CAA
KA PODWÓJNA W PROSTOK
CIE
Niech
P =� {�(�x, y)�: a Ł� x Ł� b,c Ł� y Ł� d}�
f : P �� R
f  funkcja ograniczona
y
d
P1
P P3 P
2
Pk
Pn
c
b
a x
D�n
Tworzymy następujący podział prostokąta P i oznaczamy .
Pk
" prostokąt P dzielimy na n prostokatów o polach D�s� , k =�1,..., n
k
Pk
" w każdym z prostokatów wybieramy punkt Ak(�xk , yk )��� Pk
" następnie tworzymy sumę całkową
n
Sn =� f (�xk , yk )��� D�s�
�� k
k =�1
Wprowadzamy oznaczenia
d  długość przekątnej prostokąta P
k k
d�k  średnica podziału , gdzie jest największą długością przekątnej;
D�n d�k
d�n :=� mk Ł�n dk
ax
1Ł�
Tworzymy ciąg podziałów prostokąta P.
(�D�n)�
n��N
Definicja
Ciąg nazywamy ciągiem normalnym podziałów, jeśli odpowiadający mu ciąg średnic
(�D�n)�
n��N
dąży do 0, tzn.
s�n ��n��Ą��0
��
��
Definicja (całki podwójnej)
Jeśli dla każdego ciągu normalnego podziałów prostokąta P ciąg sum całkowych jest
(�Sn)�
n��N
zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów A , to granicę tę
k
f (�x, y)�
nazywamy całką podwójną funkcji w prostokącie P i oznaczamy
f (�x, y)�ds�
����
P
Zatem
f (�x, y)�ds� :=� lim0 Sn
.
����
d�n ��
P
1
Uwaga
f (�x, y)�
Ograniczoność funkcji jest warunkiem koniecznym istnienia całki, lecz nie jest to
warunek wystarczający.
Twierdzenie (o całkowalności funkcji dwóch zmiennych)
f (x, y)
Z:  funkcja ograniczona w prostokącie P oraz ciągła poza zbiorem miary 0,
tzn. poza zbiorem punktów, który można pokryć skończoną liczbą prostokątów
o dowolnie małej sumie pól (mniejszej niż �).
T: f jest całkowalna w prostokącie P.
Wniosek
Z twierdzenia wynika:
1��
f  ciągła w P z wyjątkiem punktów położonych na krzywej, będącej wykresem
funkcji
y =� j�(x), gdzie j� ��C(�[�a,b]�)�
��
f  całkowalna w P
y
Uzasadnienie:
{�(�x,j�(�x)�)�: x ��[�a,b]�}�
zbiór jest zbiorem miary
P
y=Ć(x)
zero (można go pokryć skończoną liczbą
prostokątów o dowolnie małych polach)
x
b
a
2�� f  ciągła w P z wyjątkiem punktów położonych na krzywej, będącej wykresem
funkcji x =�y� (y), gdzie y� ��C(�[�c, d]�)�
��
f  całkowalna w P
y
c
P
x=�(y)
d
x
Wniosek
Funkcja może nie być ciągła na brzegu prostokąta, a mimo to będzie całkowalna.
opracował Mateusz Targosz
2