1
A
uk gładki
Definicja
" A
ukiem gładkim w przestrzeni R3 nazywamy zbiór
ńł �ł
�ł żł
L = ( x, y, z ) " R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t); ą t � ,
ół �ł
gdzie:
 różnym wartościom parametru t " (ą, �) odpowiadają różne
punkty łuku L ,
 funkcje x = x(t), y = y(t), z = z(t) są klasy C1([ą, �]) ,

2 2 2
 dla każdego t " [ą, �] x (t) + y (t) + z (t) > 0 .
2
" A
uk nazywamy kawałkami gładkim, jeżeli można go podzielić na
skończona liczbę łuków gładkich, tj.
L = L1 *" L2 *" . . . *" Ln.
3
" Równanie =
r r(t) , gdzie t " [ą, �] nazywamy równaniem
wektorowym łuku L , przy czym jeżeli:
L �" R3 to
r(t) = [ x(t) , y(t) , z(t) ]
L �" R2 to
r(t) = [ x(t) , y(t) ]
" Jeżeli r(�) , to łuk L jest em łukiem zamkniętym
r(ą) =
(krzywą zamkniętą).
4
Całka krzywoliniowa niezorientowana
Definicja Całkę krzywoliniową z funkcji f = f(P ) ciągłej na
łuku gładkim L : =
r r(t), t " [ą, �] , oznaczamy symbolem
�ł �ł

�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
f(P ) dl lub f(x, y, z) dl f(x, y) dl
�ł łł
L L L
i określamy wzorem:
�

def

f(P ) dl = f( r
r(t)) � | (t) | dt.
ą
L
5
Przypadki szczególne:
" Jeżeli łuk gładki L jest opisany równaniem wektorowym

r(t) = [ x(t) , y(t) , z(t) ] , t " [ą, �] , to

f(x, y, z) dl =
L

�



= f ( x(t) , y(t) , z(t) ) � ( x (t) )2 + ( y (t) )2 + ( z (t) )2 dt.
ą
" Jeżeli łuk gładki L jest opisany równaniem wektorowym

r(t) = [ x(t) , y(t) ] , t " [ą, �] , to

f(x, y) dl =
L

�



= f ( x(t) , y(t) ) � ( x (t) )2 + ( y (t) )2 dt.
ą
6
" Jeżeli łuk gładki L jest wykresem funkcji klasy C1([a, b ]) danej
wzorem y = y(x), x " [a, b] , to


b



f(x, y) dl = f ( x , y(x) ) � 1 + ( y (x) )2 dx.
a
L
Przykład Oblicz
z2
dl ,
x2 + y2
L
gdzie L jest krzywą zadaną parametrycznie równaniami
x = a cos t, y = a sin t, z = at dla a > 0 i 0 t 2Ą.
Przykład Oblicz
"

y2 1 + x dl ,
L
"
2
gdzie L jest łukiem y = x x dla 0 x 3.
3
7
Własności całki krzywoliniowej niezorientowanej
Założmy, że istnieją całki

f(P ) dl i g(P ) dl
L L
" Wówczas:

( f(P ) + g(P ) ) dl = f(P ) dl + g(P ) dl
L L L
" Dla dowolnej stałej c " R

c � f(P ) dl = c � f(P ) dl
L L
8
" Jeżeli łuk L jest kawałkami gładki i L = L1 *" L2 *" . . . *"Ln ,
to

f(P ) dl = f(P ) dl + f(P ) dl + . . . + f(P ) dl.
L L1 L2 Ln
Przykład Oblicz

xy dl ,
L
gdzie L jest obwodem kwadratu |x| + |y| = a dla a > 0 .
Przykład Oblicz

(x + y) dl ,
L
gdzie L jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach (0, 0), (0, 1), (1, 0) .
9
" Jeżeli funkcja f jest ciągła na łuku gładkim L i
M = max | f(P ) | , to
P "L







f(P ) dl | f(P ) | dl M � dl,



L L L
przy czym całka

def
dl = | L |
L
jest długością łuku L .
"
Przykład Oblicz długość łuku krzywej: x = t , y = 4 - t2 dla
0 t 2.
10
Zastosowania całki krzywoliniowej w mechanice
Niech = (x, y) będzie daną ciągłą gęstością liniową masy łuku
gładkiego L �" R2 .
" Masa łuku L :

def
M = (x, y) dl
L
" Momenty statyczne łuku L względem osi układu:

MX def y (x, y) dl,
=
L

MY def x (x, y) dl,
=
L
11
" Współrzędne środka ciężkości:
MY 1
xc def = x (x, y) dl,
=
M M
L
MX 1
yc def = y (x, y) dl,
=
M M
L
" Momenty bezwładności łuku L względem osi układu:

IX def (x, y, z) y2 dl,
=
L

IY def (x, y, z) x2 dl,
=
L
" Moment bezwładności łuku L względem początku układu:

IO def (x, y, z) ( x2 + y2 ) dl,
=
L
12
Niech = (x, y, z) będzie daną ciągłą gęstością liniową masy
łuku gładkiego L �" R3 .
" Masa łuku L :

def
M = (x, y, z) dl
L
" Momenty statyczne łuku L względem płaszczyzn układu:

MXY def z (x, y, z) dl,
=
L

MXZ def y (x, y, z) dl,
=
L

MY Z def x (x, y, z) dl,
=
L
13
" Współrzędne środka ciężkości:
MY Z 1
xc def = x (x, y, z) dl,
=
M M
L
MXZ 1
yc def = y (x, y, z) dl,
=
M M
L
MXY 1
zc def = z (x, y, z) dl,
=
M M
L
" Momenty bezwładności łuku L względem osi układu:

IX def (x, y, z) ( y2 + z2 ) dl,
=
L

IY def (x, y, z) ( x2 + z2 ) dl,
=
L

IZ def (x, y, z) ( x2 + y2 ) dl,
=
L
14
" Moment bezwładności łuku L względem początku układu:

IO def (x, y, z) ( x2 + y2 + z2 ) dl,
=
L
Przykład Oblicz masę odcinka o końcach A(1, 2, 3) i B(0, 2, 2) ,
jeżeli gęstość liniowa masy w punkcie (x, y, z) tego odcinka jest
równa xyz.
Przykład Oblicz masę asteroidy x = cos3 t , y = sin3 t , której
gęstość w każdym punkcie jest równa kwadratowi jego odległościod
środka obszaru ograniczonego przez asteroidę.
Przykład Oblicz moment bezwładności względem osi OZ łuku
L o gęstości liniowej (x, y, z) = z , jeżeli łuk jest opisany równaniem
x = t cos t, y = t sin t, z = t dla 0 t 4Ą.
15
Krzywa zadana równaniem we współrzędnych biegunowych
L : r = r(�), �1 � �2
16
Przykład Sprowadzić całkę krzywoliniową

f(x, y) dl
L
do całki oznaczonej, jeżeli łuk gładki L jest dany we współrzędnych
biegunowych.
�2

f(x, y) dl = f ( r(�) cos � , r(�) sin � ) r(�) + r (�) d�
�1
L
Przykład Oblicz masę kardioidy danej równaniem
r = a( 1 + cos � ) dla 0 � 2Ą, jeżeli gęstość masy tej krzywej





wynosi (x, y) = 2 x2 + y2 .
17
Pole płata powierzchniowego

| Ł | = f(x, y) dl
L
L �" R2 f(x, y) 0
18
Przykład Oblicz pole powierzchni bocznej walca x2 + y2 = 1 ,
ograniczonej powierzchniami z = 0, z = 2 + xy .