Próg rentowności
OPRACOWAA
Y
Beata Mikiewicz
Katarzyna Rutkowska
lð W zarzÄ…dzaniu przedsiÄ™biorstwem szczególnie ważna jest
odpowiedz
na pytanie:
Kiedy sprzedaż produktów zacznie przynosić zysk?
lð Ponieważ koszty sÄ… kategoriÄ… pierwotnÄ… wzglÄ™dem przychodów
sprzedaż wyrobów do określonej wysokości nie przynosi zysku.
lð Z punktu widzenia istnienia i rozwoju przedsiÄ™biorstwa niezwykle
ważne jest wyznaczenie minimalnej wielkości produkcji, której
sprzedaż pozwoli zrównoważyć poniesione koszty.
Próg rentowności
lð Analiza progu rentownoÅ›ci stanowi niezwykle
pomocny instrument w zarzÄ…dzaniu
przedsiębiorstwem w gospodarce rynkowej.
Obejmuje ona badanie tzw. Punktu wyrównania
(break even point  BEP), w którym realizowane
przychody ze sprzedaży pokrywają poniesione
koszty. Przedsiębiorstwo nie osiąga wówczas zysku,
ale też nie ponosi strat. Rentowność przychodów ze
sprzedaży jest zerowa, co oznacza, że firma
osiągnęła próg rentowności.
lð Metoda analizy progu rentownoÅ›ci opiera siÄ™ na
podziale kosztów na stałe i zmienne.
W analizie progu rentowności przyjmujemy
następujące założenia upraszczające:
lð wielkość produkcji w badanym okresie jest dostosowana do
wielkości sprzedaży (jest równa wielkości sprzedaży);
lð koszty sÄ… funkcjÄ… wielkoÅ›ci produkcji;
lð koszty staÅ‚e sÄ… jednakowe dla każdej wielkoÅ›ci produkcji;
lð jednostkowe koszty zmienne sÄ… staÅ‚e i w zwiÄ…zku z tym
całkowite koszty zmienne zmieniają się proporcjonalnie do
zmian wielkości produkcji;
lð ceny sprzedaży poszczególnych produktów nie ulegajÄ… zmianie
z upływem (czasu i nie zmieniają się również wraz ze zmianą
skali produkcji i sprzedaży w całym badanym okresie;
przychody ze sprzedaży są więc liniową funkcją ceny
sprzedaży i ilości sprzedanych produktów;
lð poziom jednostkowych kosztów zmiennych i kosztów staÅ‚ych
pozostaje niezmieniony w całym badanym okresie.
Próg rentowności przy produkcji
jednoasortymentowej
Najpierw zbadamy próg rentowności przedsiębiorstwa wytwarzającego
jeden produkt. Na poziom tego progu wpływają wówczas
następujące czynniki:
żð cena produktu,
żð jednostkowe koszty zmienne,
żð koszty staÅ‚e.
Na podstawie powyższego
równania obliczamy próg
rentowności w wyrażeniu:
lð IloÅ›ciowym (BEPil):
lð wartoÅ›ciowym (BEPwart):
lð procentowym (BEPproc)
Próg rentowności
lð Próg rentownoÅ›ci w ujÄ™ciu iloÅ›ciowym wyraża liczbÄ™
wyrobów jaką przedsiębiorstwo powinno sprzedać,
aby pokryć koszty stałe i koszty zmienne.
lð Próg rentownoÅ›ci znajduje siÄ™ w punkcie, w którym
wartość sprzedaży (Sr) jest równa poziomowi
kosztów całkowitych,
a więc:
Sr = Kc
Próg rentowności
Sr = BEPil x cj
Kc = Ks + BEPil x kzj
a zatem:
BEPil x cj = Ks + BEPil x kzj
BEPil x cj - BEPil x kzj = Ks
P ( cj - kzj ) = Ks
Ks
P = ------------ gdzie P = BEP
c - kzj
Ilościowy próg rentowności
Ks
BEPil =ð
c -ð kz
j j
lð Ks  caÅ‚kowite koszty staÅ‚e
lð cj  cena jednostkowa
lð Kzj  koszt zmienny jednostkowy
lð Cj-kzj  marża jednostkowa na pokrycie
lð BEPil  iloÅ›ciowy próg rentownoÅ›ci
Wartościowy próg rentowności
BEPwart =ð BEPil *cj
" BEPil  ilościowy próg rentowności
" cj  cena jednostkowa
" BEP wart - próg rentowności w wyrażeniu
" BEP wart - próg rentowności w wyrażeniu
wartościowym
wartościowym
Procentowy próg rentowności
lð jako stopieÅ„ zaspokojenia przewidywanego popytu (lub stopieÅ„
wykorzystania zdolności produkcyjnej)
gdzie Pm - maksymalna możliwa wielkość sprzedaży określona na
podstawie prognozy popytu (lub zdolności produkcyjnej).
BEP
BEPproc =ð * 100 %
Pm
Ks
BEPproc =ð *100%
(cj -ð kzj) * Pm
Zadanie 1
Przedsiębiorstwo produkujące pralki
ponosi w ciÄ…gu rozpatrywanego okresu
koszty stałe w kwocie 50000 zł. Cena
pralki wynosi 800 zł, a jednostkowy
koszt zmienny 300 zł. Należy obliczyć
próg rentowności ilościowy i
wartościowy.
lð Ks = 50000
lð cj = 800
lð Kzj = 300
lð Cj-kzj = 800  300 = 500
BEPil = 100
BEPwart = 100* 800= 80000
BEPwart = 100* 800= 80000
Wykres progu rentowności
lð Na podstawie równaÅ„ przychodów ze sprzedaży oraz kosztów
całkowitych możliwe jest również graficzne wyznaczenie progu
rentowności
lð Rysunek ten obrazuje iloÅ›ciowy i wartoÅ›ciowy próg rentownoÅ›ci.
Pozwala on również ocenić, jaką część popytu (lub zdolności
produkcyjnej) należy wykorzystać dla osiągnięcia progu
rentowności. Porównanie krzywej przychodów ze sprzedaży i
kosztów całkowitych umożliwia ponadto ustalenie
przewidywanego poziomuj zysku, w zależności od zrealizowanej
wielkości sprzedaży. Przy pełnym wykorzystaniu popytu
(zdolności produkcyjnej) zysk ten wyniesie:
Zm - poziom zysku przy pełnym zaspokojeniu przewidywanego popytu
(lub pełnym wykorzystaniu zdolności produkcyjnej).
Zm = Pm x cj (Ks + Pm x kzj)
Próg rentowności - sporządzanie wykresu
lð Aby sporzÄ…dzić wykres należy dokonać podziaÅ‚u
kosztów w okresie na koszty stałe i koszty zmienne.
lð SporzÄ…dzić wykres jak na przykÅ‚adowym rysunku
poniżej, postępując w kolejności wskazanej na tym
rysunku.
Próg rentowności - wykres
rysunek 1
Uwagi
A) W pierwszym kroku wykreślamy osie współrzędnych. Skala na nich powinna
być jednakowa, aby wykres nadawał się do póz
niejszych symulacji.
B) Należy pamiętać, że oś pozioma nie ma nic wspólnego z czasem. Jest to oś
oznaczająca wyłącznie SPRZEDAŻ OSI
GNI
T
W OKRESIE, np. w
ciÄ…gu roku.
C) Sporządzając wykres najlepiej jest postępować według wskazanej na
rysunku kolejności:
lð Na osi poziomej oznaczyć sprzedaż osiÄ…gniÄ™tÄ… w okresie, a nastÄ™pnie
poprowadzić od nich pionową linię w górę.
lð Na osi pionowej oznaczyć to samo (sprzedaż osiÄ…gniÄ™tÄ… w okresie) i
poprowadzić od nich poziomą linię (na rysunku cieniutka kropkowana) aż
uzyska się punkt przecięcia z narysowaną poprzednio linią pionową. Przez
ten punkt przecięcia i środek układu współrzędnych poprowadzić
pomocniczą tzw. linię sprzedaży (na rysunku linia kreskowana). Dobrze jest
upewnić się, że linia ta przebiega pod kątem 45 stopni do osi układu
współrzędnych - wówczas wiadomo, że ten pierwszy etap sporządzania
wykresu został zrealizowany prawidłowo.
Uwagi cd.
lð WykreÅ›lić poziomÄ… liniÄ™ oznaczajÄ…cÄ… koszty staÅ‚e.
lð Na linii pionowej do kosztów staÅ‚ych dodać koszty zmienne. Od
wyznaczonego w ten sposób punktu kosztów całkowitych
poprowadzić tzw. linię kosztów zmiennych do punktu przecięcia
linii kosztów stałych z pionową osią współrzędnych.
lð JeÅ›li linia kosztów zmiennych przecina siÄ™ z liniÄ… sprzedaży,
punkt ich przecięcia wskazuje próg rentowności. Powyżej tego
punktu przecięcia powstaje obszar, który na rysunku został
zakreskowany.
D) Dokładną wartość progu rentowności możemy odczytać na osi
poziomej. Próg rentowności jest to wielkość sprzedaży w okresie,
która pokrywa koszty całkowite poniesione w okresie. Większa
sprzedaż daje już zysk.
Zastosowania:
lð Wyznaczanie wielkoÅ›ci sprzedaży docelowej
dla potrzeb planowania.
lð Symulacja skutków ekonomicznych
programów, których celem jest redukcja
kosztów i poprawa zyskowności
przedsiębiorstwa.
lð Obliczenie progu rentownoÅ›ci przedsiÄ™biorstwa stwarza szerokie
możliwości dalszej analizy. Obejmuje ona przede wszystkim
oceną kształtowania się rentowności w przypadku zmian
poszczególnych czynników wpływających na jej poziom.
Szczególne znaczenie ma przy tym zbadanie:
lð jaki ewentualny spadek popytu na wytwarzane produkty może
doprowadzić do całkowitej utraty rentowności przez
przedsiębiorstwo,
lð jakie sÄ… możliwoÅ›ci zwiÄ™kszenia zysku przedsiÄ™biorstwa poprzez
kształtowanie czynników określających jego poziom.
lð PrzedsiÄ™biorstwo funkcjonujÄ…ce w gospodarce rynkowej narażone
jest na ciągłe niebezpieczeństwo spadku sprzedaży na skutek
zmian warunków rynkowych. Celowe jest zatem ustalenie tzw.
wskaz
nika bezpieczeństwa, obrazującego wrażliwość
przedsiębiorstwa na spadek popytu. Wskaz
nik ten (Wb) obliczamy
na podstawie:
Pm-ðBEP
Wb =ð
Pm
lð Jeżeli do osiÄ…gniÄ™cia progu rentownoÅ›ci jest konieczne
zaspokojenie pełnego popytu, to Wb = 0. Oznacza to, że już w
chwili obecnej przedsiębiorstwo nie osiąga zysku. Każdy spadek
popytu na wytwarzane produkty czy świadczone usługi
przyniesie więc stratę. Z kolei im wyższy wskaz
nik
bezpieczeństwa (Wb1), tym większy spadek popytu może
przetrwać firma, nie ponosząc strat. Na przykład Wb = 0,5
oznacza, że nawet spadek popytu o 50% nie spowoduje strat,
chociaż zredukuje zysk przedsiębiorstwa do zera.
lð Ważna informacjÄ… dla bieżącego zarzÄ…dzania
przedsiębiorstwem jest również zbadanie potencjalnych
możliwości podniesienia jego rentowności. Możliwości te tkwią
zarówno po stronie przychodów ze sprzedaży, jak i po stronie
kosztów.
Próg rentowności przy produkcji
wieloasortymentowej
W praktyce gospodarczej przedsiębiorstwo produkuje lub dostarcza kila
różnych usług. Analiza progu rentowności jest w tym przypadku
utrudniona. Zaprezentowane dotychczas rozważania pozostają
nadal aktualne. Lecz zachodzi konieczność uwzględnienia drugiego
czynnika, jakim jest struktura asortymentowa sprzedaży.
Podstawowe równania przyjmują wtedy postać:
lð równanie wartoÅ›ci sprzedaży
lð gdzie: S  wartość sprzedaży; Pi  liczba sprzedanych produktów i-
tego asortymentu; ci  cena sprzedaży i-tego asortymentu; i =
1,& ..,m  ilość wytwarzanych asortymentów produktów lub
świadczonych usług.
równanie wartości sprzedaży
gdzie:
lð S  wartość sprzedaży
lð Pi  liczba sprzedanych
m
produktów i-tego
asortymentu
S =ð P * c
åð i i
lð ci  cena sprzedaży i-tego
i =ð 1
asortymentu
lð i = 1,& ..,m  ilość
wytwarzanych asortymentów
produktów lub
świadczonych usług.
równanie kosztów całkowitych
lð gdzie:
lð Kc  koszty caÅ‚kowite,
m
lð Ks  koszty staÅ‚e,
Kc =ð Ks +ð Pi * kzi
åð
lð kzi  jednostkowe
i=ð1
koszty zmienne
lð i  tego asortymentu
lð Próg rentownoÅ›ci pokazuje, jaki poziom przychodów ze sprzedaży gwarantuje
pokrycie poniesionych kosztów, a więc:
m m
Pi * c =ð Ks +ð Pi * kz
åð i åð i
i =ð 1 i =ð 1
lð O ile w przypadku produkcji jednorodnej próg rentownoÅ›ci byÅ‚  punktem ,
o tyle przy produkcji wielu wyrobów czy świadczeniu wielu usług jest on
 zbiorem punktów . Zrównoważenie przychodów ze sprzedaży i kosztów można,
bowiem osiągnąć przy wielu różnych kombinacjach struktury asortymentowej.
Próg rentowności można też osiągnąć na różnym poziomie wartościowym (z
wyjątkiem szczególnych przypadków), zależnym od jednostkowego zysku
realizowanego dla różnych punktów.
lð Pewnym uproszczeniem dalszej analizy może być przyjÄ™cie zaÅ‚ożenia, w
myśl którego udział łącznych kosztów zmiennych (całej produkcji) w jej wartości
jest stały i z góry określony. Wartościowy próg rentowności (BEPw ) możemy
wówczas ustalić na podstawie równania:
lð O ile w przypadku produkcji jednorodnej próg rentownoÅ›ci byÅ‚
 punktem , o tyle przy produkcji wielu wyrobów czy świadczeniu
wielu usług jest on  zbiorem punktów . Zrównoważenie
przychodów ze sprzedaży i kosztów można, bowiem osiągnąć
przy wielu różnych kombinacjach struktury asortymentowej. Próg
rentowności można też osiągnąć na różnym poziomie
wartościowym (z wyjątkiem szczególnych przypadków),
zależnym od jednostkowego zysku realizowanego dla różnych
punktów.
lð Pewnym uproszczeniem dalszej analizy może być przyjÄ™cie
założenia, w myśl którego udział łącznych kosztów zmiennych
(całej produkcji) w jej wartości jest stały i z góry określony.
Wartościowy próg rentowności (BEPw ) możemy wówczas
ustalić na podstawie równania:
Ks
'
BEP =ð
w
m
P * kz
åð i i
i =ð 1
1 -ð
m
P * c
åð i i
i =ð 1
lð Równie to sÅ‚uży głównie do oceny progu rentownoÅ›ci prowadzonej ex post. Znana jest
wówczas rzeczywiście zrealizowana struktura asortymentowa sprzedaży, co umożliwia
ustalenie udziału kosztów zmiennych w przychodach ze sprzedaży. Jednak wykorzystanie
te relacji w analizie ex ante jest mało przydatne. Każda zmian struktury asortymentowej
może bowiem zasadniczo zmienić poziom tej relacji.
lð Najprostszym przykÅ‚adem produkcji wieloasortymentowej jest wytwarzanie dwóch
produktów. Równanie progu rentowności przyjmuje wówczas postać:
P *c1 +ðP2 *c2 =ð Ks+ðP *kz1 +ðP2 *kz2
1 1
lð gdzie: P1, P2  wielkość sprzedaży produktów 1 i 2, c1, c2  cena
sprzedaży produktów 1 i 2. kz1, kz2  jednostkowe koszty zmienne
produktów 1 i 2, Ks  koszty stałe.
lð Po odpowiednim przeksztaÅ‚ceniu wczeÅ›niejszej formuÅ‚y uzyskamy)ðnastÄ™pujÄ…ce równanie:
P1 * (ðc -ð kz )ð +ð P * (ðc -ð kz -ð Ks =ð 0
1 1 2 2 2
lð OtrzymaliÅ›my równanie prostej. RozwiÄ…zaniem tego
równania będzie każdy punkt znajdujący się na tej
prostej. Ponieważ badany przypadek dotyczy liczby
wytwarzanych produktów, należy przyjąć założenie,
że P1e"0 i P2e"0. Rozwiązaniem równania będzie
wówczas jedynie odcinek. Analizując produkcję i
sprzedaż określonych produktów, operujemy w
zbiorze liczb naturalnych (powiększonych o 0).
Jeżeli wielkość produkcji i sprzedaży wyrażamy w
sztukach, ograniczymy zakres możliwych rozwiązań
do skończonej liczby punktów leżących na tym
odcinku.
lð Marża brutto (marża na pokrycie) informuje o nadwyżce
przychodów ze sprzedaży nad kosztami zmiennymi. Nadwyżka ta
przeznaczana jest w pierwszej kolejności na pokrycie kosztów
stałych, pozostała część  po przekroczeniu progu rentowności 
jest zyskiem operacyjnym. Stopa marży brutto określa, jaka część
przychodów pozostaje w dyspozycji po pokryciu kosztów
zmiennych, na pokrycie kosztów stałych i pożądanego zysku. Stopę
tÄ™ ustala siÄ™, korzystajÄ…c ze wzoru
lð gdzie MB  marża brutto.
MB S -ð KZ KZ
SMB =ð =ð =ð 1 -ð
S S S
lð Próg rentownoÅ›ci zależy wprost proporcjonalnie od poziomu
kosztów stałych i odwrotnie proporcjonalnie od wielkości stopy
marży brutto. Zwiększenie kosztów stałych oraz udziału kosztów
zmiennych w sprzedaży powoduje zatem, że przedsiębiorstwo
przekracza póz
niej punkt krytyczny. Przyrost współczynnika
udziału kosztów zmiennych w przychodach może być efektem
spadku ceny oferowanych usług lub wzrostu kosztu zmiennego
ich świadczenia. Wpływ analizowanych zmian na próg
rentowności przedstawiono na rysunku poniżej
lð Z pierwszego rysunku wynika, że podwyższenie progu
rentowności wskutek wzrostu kosztów stałych jest efektem
równoległego przesunięcia w górę prostej kosztów całkowitych. Z
kolei wzrost udziału kosztów zmiennych w przychodach ze
sprzedaży prowadzi do podwyższenia punktu krytycznego na
skutek zwiększenia kąta nachylenia prostej kosztów całkowitych.
Wzrost kosztów stałych i jego
wpływ na próg rentowności
S
KC KC
KS
KS
PR PR Sprzedaż
Przychody, koszty
Wzrost udziału kosztów zmiennych w
przychodach i jego wpływ na próg
rentowności
S
KC KC
KS
PR PR Sprzedaż
Przychody, koszty
lð Zaprezentowana formuÅ‚a progu rentownoÅ›ci pozwala na
wyznaczenie minimalnej wielkości popytu zapewniającej dodatnią
rentowność działalności przy danych kosztach uzyskania
przychodów. Po odpowiednich przekształceniach możliwe jest także
wyznaczenie granicznych wartości pozostałych parametrów, tzn.
maksymalnego udziału kosztów zmiennych w przychodach i
maksymalnego poziomu kosztów stałych przy danym poziomie
sprzedaży. Wielkości te ustala się na podstawie wzorów:
KZ
S -ð KS
max
=ð
S S
KS =ð SMB ·ð S
max
DZI
KUJEMY ZA WSPÓA
PRAC
;-)