ÿþC A AK A P O D W Ó J N A W O B S Z A R Z E N O R M A L N Y M
D e f i n i c j a ( o b s z a r u n o r m a l n e g o )
_ _
O b s z a r d o m k n i t y o k r e [l o n y n i e r ó w n o [c i a m i :
D
jð(ðx )ð£ð y £ðyð (ðx )ð, a £ð x £ð b ,
g d z i e n a z y w a m y o b s z a r e m n o r m a l n y m w z g l d e m o s i O X .
jð, yð ÎðC (ð[ða , b ]ð)ð,
y
y = È( x )
d
P
D
y = Æ( x )
c
a x b
x
_ _
A b y z d e f i n o w a c a Bk f u n k c j i f c i g Be j w o b s z a r z e n o r m a l n y m r o z w a |m y p r o s t o k t P ,
D
´ð
P = [ a , b ] [ c , d ] , g d z i e c : =ð i n f jð(ðx )ð, d : =ð s u p yð (ðx )ð,
x Îð[ða , b ]ð
x Îð[ða , b ]ð
i z d e f i n i u j m y n o w f u n k c j :
ìð
f (ðx , y )ð, g d y (ðx , y )ðÎð D ,
ïð
f * (ðx , y )ð: =ð
íð
ïð
g d y (ðx , y )ðÎð P \ D .
îð0 ,
_ _
P o n i e w a | f ÎðC æð D öð z a t e m f * j e s t c i g Ba , e w e n t u a l n i e p o z a z b i o r e m p u n k t ó w p o Bo |o n y c h n a
çð ÷ð
èð øð
k r z y w y c h y = È( x ) i y = Æ( x ) , t z n . p o z a z b i o r e m m i a r y z e r o . Z a t e m f * j e s t c a Bk o w a l n a w
p r o s t k c i e P .
D e f i n i u j e m y
f (ðx , y )ðd x d y : =ð f * (ðx , y )ðd x d y .
òðòð òðòð
D P
S t o s u j c w z ó r o z a m i a n i e c a Bk i p o d w ó j n e j p o p r o s t o k c i e n a c a Bk i t e r o w a n
o t r z y m u j e m y :
b d b yð (ðx )ð
f * (ðx , y )ðd x d y =ð f * (ðx , y )ðd y =ð f (ðx , y )ðd y .
òðòð òðd x òð òðd x òð
P a c a jð(ðx )ð
S t d
b yð (ðx )ð
f (ðx , y )ðd x d y =ð f (ðx , y )ðd y .
òðòð òðd x òð
D a jð(ðx )ð
U w a g a
B r z e g o b s z a r u D j e s t z b i o r e m m i a r y z e r o , w i c n i e m a z n a c z e n i a c z y g o w Bc z y m y d o o b s z a r u
c a Bk o w a n i a c z y n i e .
1
D e f i n i c j a
D
O b s z a r d o k m n i t y o k r e [l o n y n i e r ó w n o [c i a m i
að(ðy )ð£ð x £ð bð(ðy )ð, c £ð y £ð d ,
að, bð ÎðC (ð[ðc , d ]ð)ð,
g d z i e n a z y w a m y o b s z a r e m n o r m a l n y m w z g l d e m o s i O Y .
y
d
x = ²( y )
D
x = ±( y )
c
x
D
A n a l o g i c z n i e o k r e [l a m y c a Bk f u n k c j i c i g Be j w o b s z a r z e n o r m a l n y m w z g l d e m O Y i
w t e d y
d bð (ðy )ð
f (ðx , y )ðd x d y =ð f (ðx , y )ðd x .
òðòð òðd y òð
D c að (ðy )ð
D e f i n i c j a
O b s z a r d o k m n i t y n a z y w a m y o b s z a r e m r e g u l a r n y m , j e [l i j e s t s u m
D
D =ð D Èð D Èð. . . Èð D
o b s z a r ó w n o r m a l n y c h w z g l d e m o s i O X l u b w z g l d e m o s i O Y , k t ó r e
1 2 n
n i e m a j w s p ó l n y c h p u n k t ó w w e w n t r z n y c h .
D e f i n i c j a
N i e c h - o b s z a r r e g u l a r n y ,
D
f ÎðC (ðD )ð.
W t e d y
n
f (ðx , y )ðd x d y : =ð f (ðx , y )ðd x d y
åð
òðòð òðòð
i =ð1
D D i
U w a g a
P r a w d z i w e s w s z y s t k i e w Ba s n o [c i c a Bk i p o d w ó j n e j , g d y p r o s t o k t P z a s t p i m y o b s z a r e m
r e g u l a r n y m D , t z n .
l i n i o w o [
a d d y w n o [ w z g l d e m o b s z a r u c a Bk o w a n i a
o g r a n i c z o n o [ c a Bk i
2
P r z y k Ba d
O b l i c z y c a Bk p o d w ó j n I =ð
òðòðd x d y , g d z i e D o b s z a r o g r a n i c z o n y k r z y w y m i x =ð 2 y 2
D
i x =ð y 2 +ð1 .
W y z n a c z a m y p u n k t y ( x , y ) p r z e c i c i a p a r a b o l
x =ð 2 y 2
i x =ð y 2 +ð1 :
y =ð ±ð1 ,
x =ð 2 .
i z a z n a c z a m y o b s z a r D
D j e s t o b s z a r e m n o r m a l n y m w z g l d e m O Y ,
-ð1 £ð y £ð1
ìð
D :
íð
2
îð2 y £ð x £ð y 2 +ð1
Z a t e m m o |e m y c a Bk p o d w ó j n z a m i e n i n a c a Bk i t e r o w a n :
y 2 +ð1
1
y 2 +ð1
1 1 1
1 2 4
æð
I =ð x d y =ð (ð1 -ð y 2 )ðd y =ð y -ð y 3 öð =ð 2 -ð =ð
çð ÷ð
òðd y òðd x =ð òð òð
3 3 3
èð øð
-ð1 -ð1
2 y 2 -ð1 2 y 2 -ð1
U w a g a
P o w y |s z y o b s z a r D n i e j e s t n o r m a l n y w z g l d e m O X , a l e m o |n a g o p o d z i e l i n a n a t r z y
o b s z a r y n o r m a l n e w z g l d e m O X i w t e d y
òðòðd x d y =ð òðòðd x d y +ð òðòðd x d y +ð òðòðd x d y =ð
D D 1 D 2 D 3
x x
1 2 2 2 2 -ð x -ð1 1 2 2
=ð x d x +ð 2 x d x -ð 2 x -ð1 d x =ð
òðd x òðd y +ð òðd x òðd y +ð òðd x òðd y =ð 2 òð òð òð
0 1 1 0 1 1
x x -ð1 x
-ð -ð
2 2
1 2 2
éð2 3 ùð éð2 3 ùð éð2 3 ùð
2 2 8 2 2 4 4
=ð 2 ×ð x 2 úð +ð 2 ×ð x 2 úð -ð 2 ×ð ( x -ð1 ) 2 úð =ð +ð -ð -ð =ð
êð3 êð3 êð3
3 3 3 3 3
ëð ûð ëð ûð ëð ûð
0 1 1
T w i e r d z e n i e ( o z a m i a n i e z m i e n n y c h w c a Bc e p o d w ó j n e j )
Dð, D
Z : N i e c h - o b s z a r y r e g u l a r n e w R 2 ,
tð : Dð ¾ðs u r i e k c j a ®ð D ,
¾ð¾ð
¾ð
tð (ðu , v )ð=ð (ðjð(ðu , v )ð, jð(ðu , v )ð)ð d l a ( u , v ) Îð Dð.
T : J e [l i 1 O o d w z o r o w a n i e tð p r z e k s z t a Bc a w z a j e m n i e j e d n o z n a c z n i e ( r ó |n o w a r t o [c i o w o )
w n t r z e o b s z a r u ” n a w n t r z e o b s z a r u D ,
tð : i n t Dð að i n t D
b i j e k c j a
jð, yð ÎðC 1 (ðWð)ð, g d z i e Wð j e s t o b s z a r e m , Wð Éð Dð
2 O
f ÎðC (ðD )ð
3 O
3
4 O j a k o b i a n o d w z o r o w a n i a tð j e s t n i e z e r o w y w o b s z a r z e ”,
J tð
¶ðjð ¶ðjð
éð ùð
êð úð
¶ðu ¶ðv
J tð =ð d e t ¹ð 0 ,
êð úð
êð¶ðyð ¶ðyð úð
êð úð
ëð ¶ðu ¶ðv ûð
t o
f (ðx , y )ðd x d y =ð f (ðjð(ðu , v )ð, yð (ðu , v )ð)ð×ð J T d u d v .
òðòð òðòð
D Dð
y
v
f ( o w a r t o [c i a c h w R )
tð
D
”
d z i e d z i n a o d w z o r o w a n i a f
x
u
tð o k r e [l a p o d s t a w i e n i e w c a Bc e
U w a g a
O d w z o r o w a n i e tð b r z e g u o b s z a r u ” n a b r z e g o b s z a r u D n i e m u s i b y w z a j e m n i e
j e d n o z n a c z n e .
N p . o d w z o r o w a n i e w p r o w a d z a j c e z m i e n n e b i e g u n o w e
x =ð r c o s jð,
ìð
)ð
íðy =ð r s i n jð g d z i e r ³ð 0 , jð Îð[ð0 , 2 pð
îð
n i e j e s t b i j e k t y w n e , b o j e |e l i r = 0 , t o x = y = 0 ; i c a By o d c i n e k I = { ( 0 , Æ) , g d z i e }
jð Îð[ð0 , 2 pð]ð
p r z e c h o d z i w p u n k t ( 0 , 0 ) .
W y z n a c z m y j a k o b i a n o d w z o r o w a n i a w p r o w a d z a j c e g o w s p ó Br z d n e b i e g u n o w e ,
¶ðx
éð¶ðx ùð
êð úð
c o s jð -ð r s i n jð
¶ðjð éð ùð
J =ð d e t êð¶ðr úð =ð d e t êð =ð r
úð
¶ðy ¶ðy
êð úð
ëðs i n jð r c o s jð ûð
êð¶ðr ¶ðjð úð
ëð ûð
U w a g a
Z m i a n a k o l e j n o [c i z m i e n n y c h d a j e z m i a n k o l e j n o [c i k o l u m n m a c i e r z y J a c o b i e g o , a w t e d y
j a k o b i a n z m i e n i a s i n a p r z e c i w n y ,
¶ðx
éð ùð
¶ðx
êð¶ðjð úð
J =ð d e t êð ¶ðr úð =ð -ðr
¶ðy ¶ðy
êð úð
êð¶ðjð ¶ðr úð
ëð ûð
J e d n a k w t w i e r d z e n i u o z a m i a n i e z m i e n n y c h w c a Bc e p o d w ó j n e j w y s t p u j e m o d u B j a k o b i a n u
z a t e m z m i a n a k o l e j n o [c i z m i e n n y c h n i e m a z n a c z e n i a .
4
P r z y k Ba d
ìð
d x d y
ïðx 2 +ð y 2 £ð x .
O b l i c z y
I =ð , g d z i e D :
íð
òðòð 2
2
ïð
(ð1 -ð x 2 -ð y 2 )ð
D
îðx +ð y 2 £ð y
N i e r ó w n o [c i z a d a j c e o b s z a r D
ìðæð 1 öð2 æð 1 öð2
x -ð +ð y 2 £ð
çð ÷ð
ïð çð ÷ð
2 2
ïðèð øð èð øð
íð
2 2
1 1
ïðx +ð æð öð æð öð
2
y -ð £ð
çð ÷ð çð ÷ð
ïð
2 2
èð øð èð øð
îð
1 1 1
öð
o k r e [l a j k o Ba o [r o d k a c h w p u n k t a c h æð , 0 öð, æð0 , o r a z p r o m i e n i a c h .
çð ÷ð çð ÷ð
2 2 2
èð øð èð øð
W y z n a c z a m y p u n k t y w s p ó l n e o k r g ó w
ìð
ïðx 2 +ð y 2 =ð x üð Þð y =ð x
ïð
íð ýð
2
ïð
ïð
îðx +ð y 2 =ð y þð 2 x 2 =ð x
x (ð2 x -ð1 )ð=ð 0
1
ìðx =ð
ïð
x =ð 0
ìð
ïð
2
íðy =ð 0 Úð íð
îð
ïðy =ð 1
ïð
îð 2
y
y = x
1 / 2
D 1 Æ
D
r = r ( Æ)
1 / 2
x
O b s z a r D j e s t s y m e t r y c z n y w z g l d e m p r o s t e j y = x .
P o n a d t o f ( x , y ) = f ( y , x ) z a t e m f u n k c j a j e s t s y m e t r y c z n a w z g l d e m p r o s t e j y = x .
ßð
d x d y
I =ð 2 , g d z i e D j e s t p o Bo w o b s z a r u D .
1
òðòð 2
(ð1 -ð x 2 -ð y 2 )ð
D 1
5
P o w y |s z c a Bk p o d w ó j n m o |e m y z a m i e n i n a c a Bk i t e r o w a n , a n a s t p n i e p o d s t a w i
x =ð r c o s jð
ìð pð
éð0 , ùð
w s p ó Br z d n e b i e g u n o w e
íðy =ð r s i n jð d l a jð Îð êð úð , r Îð[ð0 , r ( jð) ]ð, g d z i e r ( jð) j e s t f u n k c j
2
ëð ûð
îð
o k r e [l a j c o k r g w e w s p ó Br z d n y c h b i e g u n o w y c h .
x 2 +ð y 2 =ð y
Z a t e m z r ó w n a n i a
x 2 +ð y 2 =ð y
o t r z y m u j e m y
r 2 =ð r s i n jð
c z y l i
r =ð s i n jð
ìð pð
éð0 , ùð, r Îð[ð0 , s i n jð]ðüð.
S t d ( jð, r ) Îð Dð1 , g d z i e Dð1 =ð r ) : jð Îð
íð( jð, ýð
êð úð
4
ëð ûð
îð þð
r
r = s i n Æ
”1
À/ 4 À/ 2
Æ
W p r o w a d z a j c w s p ó Br z d n e b i e g u n o w e o k r e [l i l i [m y o d w z o r o w a n i e :
Dð1 b i j e k c j a D 1 ,
®ð
D 1
g d z i e w n t r z e p r z e c h o d z i w e w n t r z e . P o n i e w a | f u n k c j a f j e s t c i g Ba , w i c m o |n a
Dð1
z a s t o s o w a t w i e r d z e n i e o z a m i a n i e z m i e n n y c h w c a Bc e p o d w ó j n e j . S t d
pð pð pð
s i n jð
s i n jð
4 4 4
pð
r d r d jð r d r 1 1 æð 1 öð pð
4
I =ð 2 =ð 2 =ð 2 ×ð d jð =ð
çð ÷ð
òðòð 2 òðd jð òð 2 òð òðçð c o s 2 jð -ð1 ÷ðd jð =ð (ðt g jð -ðjð)ð =ð 1 -ð 4
0
2 1 -ð r 2 0
(ð1 -ð r 2 )ð (ð1 -ð r 2 )ð èð øð
Dð1 0 0 0 0
o p r a c o w a B J a c e k Z a Dk o
6
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Całka podwójna w obszarze normalnymcalka podwojna w obszarze normalnymCałka podwójnacałka podwójna2t6 obszary normalnecałka podwójna201 Całka podwójna w prostokącieMicrosoft Word W19 Calka podwojnacałka podwójna (3)Calka podwójnawięcej podobnych podstron