Całkowanie funkcji wymiernych i trygonometrycznych
Zadania na ćwiczenia
Przygotuj funkcję wymierną do całkowania:
x4 +� 2x2 +�1 -�1 2 2
Zad. 1. = Odp. x +� +� +�
x x -�1 x +�1
x3 -� x
4x5 +� 3x4 +� 4x3 +� x2 -�1 2 1 x -�1
Zad. 2. Odp. 4 +� -� +�
x
x5 +� x3 x3 x2 +�1
Tw. Każdy wielomian W(x) 0 jest iloczynem czynników stopnia co najwyżej drugiego.
Tw. Każdy wielomian stopnia n ma co najwyżej n różnych pierwiastków.
Tw. Każdy wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
Tw. B�zouta. Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy,
gdy W (x) jest podzielny przez dwumian (x -� a) .
Wyznaczyć całki:
1
Zad. 3. dx =� & Odp. ln | x -� a | +�C
��
x -� a
ó�
1 -�1
Zad. 4. dla m ą� 1, dx =� & Odp. +� C dla m ą� 1
��
(m-�1)(x-�a)m-�1
��
(x -� a)m
t =� f(x)
f'(x)
ó�
Zad. 5. dx =� = & Odp. ln| f (x)|+�C
��
f (x)
�� dt =� f '(x)
Niech trójmian kwadratowy x2 +� px +� q ma wyróżnik D� =� p2 -� 4q <� 0 , czyli (-�D�/4) >� 0 ,
np. zad. 10 na poprzednich ćwiczeniach: x2+�4x +�13 ma D� =� 42 -� 4��13 =� -�36 <� 0 , (-�D�/4) =� 9 >� 0 .
2x +� p t =� x2 +� px +� q
ó�
Zad. 6. dx =� =& Odp. ln|x2+� px +� q| +�C
��
�� x2 +� px +� q dt =� ..............
ć� x +� p/2 ��
ó�
1 1
Zad. 7. dx =� & Odp. arctg�� �� +� C
��
��
x2 +� px +� q -�D�/4 -�D�/4
Ł� ł�
A A
(2x +� p) +� B -� �� p
ó�
ó� Ax +� B 2 2
Zad. 8. dx =� dx
��
��
��
�� x2 +� px +� q
x2 +� px +� q
��
2x +� p 1
ó� ó�
A A
=� dx +�(�B -� �� p)� dx
�� ��
2 2
�� x2 +� px +� q x2 +� px +� q
��
...(2x -� 4) -�1+� ....
ó�
D� =� (-�4)2 -� 4 ��8
3x -�1
ó� 2
Zad. 9. dx =� = dx &
��
��
��
�� =� -�16
x2 -� 4x +� 8 x2 -� 4x +� 8
��
ó� 2n-�3
1 1 t 1
Zad. 10. Dla n >� 1, a ą� 0 In =� dt =� �� +� In-�1 .
�� n-�1
n
2a2 (n-�1) a2 2n-�2
�� (�x2+�a2)�
(�t2 +� a2)�
A A
ó�
(2x +� p) +� B -� �� p
ó�
Ax +� B 2 2
��
Zad. 11. dx =�
��
��
�� (�x2 +� px +� q)�n dx
(�x2 +� px +� q)�n
��
ó� ó�
2x +� p 1
A A
=�
��
2 2
(�x2 +� px +� q)�n dx +�(�B -� �� p)��� (�x2 +� px +� q)�n dx
�� ��
Opracował i wykonał: Stanisław Zoń 1/2
Zadanie domowe
Zaproponuj rozkład na ułamki proste funkcji
W7(x)
Zad. 1. =�
2
(�x4 -� x2a2)�(�x2 +� b2)�
W7(x)
A B C D Ex +� F Gx +� H
Odp. =� +� +� +� +� +�
2 2
x
x2 x -� a x +� a x2 +� b2
x2(�x2 -� a2)�(�x2 +� b2)� (�x2 +� b2)�
Wyznacz całki:
ó� ó� ć� ��dx =
x5 +� x3 -� 8x +� 4 2 1 x +�1
Zad. 2. dx Odp. = x -� +� -�
�� ��
�� ��
x
�� �� Ł� x2 x2 +� 4 ł�
x4 +� 4x2
x2 1 1 1 x
= -� 2ln x -� +� ln x2 +� 4 +� arctg(� )�+� C
2 x 2 2 2
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Dla całki R(�sin( x),cos(x))�dx gdzie R oznacza funkcję wymierną:
��
�� stosujemy podstawienie t =� tg(x/2) ,
dt 2t 1-� t2
wtedy: x =� 2arctg(t) , dx =� 2 , sin( x) =� , cos(x) =� .
1+� t2 1+� t2 1+� t2
W szczególności:
�� jeśli R(�sin( x),cos(x))� jest nieparzystą funkcją sin(x), tzn, R(�-� sin( x),cos(x))�=� -�R(�sin( x),cos(x))�
~
tzn. że całka jest postaci (�sin (x),cos(x))���sin( x) dx więc stosujemy podstawienie t = cos(x),
��R 2
�� jeśli R(�sin( x),cos(x))� jest nieparzystą funkcją cos(x) tzn, R(�sin( x),-� cos(x))�=� -�R(�sin( x),cos(x))�
~
tzn. że całka jest postaci (�sin( x),cos2(x))���cos(x) dx więc stosujemy podstawienie t = sin(x),
��R
�� jeśli R(�sin( x),cos(x))� jest parzystą funkcją sin(x) i cos(x) tzn, R(�-� sin( x),-� cos(x))�=� R(�sin( x),cos(x))�
~
tzn. że całka jest postaci (�sin (x),cos2(x), tg(x))�dx więc stosujemy podstawienie t = tg(x),
��R 2
dt t 1
wtedy: x =� arctg(t) , dx =� , sin( x) =� , cos(x) =� .
1+� t2
1+� t2 1+� t2
Wyznacz całkę:
ó�
cos3(x) +� cos5(x)
Zad. 3. dx =� & .Wskazówka Zastosuj podstawienie t = sin(x)
��
2 4
sin (x) +� sin (x)
��
(�1-t2)�(�2-t2)�dt =� 2
ó� 6 2
Odp. (�1+� -� )�dt =� ... =� sin( x) -� -� 6arctg(�sin( x))�+� C .
��
��
t2(�1+�t2)� t2 1+�t2 sin( x)
��
ó�
cos2(x)
Zad. 4. dx =� & Wsk. Zastosuj podstawienie t = tg(x). Odp. -� (1/3) ctg3(x) +� C .
��
4
sin (x)
��
1 1
Ciekawe związki: tg2(x) +�1 =� =� (�tg(x))�', ctg2(x) +�1 =� =� -�(�ctg(x))�'.
2
cos2(x) sin (x)
Opracował i wykonał: Stanisław Zoń 2/2