Całka krzywoliniowa nieskierowana (P) dl
+"f
l
Zadania na ćwiczenia 1.1
Zadanie 1. Obliczyć całkę dl wzdłu\
krzywej l która jest obwodem
+"xy
l
trójkąta o wierzchołkach A = (0, 2) , B = (4, 2) , C = (4, 0) .
RozwiÄ…zanie.
Poniewa\
krzywa l = l1 *"l2 *"l3 , zatem = =
+" +" +"++"++".
l l1*"l2*"l3 l1 l2 l3
Równanie odcinka o końcach AB wyra\
ajÄ… wzory:
x = xA + (xB - xA) Å"t , y = yA + (yB - yA)Å"t , w których zmienna t "[0, 1] . Zatem:
Å„Å‚
ôÅ‚x = ................., ró\
niczka Å‚uku dl = x2 + y2dt = & & & & & & & & &
& &
" na odcinku AB, l1 :
òÅ‚
ôÅ‚
óły = .................
Å„Å‚
ôÅ‚x = ................. , ró\
niczka Å‚uku dl = x2 + y2dt = & & & & & & & & &
& &
" na odcinku BC, l2 :
òÅ‚
ôÅ‚
óły = .................
y
x x
" na odcinku CA, l3 : + =1, czyli y = 2 - , ró\
niczka Å‚uku dl = 1+ y'2dx = & & & & & & &
4 2 2
.....
+"xy dl = .....
+"...............& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & Odp. 16.
l1
....
+"xy dl = ....
+"............... & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & Odp. 8.
l2
.....
+"xy dl = ....
+"...............& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .& & & & &
l3
8 5
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..& Odp. .
3
Ostatecznie, dl = & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
+"xy
l
Zadanie to będzie miało sens fizyczny jeśli sformułujemy je np. tak:
Obliczyć ładunek elektryczny q rozło\
ony na krzywej l gdy gęstość liniową  ładunku elektrycz-
nego wyra\
a funkcja  = xy . Wtedy bowiem Å‚adunek q = = dl = dl .
+"dq +" +"xy
l l l
lub
Obliczyć masę m rozło\
oną na krzywej l gdy gęstość liniową ł masy wyra\
a funkcja Å‚ = xy .
Wtedy bowiem masa m = = dl = dl .
+"dm +"Å‚ +"xy
l l l
Opracował i wykonał: Stanisław Zoń
Zadanie 2. Obliczyć długość jednego zwoju linii śrubowej {x = a cos(t), y = a sin(t), z = at}, t "[0,2Ą ].
Rozwiązanie. Długość łuku l = , dlatego wpierw musimy wyznaczyć
+"dl
l
& & &
ró\
niczkÄ™ dl = x2 + y2 + z2dt = & & & & & & & & & & & & & &
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
....
Zatem l = = & & & & & & & & & & & & & .. Odp. 2Ä„ a 2 .
+"dl ....
+"....
l
Zadanie 3. Obliczyć moment bezwładności pręta w kształcie okręgu o promieniu  a
i stałej gęstości liniowej masy ł , względem jego średnicy. Odp. Ął a3 .
Rozwiązanie. Umieśćmy środek okręgu w początku układu współrzędnych.
Jego równanie we współrzÄ™dnych biegunowych jest r(Õ) = a , Õ "[0, 2Ä„ ] .
Wybierzmy oś Ox (która jest średnicą okręgu) jako oś obrotu. Wtedy,
Ix = dm = dm . Ze wzorów przejścia do współrzędnych biegunowych
+"Á 2 +"y2
l l
y = r sin(Õ) = a sin(Õ) .
Ró\
niczka masy dm = Å‚ dl , a wiÄ™c Ix = Å‚ dl = Å‚ dl = Å‚ sin(Õ))2 dl =Å‚ a2
+"y2 +"y2 +"(a +"sin2(Õ) dl .
l l l l
We współrzędnych biegunowych, ró\
niczka Å‚uku dl = & & & & & & & & & & & & & & & & & .
......
Zatem Ix = Å‚ a2
+"sin2(Õ) & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
......
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
Opracował i wykonał: Stanisław Zoń
Operacje ró\
niczkowe
Zadania na ćwiczenia 1.2
Zadanie 4. Odległość dowolnego punktu P = (x,y,z) od początku układu
współrzędnych Oxyz wyra\
a funkcja (pole skalarne) r = x2 + y2 + z2 .
y
îÅ‚ Å‚Å‚
x z 1
Wyznaczyć grad r . Odp grad r = , , = [x, y, z].
ïÅ‚ śł
r r r r
ðÅ‚ ûÅ‚
RozwiÄ…zanie.
îÅ‚"r "r "r Å‚Å‚
grad r = , , =& & & & & & & & & & & & & & & & ..& & & & & & & & & & & & &
ïÅ‚"x "y "z śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Zadanie 5. Na rysunku obok narysowano hiperbole, które są warstwicami
funkcji z = x2 - y2 oraz kilka wektorów. Co wskazują te wektory?
Wyznaczyć grad z w kilku punktach zaczepienia tych wektorów.
îÅ‚"z "z Å‚Å‚
grad z = , =& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
ïÅ‚"x "y śł
ðÅ‚ ûÅ‚
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..

y
îÅ‚ Å‚Å‚
x z 2
Zadanie 6. Wyznaczyć div F gdy pole wektorowe F = , , , a r = x2 + y2 + z2 . Odp. .
ïÅ‚ śł
r r r r
ðÅ‚ ûÅ‚

y
ëÅ‚ öÅ‚
" x " " z
div F = ( )+ + ( ) =& & & & & & & & & & & & ..& & & & & & & & & & & & &
ìÅ‚ ÷Å‚
"x r "y r "z r
íÅ‚ Å‚Å‚
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .

Zadanie 7. Wyznaczyć rot F gdy pole wektorowe F =[yz, x2, x + z]. Odp. [0, y -1, 2x - z].

i j k

" " "
rot F = = i Å"(...............) - j Å"(.............) + k Å"(.............) = & & & & & & & & & & &
"x "y "z
yz x2 x + z
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
Opracował i wykonał: Stanisław Zoń
Zadanie domowe 1
1.1 Całka krzywoliniowa nieskierowana
Å„Å‚x = a Å" cos3(t)
ZADANIE 1. Obliczyć dÅ‚ugość jednego Å‚uku asteroidy o równaniu: ôÅ‚ , (a>0).
òÅ‚
ôÅ‚
óły = a Å" sin3(t)
Odp., l = 3a /2 .
Zobacz. http://pl.wikipedia.org/wiki/Hipocykloida
ZADANIE 2. Obliczyć caÅ‚kÄ™ (x + y)Å"dl
+"
L
gdy L jest obwodem trójkąta o wierzchołkach: A(0,0). B(a,0), C(0,a)
Odp. a2(1+ 2).
ZADANIE 31. Obliczyć pole S powierzchni walcowej x2 + y2 = a x , zawartej między płaszczyzną
z = f1(x, y) = 0 , a górną półsferą z = f2(x, y) = a2 - x2 - y2
Odp. 2a2 .
WSKAZOWKA. S = f2(x, y) - f1(x, y))Å"dl , gdzie krzywa L ma równanie jak powierzchnia walca.
+"(
L
U\
yć współrzędnych biegunowych.
1.2 Operacje ró\
niczkowe
 Zadania z matematyki wy\
szej część 2, str 183
Roman Leitner, Wojciech Matuszewski, Zdzisław Rojek
1
ZADANIE 4 (22.12 b) Wyznaczyć grad ln(r) , gdy r = x2 + y2 + z2 . Odp. grad r = [x, y, z].
r2

ZADANIE 5 (22.16 c) Wyznaczyć div F gdy pole wektorowe F =[x2 yz, xy2z, xyz2]. Odp. 6xyz .

ZADANIE 6 (22.16 c) Wyznaczyć rot F gdy pole wektorowe F = [- y, x, f (z)]. Odp. [0, 0, 2].
1
Zadanie dla ambitnych
Opracował i wykonał: Stanisław Zoń