Całki krzywoliniowe
Białystok, lipiec 2015
Copyright (C) 2015, Andrzej Pawluczuk. email: [e-mail]
Wszystkie prawa zastrzeżone.
Redystrybucja i używanie, czy to w formie tekstu z
ródłowego, czy w formie kodu
wykonywalnego, są dozwolone pod warunkiem spełnienia poniższych warunków:
1. Redystrybucja tekstu z
ródłowego musi zawierać powyższe zastrzeżenie
własności praw autorskich, niniejszą listę warunków oraz poniższe oświadczenie
o wyłączeniu odpowiedzialności.
2. Redystrybucja kodu wykonywalnego musi zawierać w dokumentacji lub w
innych materiałach dostarczanych wraz z kopią oprogramowania powyższe
zastrzeżenie własności praw autorskich, niniejszą listę warunków oraz poniższe
oświadczenie o wyłączeniu odpowiedzialności.
3. Nazwisko autora nie może być użyte celem sygnowania lub promowania
produktów pochodzących od tego opracowania, bez szczególnego, wyrażonego
na piśmie zezwolenia.
To opracowanie jest dostarczone przez posiadacza praw autorskich  takim, jakie jest .
Każda, dorozumiana lub bezpośrednio wyrażona gwarancja, nie wyłączając dorozumianej
gwarancji przydatności handlowej i przydatności do określonego zastosowania, jest
wyłączona. W żadnym wypadku posiadacz praw autorskich nie może być odpowiedzialny
za jakiekolwiek bezpośrednie, pośrednie, incydentalne, specjalne, uboczne i wtórne
szkody (nie wyłączając obowiązku dostarczenia produktu zastępczego lub serwisu,
odpowiedzialności z tytułu utraty walorów użytkowych, utraty danych lub korzyści, a
także przerw w pracy przedsiębiorstwa) spowodowane w jakikolwiek sposób i na
podstawie istniejącej w torii odpowiedzialności kontraktowej, całkowitej lub deliktowej
(wynikłej zarówno z niedbalstwa, jak i innych postaci winy), powstałe w jakikolwiek
sposób w wyniku używania lub mające związek z używaniem oprogramowania, nawet
jeśli o możliwości powstania takich szkód ostrzeżono.
Zalecane jest zapoznanie się z rozważaniami zawartymi w dokumencie
dotyczącym geometrii analitycznej oraz rachunku różniczkowego i całkowego.
Andrzej Pawluczuk:  Całki krzywoliniowe -3/15-
Spis treści
Całki krzywoliniowe nieskierowane....................................................................................................4
Całki krzywoliniowe skierowane.......................................................................................................12
Andrzej Pawluczuk:  Całki krzywoliniowe -4/15-
ałka krzywoliniowa jest całką, w której całkowana funkcja przyjmuje
wartości wzdłuż określonej krzywej (krzywa stanowi drogę całkowania). W
C
przypadku, gdy krzywa całkowania jest zamknięta (to jest w przypadku, gdy
początek drogi całkowania pokrywa się z końcem drogi całkowania), to taką całkę
określa się jako całkę okrężną.
Funkcja podcałkowa może być polem skalarnym1 lub wektorowym2. Z uwagi na
to, całki krzywoliniowe dzieli się na dwa rodzaje:
całki krzywoliniowe nieskierowane lub niezorientowane (w przypadku
skalarnych funkcji podcałkowych),
całki krzywoliniowe skierowane lub zorientowane (w przypadku wektorowych
funkcji podcałkowych).
W typowych zastosowaniach (w fizyce) pole może dotyczyć przestrzeni
dwuwymiarowej lub trójwymiarowej. Przykładem pola skalarnego w przestrzeni
trójwymiarowej jest pole temperatury, które każdemu punktowi trójwymiarowej
przestrzeni fizycznej przypisuje temperaturÄ™. W przypadku przestrzeni
dwuwymiarowej, każdemu punktowi powierzchni (przestrzeni dwuwymiarowej)
przypisana jest temperatura. Przykładem pola wektorowego w przestrzeni
trójwymiarowej jest pole magnetyczne, gdzie każdemu punktowi przestrzeni
trójwymiarowej przypisany jest wektor indukcji magnetycznej.
Całki krzywoliniowe nieskierowane
Do definicji całki krzywoliniowej nieskierowanej niezbędne jest określenie
funkcji pola skalarnego f ( x , y) (na płaszczyz
nie) lub f ( x , y , z) (w przestrzeni)
oraz łuku gładkiego C (określonego na płaszczyz
nie lub w przestrzeni). Całkę
nieskierowaną pola skalarnego f (x , y) lub f ( x , y , z) wzdłuż krzywej C zapisuje
się następująco:
f ( x , y)dl lub f ( x , y , z) dl
+" +"
C C
Element dl w powyższym zapisie jest fragmentem krzywej całkowania C i ma
charakter długości.
Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej jest podobna do definicji całki
klasycznej. Krzywa całkowania jest podzielona na przedziały C1 , C2 ... Cn (rysunek
1). W każdym przedziale wybrany jest punkt A1 , A2 ... An . Całka krzywoliniowa
niezorientowana definiowana jest jako:
1 Pole skalarne jest funkcją przypisującą każdemu punktowi w przestrzeni wielkość skalarną (liczbę).
2 Pole wektorowe jest funkcją, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje wielkość wektorową.
Andrzej Pawluczuk:  Całki krzywoliniowe -5/15-
Rys. 1: Podział krzywej całkowania na przedziały
n
f ( x , y)dl= lim f ( An)" li
+" "
´(C ) 0
i=1
C
gdzie:
´(C ) jest najwiÄ™kszÄ… dÅ‚ugoÅ›ciÄ… fragmentu Å‚uku C podzielonego na kawaÅ‚ki,
" li jest długością odpowiedniego kawałka łuku C.
Reasumując, jest to suma nieskończenie wielu elementów będących iloczynami
wartości funkcji pola skalarnego i długości odpowiedniego odcinka łuku C
(zdążającej do zera).
W przypadku, gdy krzywa całkowania określona jest w sposób parametryczny (to
znaczy, że są znane równania: x= x(t) i y= y(t) opisujące krzywą całkowania),
to:
" li= (" xi)2+(" yi)2
"
gdzie:
" li  długość i-tego odcinka krzywej całkowania C,
" xi=x(ti+" t)-x(ti)  długość składowej x-owej i-tego odcinka krzywej
całkowania C,
" yi= y(ti+" t)- y(ti)  długość składowej y-owej i-tego odcinka krzywej
całkowania C.
Andrzej Pawluczuk:  Całki krzywoliniowe -6/15-
Początek łuku C odpowiada takiej wartości zmiennej t=a , że x(a) i y(a) są
współrzędnymi początku łuku C. Analogicznie, koniec łuku C odpowiada innej
wartości zmiennej t=b .
Długość odpowiedniego odcinka łuku C jest następująca:
" li= [ x (ti+" t)- x(ti)]2+[ y(ti+"t )- y(ti)]2
"
Mnożąc i jednocześnie dzieląc wyrażenie przez odpowiedni czynnik mamy:
[ x(ti+" t)- x(ti)]2+[ y(ti+" t)- y(ti)]2
"
" li= "t=
" t
[ x(ti+" t)- x(ti)]2+[ y(ti+" t)- y(ti)]2
= "t=
" t2
"
2 2
x(ti+" t)-x(ti) y(ti+" t)- y(ti)
= + " t
( ) ( )
" t " t
"
W przypadku granicznym, gdy " t 0 , poszczególne fragmenty powyższego
wyrażenia redukują się po pochodnych odpowiednich funkcji:
x(t+" t)- x(t) y(t+"t )- y(t)
lim =x ' (t) lim = y ' (t )
" t " t
" t 0 " t 0
lim " l=dl lim " t=dt
"t 0 " t 0
Wyrażenie na długość fragmentu łuku przyjmuje postać:
dl= x ' (t)2+ y ' (t)2 dt
"
gdzie:
dx(t)
x' (t )=  pochodna funkcji x(t) względem zmiennej t (pochodna
dt
składowej w kierunku osi x względem zmiennej będącej parametrem),
dy(t)
y' (t )=  pochodna funkcji y(t) względem zmiennej t (pochodna
dt
składowej w kierunku osi y względem zmiennej będącej parametrem).
W efekcie wyrażenie całki krzywoliniowej można zamienić na:
b
f ( x , y )dl= f ( x(t) , y(t )) x ' (t )2+ y ' (t )2dt
"
+" +"
C a
Powyższa zależność stanowi zamianę całki krzywoliniowej na całkę  klasyczną .
n
Analizując wyrażenie f ( x , y )dl= lim f ( An)" li warto zauważyć,
+" "
´(C ) 0
i=1
C
że w przypadku gdy funkcja f ( x , y) będzie tożsamościowo równa jeden, to całka
Andrzej Pawluczuk:  Całki krzywoliniowe -7/15-
dl będzie stanowić długość krzywej całkowania C.
+"
C
W sytuacji, gdy krzywa całkowania C jest określona za pomocą wyrażenia
y= y( x) , gdzie x"[a , b] (a i b określają końce krzywej całkowania), to można
przekształcić zależność:
b
f ( x , y )dl= f ( x(t) , y(t )) x ' (t )2+ y ' (t )2dt
"
+" +"
C a
do innej postaci. Należy zauważyć, że krzywa całkowania y= y( x) nie jest
sparametryzowana. Nie przeszkadza to wprowadzić parametryzację x= x(t)=t . W
dx(t)
tym przypadku pochodna x' (t )= =1 oraz element dt=dx . Z założenia (
dt
x=t ) granice całkowania pozostają identyczne. Wyrażenie przyjmuje postać:
b
f ( x , y )dl= f ( x , y(x )) 1+ y ' (x)2dx
"
+" +"
C a
W przypadku przestrzeni trójwymiarowej podobne rozważania pozwalają
przekształcić całkę krzywoliniową wzdłuż krzywej C w przestrzeni trójwymiarowej
do  klasycznej całki oznaczonej. Krzywa całkowania jest podzielona na przedziały
Rys. 2: Podział krzywej całkowania na przedziały
Andrzej Pawluczuk:  Całki krzywoliniowe -8/15-
C1 , C2 ... Cn (rysunek 2). W każdym przedziale wybrany jest punkt A1 , A2 ... An .
Całka krzywoliniowa niezorientowana definiowana jest jako:
n
f ( x , y , z )dl= lim f ( An)" li
+" "
´(C ) 0
i=1
C
gdzie:
´(C ) jest najwiÄ™kszÄ… dÅ‚ugoÅ›ciÄ… fragmentu Å‚uku C podzielonego na kawaÅ‚ki,
" li jest długością odpowiedniego kawałka łuku C.
Długość odpowiedniego odcinka łuku C jest następująca:
" li= [ x(ti+" t)- x(ti)]2+[ y(ti+"t )- y(ti)]2+[ z(ti+" t)-z (ti)]2
"
W przypadku granicznym, gdy " t 0 , poszczególne fragmenty powyższego
wyrażenia redukują się po pochodnych odpowiednich funkcji:
x (t+" t)-x (t)
lim =x' (t)
" t
"t 0
y(t+" t)- y(t)
lim = y ' (t)
" t
" t 0
z (t+" t)-z (t)
lim =z ' (t)
" t
" t 0
Wyrażenie na długość fragmentu łuku przyjmuje postać:
dl= x ' (t)2+ y ' (t)2+z ' (t )2 dt
"
gdzie:
dx(t)
x ' (t )=  pochodna funkcji x(t) względem zmiennej t (pochodna
dt
składowej w kierunku osi x względem zmiennej będącej parametrem),
dy(t)
y' (t )=  pochodna funkcji y(t) względem zmiennej t (pochodna
dt
składowej w kierunku osi y względem zmiennej będącej parametrem).
dz(t)
z ' (t )=  pochodna funkcji z (t) względem zmiennej t (pochodna
dt
składowej w kierunku osi z względem zmiennej będącej parametrem).
W przypadku całek krzywoliniowych niezorientowanych prawdziwe są
twierdzenia dotyczące liniowości.
1. Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na łuku gładkim C, to
Andrzej Pawluczuk:  Całki krzywoliniowe -9/15-
( f +g)dl= f dl+ g dl
+" +" +"
C C C
2. Jeżeli funkcja f jest całkowalna na łuku gładkim C, oraz stała k"R , to
(kf )dl=k f dl
+" +"
C C
3. Jeżeli funkcja f jest całkowalna na dowolnym łuku C, który jest złożony ze
zbioru łuków gładkich Ci(1d"id"m) , to
f dl= f dl+ f dl+ f dl+...+ f dl
+" +" +" +" +"
C C1 C2 C2 Cm
Przykład:
Obliczyć wartość całki krzywoliniowej funkcji f (x , y)=x( x+y) po łuku
gładkim będącym okręgiem o środku w punkcie S (0,1) i promieniu R.
Zadanie wymaga określenia krzywej całkowania (krzywa C). Jest to okrąg o
następującym równaniu (zapisany w postaci parametrycznej):
x (t)=R cost , y (t)=1+Rsin t , gdzie 0d"td"2 Ą (cały okrąg).
Zastosowana zostaje zależność:
b
f ( x , y )dl= f ( x(t) , y(t )) x ' (t )2+ y ' (t )2dt
"
+" +"
C a
W tym przypadku jest to:
x( x+ y) dl=
+"
C
2 Ä„
= R cos t (R cost+1+Rsin t ) [( R cost)' ]2+[(1+R sin t)' ]2 dt=
"
+"
0
2 Ä„
= R cos t (R cos t+1+Rsin t ) (-Rsin t )2+( R cos t)2 dt=
"
+"
0
2Ä„
= R cost ( R cost+1+Rsin t ) R2(sin2 t+cos2t) dt=
"
+"
0
2 Ä„
= Rcos t ( R cos t+1+R sin t)R dt=
+"
0
Andrzej Pawluczuk:  Całki krzywoliniowe -10/15-
2 Ä„
= ( R3cos2t+R2cos t+R3sin t cos t)dt=
+"
0
2 Ä„ 2 Ä„ 2 Ä„
= R3cos2t dt+ R2cos t dt+ R3sin t cos t dt
+" +" +"
0 0 0
Poszczególne całki nieoznaczone są następujące (wykorzystane są tożsamości
1
trygonometryczne cos 2Ä…=2 cos2 Ä…-1 Ò! cos2 Ä…= (1+cos2 Ä…) oraz
2
sin 2Ä…=2sin Ä… cosÄ… Ò! sin Ä…cosÄ…=1 sin 2Ä… ):
2
fragment całki:
R3 R3
R3 cos2 t dt=R3 1 (1+cos 2t)dt= dt+ cos2 tdt=
+" +" +" +"
2 2 2
R3 R3
= t+ sin 2 t
2 4
fragment całki: R2cost dt=R2sin t
+"
R3 R3
fragment całki: R3sin t cost dt= sin 2t dt=- cos2 t
+" +"
2 4
Wracając do obliczanej całki uzyskany jest następujący wynik:
2 Ä„ 2Ä„ 2 Ä„
x( x+ y)dl= R3cos2 t dt+ R2 cos t dt+ R3sin t cos t dt=
+" +" +" +"
C 0 0 0
2Ä„ 2Ä„ 2 Ä„
R3 R3 R3
= t+ sin 2t +R2sin t - cos 2t =
( )
2 4 4
#" #" #"
0 0 0
R3 R3 R3 R3 R3 R3
= 2Ä„- 0+ sin 4Ä„- sin 0+R2sin 2Ä„-R2 sin 0- + =R3 Ä„
2 2 4 4 4 4
Przykład:
Obliczyć długość okręgu o środku w punkcie S (a , b) i promieniu R.
W tym przypadku funkcja podcałkowa jest tożsamościowo równa 1 a krzywą
całkowania jest okrąg o równaniu parametrycznym: x (t)=a+R cost oraz
y (t)=b+R sint w zakresie wartości parametru 0d"td"2 Ą (cały okrąg).
Andrzej Pawluczuk:  Całki krzywoliniowe -11/15-
2 Ä„ 2 Ä„
l= dl= x ' (t)2+ y ' (t)2 dt= [(a+R cos t)' ]2+[(b+R sin t)' ]2dt=
" "
+" +" +"
C 0 0
2 Ä„ 2 Ä„
(-Rsin t )2+(R cost)2dt= R2sin2 t+R2cos2t dt=
"
"
+" +"
0 0
2 Ä„ 2 Ä„
2Ä„
= R2(sin2t+cos2 t) dt= R dt=Rt =2Ä„ R-0=2Ä„ R
"
+" +"
#"
0 0
0
Z powyższych obliczeń wynika, że długość krzywej nie zależy od wartości a i b
(nie zależy od położenia środka okręgu), co nie powinno dziwić.
Andrzej Pawluczuk:  Całki krzywoliniowe -12/15-
Całki krzywoliniowe skierowane
Do definicji całki krzywoliniowej skierowanej niezbędne jest określenie funkcji
×
pola wektorowego F ( x , y)=P ( x , y)× +Q( x , y)× (na pÅ‚aszczyz
nie) lub
i j
×
F ( x , y , z)=P ( x , y , z)× +Q( x , y , z)× +R( x , y , z)× (w przestrzeni) oraz
i j k
łuku gładkiego C (określonego na płaszczyz
nie lub w przestrzeni).
Całka skierowana jest całką iloczynu skalarnego wektora wynikającego z pola
× =" × ="
×
× +" × × +" × +"
wektorowego i wektora " l x i y j lub " l x i y j z k ,
który jest styczny do krzywej całkowania. W przypadku rozpatrywania całki w
przestrzeni dwuwymiarowej, wektory te sÄ… pokazane na rysunku 3 (dla przestrzeni
trójwymiarowej zagadnienie jest rozbudowane o dodatkową trzecią oś z wraz z
×
wektorem jednostkowym k skierowanym zgodnie z osiÄ… z).
Rys. 3: Podział krzywej na fragmenty i iloczyn skalarny
Wartość iloczynu skalarnego dwóch wektorów jest określona następująco:
S=× Å"× Ax× +Ay× )Å"(Bx × +By × )=Ax Bx+Ay By
A B=( i j i j
W przypadku całki krzywoliniowej, iloczyn ten jest następujący:
× +" ×
S=[ P( x , y)× +Q (x , y)× ]Å"[" x i y j ]=P( x , y)" x+Q ( x , y)" y
i j
Definicja całki krzywoliniowej skierowanej pola wektorowego
×
F ( x , y)=P ( x , y)× +Q( x , y)× wzdÅ‚uż krzywej C jest podobna do definicji
i j
całki klasycznej. Krzywa całkowania jest podzielona na przedziały C1 , C2 ... Cn
(rysunek 3). W każdym przedziale wybrany jest punkt A1 , A2 ... An . Całka
Andrzej Pawluczuk:  Całki krzywoliniowe -13/15-
krzywoliniowa zorientowana definiowana jest jako:
n
×
F (x , y)× = lim [ Pi( x , y) " xi+Qi( X , y) " yi]
dl
+" "
´(C ) 0
i=1
C
gdzie:
´(C ) jest najwiÄ™kszÄ… dÅ‚ugoÅ›ciÄ… fragmentu Å‚uku C podzielonego na kawaÅ‚ki,
" li jest długością odpowiedniego kawałka łuku C o składowych " xi i " yi
w kierunku odpowiednich osi.
W przypadku granicznym, to jest gdy " li 0 powyższe wyrażenie przekształca
się do następującego:
×
F (x , y)× = P ( x , y)dx+Q( x , y)dy
dl
+" +"
C C
W przypadku gdy krzywa całkowania określona jest w sposób parametryczny
(gdy są znane równania: x= x(t) i y= y(t) opisujące krzywą całkowania), to:
× i=" xi i yi j
× +" ×
"l
Elementy w powyższym wyrażeniu są następujące:
x(ti+" t )- x(ti)
" xi=x(ti+" t)-x(ti) Ò! " xi= " t
" t
y(ti+" t)- y(ti)
" yi= y(ti+" t)- y(ti) Ò! " yi= " t
" t
W przypadku granicznym, gdy " t 0 powyższe związki przekształcają się do
następujących:
x(t+" t)- x(t)
dx= lim " t=x ' (t) dt
" t
" t 0
y(t+" t)- y(t)
dy= lim " t= y ' (t )dt
" t
"t 0
Ostatecznie:
×
F ( x , y)× = P( x , y )dx+Q( x , y)dy=
dl
+" +"
C C
b
= P (x(t ) , y(t)) x ' (t) dt+Q( x(t) , y(t)) y' (t)dt=
+"
a
b
= [ P ( x(t) , y(t )) x ' (t )+Q( x(t) , y(t)) y ' (t)] dt
+"
a
gdzie:
Andrzej Pawluczuk:  Całki krzywoliniowe -14/15-
a i b stanowią wartości parametru t odpowiadające odpowiednio początkowi i
końcowi krzywej całkowania.
Powyższa zależność stanowi zamianę całki krzywoliniowej na całkę  klasyczną .
Analogiczne rozważania w przypadku przestrzeni trójwymiarowej prowadzą do
następującego rezultatu:
×
F ( x , y , z)× = P( x , y , z )dx+Q( x , y , z )dy+R( x , y , z) dz=
dl
+" +"
C C
b
= P (x(t), y (t) , z (t)) x ' (t)+Q (x (t) , y(t) , z(t)) y ' (t)+R(x(t), y (t) , z (t)) z ' (t)]dt
+"[
a
Przykład:
Obliczyć wartość całki krzywoliniowej skierowanej pola wektorowego
×
×
F (x , y)=(x+ y)× +xy j po linii prostej od punktu A(-1,1) do punktu B(0,2) .
i
Zadanie wymaga określenia krzywej całkowania (krzywa C). Jest to odcinek linii
prostej o końcach określonych przez punkt A i B. Równanie prostej w zapisie
parametrycznym przechodzące przez dwa punkty jest następujące:
x(t)=x0+( x1- x0)t y(t)= y0+( y1- y0)t
W tym przypadku jest to:
x(t)=-1+(0+1)t y(t )=1+(2-1)t
x(t)=t-1 y(t)=t+1
Granice całkowania (określające początkową i końcową wartość parametru t)
wynikają ze współrzędnych punktów końcowych. A
atwo ustalić, że linia
dla oraz punkt
x (t)=t-1 , y (t)=t+1 osiÄ…ga punkt A(-1,1) t=0 B(0,2) dla
t=1 .
Zastosowana zostaje zależność:
×
F (x , y )× = P ( x , y)dx+Q( x , y)dy=
dl
+" +"
C C
b
= [ P( x(t ) , y (t)) x ' (t)+Q( x(t) , y(t)) y' (t)]dt
+"
a
gdzie:
krzywa C jest opisana równaniami: x (t)=t-1 , y (t)=t+1 ,
a i b (granice całkowania) wynoszą odpowiednio oraz ,
t=0 t=1
funkcja podcałkowa P (x , y)=x+y=x(t)+ y(t)=t-1+t+1=2t ,
funkcja podcałkowa Q( x , y)=xy=x(t) y(t )=(t-1)(t+1)=t2-1
Andrzej Pawluczuk:  Całki krzywoliniowe -15/15-
pochodna x ' (t)=(t-1)'=1 ,
pochodna y ' (t )=(t+1)'=1
W tym przypadku jest to:
×
F ( x , y)× =
dl
+"
C
1 1
1
1
= (2tÅ"1+(t2-1)Å"1)dt= (t2+2t-1)dt=1 t3+t2-t =
+" +"
3 3
#"
0 0
0
Przykład:
Obliczyć wartość całki krzywoliniowej z poprzedniego przykładu, przy czym
krzywa całkowania będzie skierowana w przeciwną stronę, od punktu B(0,2) do
punktu A(-1,1) .
A
atwo zauważyć, że zachowując dotychczasowe równanie krzywej całkowania
nowe wymagania spowodują zmianę granic całkowania, to jest od do .
t=1 t=0
0
0
×
F (x , y)× = (t2+2t-1)dt=1 t3+t2-t =-1
dl
+" +"
3 3
#"
C 1
1
Innym rozwiązaniem może być określenie równania nowej krzywej, w tym
przypadku jest ono następujące:
x(t)=-t y(t )=2-t
Granice całkowania są od do , funkcja podcałkowa
t=0 t=1
P (x , y)=x+y=x(t)+ y(t)=-t+2-t=2-2t , druga funkcja podcałkowa
Q( x , y)=xy=x(t) y(t )=-t(2-t)=t2-2 t , odpowiednie pochodne x ' (t)=-1
oraz
y ' (t )=-1 .
Finalnie:
×
F ( x , y)× =
dl
+"
C
1 1
= ((2-2t)Å"(-1)+(t2-2t)(-1)) dt= (-t2+4t-2)dt=
+" +"
0 0
1
=-1 t3+2t2-2t =-1+2-2=-1
3 3 3
#"
0
co daje identyczny wynik jak wyżej.