CAA
KA PODWÓJNA
1. Określić obszar normalny ograniczony liniami:
1
a) x 0, y 1 x, y 2 x
2
1
b) y x, y 2x 3, x 1, x 5
3
1
c) x 2, y x 2, y 1 2x
2
2
d) y 0, y 2 x, y 2 2x
3
1
e) y 0, y 2 x, y 2x 2
2
2. Obliczyć całki
a) (x y)xydxdy , gdzie D jest ograniczony liniami:
D
x 0, x a, y 0, y b , gdzie a,b 0.
y
b) dxdy , gdzie D jest ograniczony liniami: x 1, x e3, y 2, y 6 .
x
D
c) cos(x y)dxdy, gdzie D jest ograniczony liniami: x 0, x , y 0, y
2
D
1
d) dxdy , gdzie D jest ograniczony liniami: y 2x, y 0, x 0, x 3.
10 2x y
D
e) (2x y 1)dxdy , gdzie D jest wnętrzem trójkąta o wierzchołkach A(1,1), B( 5,3), C( 5,5 ).
D
1
f) (2x y)dxdy, gdzie D jest ograniczony liniami: y x, y x, y 1
.
2
D
1 1
g) (x2 1)dxdy , gdzie D jest ograniczony liniami:: y x, y x, y 1
2 2
D
h) (x2 y 1)dxdy, gdzie D jest ograniczony liniami: y x2 , y 1 .
D
1
i) dxdy , gdzie D jest wnętrzem okręgu o równaniu x2 y2 1 .
D x2 y2
j) xy2dxdy , gdzie D {(x, y) : 1 x2 y2 2, x 0} .
D
k) xdxdy , gdzie D {(x, y) : 1 x2 y2 1, x 0, y 0} .
4
D
l) sin x2 y2 dxdy, gdzie D {(x,y): x2 y2 2 } .
D
3. Zamienić kolejność całkowania w całce iteracyjnej.
2 x 1 1
a) dx f (x, y)dy b) dx f (x, y)dy
1
0 0 2x
2
2 3 2 0
c) dy f (x, y)dx d) dy f (x, y)dx
4 y 1 0
4 x2
Odpowiedzi.
0 x 2
1 a) względem Ox:
1
1 x y 2 x
2
1 x 5
b) względem Ox:
1
x y 2x 3
3
2
x 2
5
c) względem Ox:
1
1 2x y x 2
2
d) względem Ox: D D1 D2
0 x 1 1 x 3
D1 : D2 :
2 2
2 2x y 2 x 0 y 2 x
3 3
0 y 2
względem Oy: E :
1 3
1 y x ( 2 y )
2 2
e) względem Ox: D D1 D2
0 x 1 1 x 4
D1 : D2 :
1 1
x 2 y 2x 2 x 2 y 0
2 2
- 2 y 0
względem Oy: E :
1
y 1 x 2y 4
2
1
2 a) a2b2( a b ) b) 48 c) -2
6
2 136
d) (11 22 5 10 64) e)
3
3
4 12
f) g) 4 h) i) 2
5
3
2 4 2
j) ( 4 2 1) k) l ) 3
15 3
2 2 1 1
3 a) dy f (x, y)dx b) dy f (x, y)dx
1
0 y 2
y
2
3 2 0 4 x2
c) dx f (x, y)dy d) dx f (x, y)dy
3 x 1 2 0