Lista nr 1 EiT, sem.III, studia zaoczne, 2006/07.
Ca podwójna.
lka
1. Obliczyć ca podwójna w prostokacie D = {-4 d" x d" -1; -3 d" y d" -1}:
lke


1 1
"1
a) dx dy, b) dx dy, c) dx dy.
xy (x+y)2 xy
D D D
2. Obliczyć ca podwójna w obszarze ograniczonym liniami, których równania podano obok ca
lke lki:


a) (x + y) dx dy; x = 0, y = 0, x + y = 1; b) ex+y dx dy; x + y = 1, x - y = -1, y = 0;
D D

c) (x + y + 1)2 dx dy; x = 0, x + y = 1, x - y = 1; d) xy dx dy; y = x2, y = 0, x = 1;
D D

e) (x + 1) dx dy; xy = 1, x = 1, x = 2, y = 0; f) dx dy; y = x2, y = 4 - x2;
D D

1 1
g) x dx dy; y = dla x > 0, y = x, y = 0, x = 2; h) x dx dy; y = x2 dla x e" 0, y = x2 dla x e" 0, y = 1;
x 4
D D

i) xy dx dy; y = x2, y = 2 + |x|;
D
3. Obliczyć pole ograniczone liniami:
a) xy = 4, y = x, x = 4; b) y = x2, 4y = x2, y = 4; c) y = x2, 4y = x2, x = ą2;
1 x
d) y2 = 4 + x, x + 3y = 0; e) y = ln x, x - y = 1, y = -1; f) xy = , xy = 2, y = , y = 2x;
2 2
g) x2 + (y - 1)2 = 1, (x - 1)2 + y2 = 1.
4. Stosujac wspó biegunowe, obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami:
lrzedne

a) x2 + y2 = 1; b) x2 + y2 = 1, y = 0 dla y e" 0;
c) x2 + y2 = 1, x = 0 dla x e" 0; d) x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4;
"
e) x2 + y2 = 1, y = x, y = 0 dla x e" 0; f) x2 + y2 = 1, y = x, y = 3x dla x d" 0;
g) x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, y = x, y = -x dla y e" 0.
5. Obliczyć objetość bry ograniczonej powierzchniami:
ly

a) z = x2 + y2, x + y = 4, x = 0, y = 0, z = 0; b) z = x + y + 3, y2 = 3x, x = 3, y = 0, z = 0 (dla y > 0);
c) x2 + y2 = 9, x2 + z2 = 9; d) z2 = xy, x = 0, x = 1, y = 0, y = 1;
e) z = x2 - y2, z = 0, x = 1; f) z2 = xy, x + y = 2;
g) x + y + z = 3, x2 + y2 = 1, z = 0; h) z = 2x, x2 + y2 = 1, z = 0;
i) z = 4 - x2 - y2, z = 0; j) x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 1 (na zewnatrz walca);

k) x2 + y2 - 2x = 0, x2 + y2 + z2 = 4; l) x2 + y2 - 2y = 0, x2 + y2 = z.