryczne wzg. osi  z
" jedynymi niezerowymi naprężeniami sÄ… Ãx i Äxz
" obowiązuje hipoteza Bernouliego (hipoteza płaskich przekrojów)
z
Rys. 1
r
y
M
x
N
x
Q
3. NAPR
Å»ENIE NORMALNE Ãx
" zasada superpozycji
Ãx = ÃxN + ÃxM
3.1. Naprężenia od siły osiowej N
" odksztaÅ‚cenie polega na zmianie kÄ…ta wierzchoÅ‚kowego o " dÕ, nie zmienia siÄ™ krzywizna osi prÄ™ta
B
AB = ds = (r + z) dÕ (2)
B
A
AB' = ds' = (r + z) (dÕ + " dÕ) (3)
BB' = ds'-ds = " ds = (r + z) " dÕ(4)
z
" dÕ
" ds " dÕ
dÕ
µxN = = = const. (z) (5)
ds dÕ
r
µxN = ÃxN E Ãy E" 0,Ãz E" 0
( )
O
Rys. 2
ÃxN = E µxN = C (6)
" z twierdzenia o równoważności układu sił zewnętrznych i wewnętrznych
N = ÃxN dA (7)
+"+"
A
N
ÃxN = (8)
A
Pręty silnie zakrzywione 2
3.2. Naprężenia od momentu zginającego M
" odkształcenie polega na zmianie krzywizny pręta (obrót przekroju wokół osi obojętnej) - rysunek 3
Oznaczenia :
Á - promieÅ„ krzywizny osi obojÄ™tnej
zo - położenie osi obojętnej wzg. osi ciężkości
z - odległość dowolnego włókna AB od warstwy obojętnej
r - promień krzywizny osi obojętnej
z - współrzędna dowolnego włókna AB (liczona od osi ciężkości)
AB = ds = (Á + z') dÕ (9)
B
B
oś ciężkości
BB' = " ds = -z' " dÕ (10)
warstwa obojętna
A
" ds " dÕ
z'
µxM = = - (11)
ds Á + z' dÕ
zo
dÕ
z " dÕ
" dÕ
z'
z
ÃxM = E µxM = - E (12)
dÕ Á + z'
Á
" dÕ
dÕ - " dÕ
r O
- E = const = K
dÕ
O
z'
Rys. 3 ÃxM = K (13)
Á + z'
r + z - Á r + z - Á
ÃxM = K = K (13a)
Á + r + z - Á r + z
" z twierdzenia o równoważności układu sił zewn. i wewn. zapisanego w osiach głównych centralnych
z'
N = dA = 0 (14))
xM
+"+"Ã dA = K +"+"
Á + z'
AA
Á
M = (15)
xM ìÅ‚ ÷Å‚
+"+"à z dA = K +"+"ëÅ‚1 - öÅ‚ z dA
íÅ‚ r + z
Å‚Å‚
AA
lub też po wykorzystaniu osi obojętnej
z'2 dA
M = (15a)
xM
+"+"Ã z' dA = K +"+"
Á + z'
AA
Przekształćmy równanie (15)
Á
z z r + z - z
M = K - z dA = K z dA - KÁ dA = 0 - KÁ dA =
ìÅ‚ ÷Å‚
+"+"ëÅ‚1 r + zöÅ‚ +"+" +"+" +"+"
íÅ‚ Å‚Å‚ r + z r r + z
AA A A
r
zr + z2 - z2 dA = - KÁ z z2 dA = 0 + KÁ 1
= - KÁ dA + KÁ z2 dA
+"+" +"+" +"+" +"+"
r(r + z) r r(r + z) r + z
r2
AA A A
def
r
J* = z2 dA
+"+"
r + z
A
J* M
M = K Á Ò! K = r2 (16)
r2 J* Á
Przekształćmy także równanie (15a). W wyniku podzielenia wielomianów występujących w funkcji
podcałkowej otrzymujemy
z'2 z' - z' Á
= (17)
Á + z' Á + z'
Pręty silnie zakrzywione 3
WstawiajÄ…c (17) do (15a) otrzymujemy
z' z'
(18)
M = K z' dA - KÁ dA = K Syo - KÁ
+"+" +"+" +"+"
Á + z' Á + z'
AA A
Sy0 oznacza moment statyczny przekroju względem osi obojętnej (`" 0, gdyż oś obojętna nie pokrywa się z
osią ciężkości) i wynosi : Syo = A zo
Ostatnia całka występująca w (18) wynosi zero - wynika to wprost z warunku równoważności (14). Stad
ostatecznie mamy następujące równanie
M M
M = K A zo Ò! (19)
K = =
Azo A (r - Á)
Możemy teraz wyznaczyć ze wzoru (13a) naprężenia wywołane działaniem momentu zginającego.
M r + z - Á
ÃxM =
A (r - Á) r + z
Pomnóżmy licznik i mianownik przez r , a nastÄ™pnie dodajmy i odejmijmy od licznika iloczyn Á z.
Otrzymujemy wówczas:
M
( ) ( )
M r2 + r z - r Á + Á z - Á z [r r - Á + z r - Á + Á z]
ÃxM = = =
A (r - Á) r r + z Ar (r - Á) (r + z)
M r - Á r + z + Á z
( ) ( )
[] Á
M z
(20)
= = + Mr
Ar (r - Á) (r + z) Ar - Á) r2
r + z
A (r
Przyrównując wartość stałej K z równania (16) do tej z równania (19) otrzymujemy
Á
M M 1
Ò! (21)
= r2 =
A (r - Á)
J* Á A (r - Á) r2 J*
Po wstawieniu (21) do (20) mamy
Mr
M z
ÃxM = + (22)
Ar r + z
J*
3.3. Całkowite naprężenia normalne
Całkowite naprężenie normalne będące sumą naprężenia wywołanego siłą osiową N i momentem zginającym
M otrzymujemy przez wysumowanie (8) i (22). Ostatecznie otrzymujemy:
Nx) M(x) M(x) r(x)
(
z
Ãx = + + (23)
A Ar(x) r(x) + z
J*
def
r(x)
J* = z2 dA (24)
+"+"
r(x) + z
A
Znaki I i III członu równania (23) ustala się jak w klasycznym mimośrodowym rozciąganiu pręta prostego.
Przy ustalaniu znaku członu II można posługiwać się  regułką mówiącą, że jeżeli moment M powoduje
wzrost krzywizny pręta to znak jest  + , jeżeli natomiast moment prostuje pręt to znak jest  - .
Z równania (23) widać, że rozkład naprężeń - rysunek 4 - normalnych jest hiperboliczny , mimo że
korzystaliśmy z równań liniowej teorii sprężystości. Jest to spowodowane krzywoliniowym kształtem pręta.
z
Ãx
M
N M
+
A Ar
x
C
N
Rys. 4
Pręty silnie zakrzywione 4
3.4.  Moment bezwładności J*
Całka J* - równanie (24) - może być przedstawiona w postaci zamkniętej tylko dla prostych kształtów jak
np. prostokąt i trapez. We wszystkich innych przypadkach należy skorzystać z rozwinięcia funkcji
podcałkowej w szereg potęgowy i całkować wyraz po wyrazie.
1
J* = z2 ìÅ‚ z z2 z3 ÷Å‚
dA = z2 ëÅ‚1 - + - +...öÅ‚ dA =
+"+" +"+"
z íÅ‚
r
r2 r3 Å‚Å‚
1 +
AA
r(x)
11 1
= z2 dA - z3 dA + z4 dA - z4 dA+... (25)
+"+" +"+" +"+" +"+"
r
r2 r3
AA A
A
3.5. Przekrój prostokątny
ëÅ‚ 2 r + h öÅ‚
CaÅ‚ka J* dla przekroju prostokÄ…tnego wynosi: J* = b r2 ìÅ‚ r ln - h÷Å‚
2 r
íÅ‚ - h Å‚Å‚
Mr Mr
M M
wówczas = = =
z
Ar È
J* ëÅ‚ 2 r + h öÅ‚ ëÅ‚ 2 r + h öÅ‚
r
br2 ìÅ‚ r ln - h÷Å‚ bhr ln - 1÷Å‚
ìÅ‚
2 r h 2 r
íÅ‚ - h Å‚Å‚ íÅ‚ - h Å‚Å‚
y
h
2 r + h
r
È= ln - 1 (26)
h 2 r - h
b
N M 1 M z
Ãx = + +
(27)
A Ar È Ar r + z
" Analiza naprężeń w pręcie o przekroju prostokątnym
r / h 1 2 4 6
J* / Jy 1.183 1.039 1.009 1.004
bh3
J =
y
12
Widać, że dla stosunku (r / h) e" 6 moment J* jest praktycznie równy  klasycznemu momentowi
bezwładności dla prostokąta Jy.
Naprężenie normalne ma wówczas postać
Mr
N M z
Ãx = + + (28)
A Ar J r + z
y
Zakładając, że r " , co oznacza że pręt zakrzywiony staje się prętem prostym otrzymujemy następujące
warunki:
M
0
Ar
r z
z
= z
z
r + z1 +
r
Naprężenie normalne określone jest teraz zależnością:
M
N
Ãx = + z (29)
A J
y
Otrzymaliśmy zatem wzór jak w klasycznym zadaniu pręta prostego mimośrodowo rozciąganego.
W praktyce już przy stosunku (r / h) e" 6 pręty zakrzywione liczy się jak pręty proste. Jako dowód
potraktujmy oszacowanie błędu, jaki popełnia się przy takim sposobie potraktowania pręta zakrzywionego.
Pręty silnie zakrzywione 5
" pręt prosty
M 12 M
N h N h N M
max
Ãx = + = + = + 6
A J 2 A 2 A Ah
b h3
y
M
N h N M
min
Ãx = - = - 6
A J 2 A Ah
y
" pręt zakrzywiony
h
6 h
12 M
N M N M
2
max
Ãx = + + = + 5705
.
A A 6 h A Ah
bh3 6 h + h
2
h÷Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
6 h ìÅ‚ -
íÅ‚
12 M
N M 2Å‚Å‚ N M
min
Ãx = + + = - 6379
.
A A 6 h A Ah
b h3 6 h - h
2
" WNIOSEK : zastosowanie teorii pręta prostego daje oszacowanie naprężeń z nadmiarem (a więc
bezpieczne) ok. 4.9% dla naprężenia maksymalnego i ok. 6.3% dla naprężenia
minimalnego.