1
180%=TT
RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.
CAA
KA PODWÓJNA.
Def. Rozważmy w przestrzeni euklidesowej R3 bryłę V ograniczoną
od góry powierzchnią S: z = f(x,y), z boków powierzchnią walcową
o tworzących równoległych do osi OZ i z dołu obszarem płaskim D
na płaszczyz
nie OXY.
.................................................................................................................................
Niech domknięty obszar D �" R2 daje się opisać w sposób następujący:
D = (x, y) " R2 : a d" x d" b , �(x) d" y d" �(x), �, � " C0([a, b]; R)
oraz �(x) < y < �(x) dla x " (a, b)
Obszar taki nazywać będziemy obszarem normalnym względem osi OX.
.................................................................................................................................
Obszar domknięty D będący sumą skończonej ilości obszarów normalnych
(względem osi OX lub OY ), które nie mają wspólnych punktów
wewnętrznych , nazywamy obszarem regularnym w przestrzeni R2 .
.................................................................................................................................
Analogicznie okreslamy obszar D�" R2 normalny względem osi OY.
....................................................................................
Niech domknięty obszar daje się opisać w sposób następujący:
D = (x, y) " R2 : c d" x d" d , g(y) d" x d" h(y), g, h " C0([c, d]; R)
oraz g(y) < x < h(y) dla y " (c, d)
.................................................................................................................................
2
Def.
Niech f(x, y) będzie funkcją określoną i ograniczoną w regularnym obszarze
domkniętym D.
.....................
Obszar D dzielimy na n obszarów oznaczonych D1,...Dn
o polach odpowiednio "p1, ..."pn .
Podział ten oznaczmy symbolicznie przez "n.
.....................
Dla ustalonego podziału niech di oznacza średnicę zbioru Di .
Średnicą podziału "n nazywamy liczbę �n = max di .
1d"id"n
........................
Rozważmy ciąg podziałów {"n}n"N obszaru D na podobszary D1,...Dn takim,
że lim �n = 0 .
n"
Taki ciąg podziałów obszaru D na podobszary nazywamy ciągiem normalnym
podziałów.
Wybierzmy w dowolny sposób różne punkty (xi,yi)" Di. .
n
Utwórzmy sumę postaci �n = f(xi, yi) �" "pi .
Ł
i=1
Nazywać ją będziemy sumą całkową f(x,y) w obszarze D.
.......................................
Weżmy następnie
n
lim �n = lim f(xi, yi) �" "pi
Ł
n" n"
i=1
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów obszaru D,
ciąg sum całkowych {�n}n"N
odpowiadający tym podziałom,
dąży do tej samej granicy właściwej,
niezależnie od wyboru punktów (xi,yi) i sposobu podziału obszaru D,
to granicę tę nazywać będziemy całką podwójną funkcji f w obszarze D
i oznaczać symbolem
f(x, y) dxdy.
+" +"
D
.........................................................................................................................
Jeżeli całka powyższa istnieje, to mówić będziemy,
że funkcja f(x,y) jest całkowalna w sensie Riemana w obszarze D
lub że funkcja f (x,y) jest całkowalna w obszarze D.
.........................................................................................................................
Funkcję f(x,y) nazywamy funkcją pocałkową, (x,y) nazywamy zmiennymi
całkowania, D obszarem całkowania.
.................................................................................................................................
3
Tw.
Jeżeli funkcja f(x,y) jest ciągła w obszarze domkniętym,
to jest całkowalna w tym obszarze.
...................................................................................................................................
Tw. O wartości średniej w regularnym obszarze domkniętym D.
Jeżeli funkcja f(x,y) jest ciągła w regularnym obszarze domkniętym D,
to istnieje punkt (xo,yo) " D taki, że
f(x, y) dxdy = f(xo, yo) �" D
+" +"
D
...............................................................................................................
4
Zamiana całki podwójnej na iterowaną.
.........................
Jeżeli funkcja f(x,y) jest ciągła i ograniczona w obszarze domkniętym D
normalnym względem osi OX,
b �ł�ł�(x) łł łł
�ł�ł śł śł
to f(x, y) dxdy = f(x, y)śłdyśłdx.
�ł�ł
+" +" +" +"
�ł�ł�(x) śł śł
a
D
�ł�ł �ł �ł
......................................................................................................................
Jeżeli funkcja f(x,y) jest ciągła i ograniczona w obszarze domkniętym
normalnym względem osi OY,
to
�ł�łh(y) łł łł
d
�ł�ł śł śł
f(x, y) dxdy = f(x, y)śłdxśłdy.
�ł�ł
+" +" +" +"
�ł�łg(y) śł śł
c
D
�ł�ł �ł �ł
=============================================================
W związku z powyższym twierdzeniem w dalszym ciągu na nasz użytek
ograniczać się będziemy do następujących stwierdzeń:
Niech f(x,y) będzie funkcją rzeczywistą dwóch zmiennych określoną na obszarze do-
mkniętym , normalnym względem osi OX lub odpowiednio względem osi OY.
.................................................................................................................................
Całkę podwójną funkcji F, ciągłej na obszarze normalnym względem osi OX lub od-
powiednio względem osi OY, możemy więc zdefiniować następująco:
b �ł�ł�(x) łł łł
df
�ł�ł śł śł
f(x, y) dxdy = f(x, y)śłdyśłdx. (1)
�ł�ł
+" +" +" +"
�ł�ł śł śł
a
D
�ł�ł�(x) �ł �ł
�ł�łh(y) łł łł
d
df
�ł�ł śł śł
f(x, y) dxdy = f(x, y) dx dy (2).
�ł�ł śł śł
+" +" +" +"
�ł�łg(y) śł śł
c
D
�ł�ł �ł �ł
5
Tw.
Całka podwójna funkcji F (x,y), na obszarze regularnym domkniętym w R2
będącym sumą skończonej liczby obszarów normalnych
(względem osi OX lub OY),
które nie mają wspólnych punktów wewnętrznych, jest sumą całek podwójnych
tej funkcji na poszczególnych obszarach normalnych.
.................................................................................................................................
Wybrane własności całki podwójnej.
.................................................................................
Niech
F, G " C0(D, R), ą, � " R, D = D1 *" D2, intD1 )" intD2 = "(iloczyn wnętrz),(2)
to
+" +"[ą F(x, y) + � G(x, y)] dxdy =
D
= ą F(x, y) dxdy + � G(x, y) dxdy (3)
+" +" +" +"
D D
F(x, y) dxdy + F(x, y) dxdy, (4)
+" +"F(x, y) dxdy =+" +" +" +"
D D1 D2
(5)
+" +"F(x, y) dxdy e" 0 dla F(x, y) e" 0 na D .
D
6
Tw. ( o zamianie zmiennych w całce podwójnej).
Jeżeli
1. odwzorowanie
x = x(u,v), y = y(u,v) przekształca wzajemnie jednoznacznie
wnętrze " obszaru regularnego " na wnętrze obszaru regularnego D,
2. funkcje x, y " C1( " ; R),
3. funkcja F " C0( D ; R),
"x "x
"u "v
4. jakobian J(u,v) = `" 0 na obszarze " ,
"y "y
"u "v
to
F(x(u, v), y(u, v)) �" J(u, v) �" du �" dv .
+" +"F(x, y) dxdy = +" +"
"
D
(6)
..................................................................................
W przypadku, gdy obszar D jest kołem, pierścieniem lub wycinkiem jednej z tych figur,
a także i w niektórych innych przypadkach, wygodnie jest na ogół przy obliczaniu całki
podwójnej wprowadzić współrzędne biegunowe
x = r cos �, y = r sin �.
W tym przypadku jakobian przybiera postać:
"x "x
"r "�
cos � -r cos �
J(r,�) = = = r
"y "y
sin � r cos �
"r "�
i wzór (6) ma postać
F(r cos �, r sin �) �" r �" dr �" d�.
+" +"F(x, y) dxdy = +" +"
"
D
=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.==.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=..==.=..=
7
Zastosowania całki podwójnej.
1. Obliczanie pola obszaru płaskiego .
Jeżeli D jest obszarem regularnym , D �" R2 , to
D = dxdy .
+" +"
D
2. Obliczanie objętości brył.
Jeżeli F " C0(D; R), D �" R2 jest obszarem regularnym i F(x, y) e" 0, to
objętość bryły V = (x, y, z) " R3 : (x, y) " D '" 0 d" z d" F(x, y) wyraża wzór:
V = F(x, y) dxdy
+" +"
D
3. Obliczanie pola powierzchni .
Jeżeli D �" R2 jest obszarem regularnym , płat powierzchniowy
S = (x, y, z) " R3 : (x, y) " D '" z = f(x, y), f " C1(D; R) ,
to pole tego płata powierzchniowego wyraża wzór:
�łfx(x, 2 �łfy(x, 2
S = 1 + y)łł + y)łł dxdy .
+" +" �ł �ł �ł �ł
D
4. Obliczanie masy obszaru.
Jeżeli F(x,y) jest gęstością powierzchniową masy obszaru regularnego
D �" R2 i F " C0(D; R), to masę obszaru D wyraża wzór:
m = F(x, y) dxdy
+" +"
D
5. Obliczanie momentów statycznych oraz momentów bezwładności.
Jeżeli F(x,y) jest gęstością powierzchniową masy obszaru regularnego
D �" R2 i F " C0(D; R), to momenty statyczne Mx (względem osi OX)
i My (względem osi Oy) wyrażają wzory:
Mx = y F(x, y) dxdy
+" +"
D
oraz
My =
+" +"x F(x, y) dxdy ,
D
zaś momenty bezwładności (względem osi OX) , By (względem osi OY)
Bx
8
oraz Bz względem osi OZ, wyrażają wzory:
Bx = y2 F(x, y) dxdy ,
+" +"
D
By = x2 F(x, y) dxdy ,
+" +"
D
Bz =
+" +"(x2+ y2) F(x, y) dxdy .
D
6. Obliczanie środka ciężkości.
Współrzędne �, � środka ciężkości S(�, �) masy obszaru D �" R2
wyrażają wzory:
My
Mx
� = , � = .
m m
9
Przykład.
Obliczmy objętość bryły V �" R3, ograniczonej częściami powierzchni
ńł
S1 : z = x2 + y2 �ł
�ł �ł
�ł �ł
a) ,
�ł żł
S2 : x2 + y2 + 2y = 0
�ł �ł
�ł �ł
S3 : z = 0
ół �ł
ńł
S1 : z = x2 + y2 �ł
�ł �ł
�ł �ł
b)
�ł żł
S2 : x2 + y2 - 2x = 0
�ł �ł
�ł �ł
S3 : z = 0
ół �ł
z
y
x
ńł
- -2y - y2 d" x d" -2y - y2 �ł
�ł �ł
�ł �ł
a) P(x, y, z) " V �! ,
�ł żł
-2 d" y d" 0
�ł �ł
�ł �ł
0 d" z d" x2 + y2 �ł
ół
Zatem
�łx2 + y2łłdxdy,
V =
+"+" �ł �ł
D
gdzie
ńł ńł
�ł �ł �ł�ł
- -2y - y2 d" x d" -2y - y2 �ł�ł
D = y) " R2 : .
�ł(x, �ł żłżł
�ł �ł �ł�ł
-2 d" y d" 0
ół ół �ł�ł
y
x
Ponieważ obszar D jest normalny względem osi OY , zatem
10
�ł łł
-2y-y2
0
�ł śł
�łx2 + y2łłdxdy = �ł �łx2 + y2łłdxśłdy=
V =
�ł śł
+"+" �ł �ł +" +" �ł �ł
�ł śł
�ł śł
-2
D
�ł- -2y-y2 �ł
0 �ł
-2y-y2 łł
�ł łł
�ł śł
x3
= + x �" y2śł
�ł�ł śłdy=
+"
3
�ł śł
�ł �ł- -2y-y2
-2
�ł �ł
3 3
�ł �ł łł �ł łł łł
�ł �ł- -2y-y2 �ł
0 -2y-y2 �ł
�ł �ł śł �ł śł śł
�ł łł �ł łł
= =
�ł �ł
+ -2y - y2 �ł �" y2 - �ł
+ -2y - y2 �ł �" y2 dy
�ł �ł śł śł śł
+"
�ł łł �ł- łł
3 3
�ł �ł śł �ł śł śł
-2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
3
�ł łł
�ł
0 -2y-y2 �ł �ł
�ł śł
�ł łł
=2 + -2y - y2 �ł �" y2śłdy
�ł
+"
�ł łł
3
�ł śł
-2
�ł �ł
Wobec złożonej postaci wyrażenia podcałkowego zastosujmy twierdzenie
o zamianie zmiennych w całce podwójnej:
x = r cos �
,
y = r sin �
wówczas
x2 + y2 + 2y d" 0
0 d" r d" -2 sin �
r2 + 2r sin � d" 0, dla .
Ą d" � d" 2Ą
Zatem
2Ą
�ł-2 sin � łł
2Ą sin �
�łx2 + y2łłdxdy = �ł �łr3łłdrśłd� = �ł r4 łł-2
d�=
�ł śł �ł śł
+"+" +" +"
�ł �ł �ł �ł +"
4
�ł śł
�ł �ł0
Ą
D 0 Ą
�ł �ł
2Ą 2Ą 2Ą
[-2 sin � 1 - cos 2�
]4
�ł łł2
= d� = 4 sin4� d� = 4 d� =
�ł śł
+" +" +"
4 2
�ł �ł
Ą Ą Ą
2Ą 2Ą
1 + cos 4�
�ł1 łł
�ł1
= - 2 cos 2� + cos22�łł d�= - 2 cos 2� + d� =
�ł śł
+" �ł �ł +"
2
�ł �ł
Ą Ą
sin 4� ( )
�ł łł2Ą sin 4�"2Ą
�ł łł
� + 2Ą +
�ł śł �ł śł
4 4
=�ł� - sin 2� + = 2Ą ( ) +
śł �ł - sin 2 �" 2Ą +
śł
2 2
�ł śł �ł śł
�ł �ł
�ł �łĄ
11
sin (4�"Ą)
�ł łł
Ą +
�ł śł
4 2Ą Ąśł Ą Ą
łł łł
_ - sin (2 �" Ą) + =�ł2Ą + -�łĄ + = Ą - = .
�łĄ śł �ł
�ł 2 �ł �ł �ł
2 2 2 2
�ł śł
�ł �ł
Ćwiczenia. Oblicz całki:
ńł �ł
obszar ograniczonyliniami
1. ex dxdy , gdzie D =
�ł żł,
+" +"
x = o, y = 2, x = ln y
ół �ł
D
ńł �ł
obszar ograniczonyliniami
2. 2ydxdy, gdzie D = ,
�ł żł
+" +"
y = x , y = 0, x + y = 2
ół �ł
D
�łx2 + y2łł dxdy, gdzie D = ńł obszar ograniczony linia �ł
3. ,
�ł żł
+" +"
�ł �ł
x2 + y2 = 4
ół �ł
D
ńł �ł
obszar ograniczony linia
4. 2 dxdy, gdzie D = ,
�ł żł
+" +"
x2 + y2 = 2x
ół �ł
D
ńł �ł
obszar ograniczony linia
5. dxdy, gdzie D = ,
�ł żł
+" +"
x2 + y2 = -2y
ół �ł
D
ńł �ł
obszar ograniczony linia
6. ,
dxdy, gdzie D =
�ł żł
+" +"
x2 + y2 = -2x + 2y
ół �ł
D
ńł �ł
obszar ograniczony linia
7. x2 + y2 dxdy, gdzie D = ,
�ł żł
+" +"
x2 + y2 d" 2
ół �ł
D
ńł �ł
obszar ograniczony linia
8. 1 + x2 + y2 dxdy, gdzie D = ,
�ł żł
+" +"
x2 + y2 d" 4
ół �ł
D
ńł �ł
obszar ograniczony linia
9. x2 + y2 dxdy, gdzie D =
�ł żł,
+" +"
x2 + y2 d" 2x
ół �ł
D
ńł �ł
obszar ograniczony linia
1
10. dxdy, gdzie D = ,
�ł żł
+" +"
x2 + y2 d" 9
ół �ł
x2 + y2
D
ńł �ł
obszar ograniczony linia
1
11. dxdy, gdzie D = .
�ł żł
+" +"
x2 + y2 d" 1
ół �ł
1 + x2 + y2
D
12
13