CAA
KA PODWÓJNA 1
1. Określić obszar normalny ograniczony liniami:
1 1
(a) x 0, y 1 x, y 2 x (b) y x, y 2x 3, x 1, x 5
2 3
1 2
(c) x 2, y x 2, y 1 2x (d) y 0, y 2 x, y 2 2x
2 3
1 1
(e) y 0, y 2 x, y 2x 2 (f) y 3 x , y (x 2) , y 0
2
4
(g) y 1, y 1 x , y x 1
2. Obliczyć za pomocą całki podwójnej pole obszaru ograniczonego liniami:
2 1
(a) y 2 y x y x
,
3 2
(b) x 1, x 1 y x2 , y 2 x2
1 1
(c) y (4x2 18) y (2x2 36)
9 9
2 5
(d) y 1, y 2x 1, y x
3 3
3. Obliczyć całki
(a) (x y)xydxdy , gdzie D jest ograniczony liniami:
D
x 0, x a, y 0, y b , gdzie a,b 0.
y
(b) dxdy , gdzie D jest ograniczony liniami: x 1, x e3, y 2, y 6 .
x
D
(c) cos(x y)dxdy, gdzie D jest ograniczony liniami: x 0, x , y 0, y
2
D
1
(d) dxdy , gdzie D jest ograniczony liniami: y 2x, y 0, x 0, x 3.
10 2x y
D
(e) (2x y 1)dxdy ,gdzie D jest wnętrzem trójkąta o wierzchołkach
D
A (1,1), B (5,3), C (5,5).
1
(f) (2x y)dxdy, gdzie D jest ograniczony liniami: y x, y x, y 1
.
2
D
1 1
(g) (x2 1)dxdy , gdzie D jest ograniczony liniami:: y x, y x, y 1
2 2
D
(h) (x2 y 1)dxdy, gdzie D jest ograniczony liniami: y x2 , y 1 .
D
4. Zamienić kolejność całkowania w całce iteracyjnej.
1 1
2 x 1 1
(a) dx f (x, y)dy (b) dx f (x, y)dy (c) dx f (x, y)dy
1
0 0 2x 1
x2
2
2 2 y
2 0 2 3
(d) dy f (x, y)dx (e) dy f (x, y)dx (f) dy f (x, y)dx
0 4 y 1
0 0
4 y2
x
1
(g) dx f (x, y)dy
1 0
Odpowiedzi.
1 x 5
0 x 2
1 (a) względem zm. x: (b) względem zm. x:
1 1
x y 2x 3
1 x y 2 x
2 3
2
x 2
5
(c) względem zm. x:
1
1 2x y x 2
2
(d) względem zm. x: D D1 D2
0 x 1 1 x 3
D1 : D2 :
2 2
2 2x y 2 x 0 y 2 x
3 3
0 y 2
względem zm. y: E :
1 3
1 y x ( 2 y )
2 2
(e) względem zm. x: D D1 D2
0 x 1 1 x 4
D1 : D2 :
1 1
x 2 y 2x 2 x 2 y 0
2 2
- 2 y 0
względem zm. y: E :
1
y 1 x 2y 4
2
(f) względem zm. x: D D1 D2
2 x 2
2 x 3
D1 : D2 :
1
0 y (x 2)
0 y 3 x
4
-2 y 3
względem zm. y: E :
4y 2 x 3 y
(g) względem zm. x: D D1 D2
0 x 1 1 x 2
D1 : D2 :
1 x y 1 x 1 y 1
0 y 1
względem zm. y: E :
1 y x y 1
8
2. (a) 7 (b) (c) 8 (d) 2
3
1 2
3 (a) a2b2( a b ) (b) 48 (c) -2 (d) (11 22 5 10 64)
6
3
136 4 10 12
(e) (f) (g) (h)
3 3 5
3
y
1
2 2 1 1
4 (a) dy f (x, y)dx (b) dy f (x, y)dx (c) dy f (x, y)dx
1
0 y 2
y 0 y
2
2 2 x
0 4 x2 3 2
(d) dx f (x, y)dy (e) dx f (x, y)dy (f) dx f (x, y)dy
2 0 3 x 1
0 0
1 y 1
(g) dy[ f (x, y)dx f (x, y)dx]
0 1 y