Całka podwójna w obszarze normalnym


CAAKA PODWÓJNA W OBSZARZE NORMALNYM
Definicja (obszaru normalnego)
__
Obszar domknięty określony nierównościami:
D
j(x)Ł y Ły (x), a Ł x Ł b,
gdzie nazywamy obszarem normalnym względem osi OX.
j,y C([a,b]),
y
y=(x)
d
P
D
y=Ć(x)
c
a x b
x
__
Aby zdefinować całkę funkcji f ciągłej w obszarze normalnym rozważmy prostokąt P,
D

P=[a,b] [c,d], gdzie c := inf j(x), d := sup y (x),
x[a,b]
x[a,b]
i zdefiniujmy nową funkcję:

f (x, y), gdy (x, y) D,

f *(x, y):=


gdy (x, y) P \ D.
0,
__
Ponieważ f Cć D zatem f* jest ciągła, ewentualnie poza zbiorem punktów położonych na

Ł ł
krzywych y=(x) i y=Ć(x), tzn. poza zbiorem miary zero. Zatem f* jest całkowalna w
prostkącie P.
Definiujemy
f (x, y)dxdy := f *(x, y)dxdy.

D P
Stosując wzór o zamianie całki podwójnej po prostokącie na całkę iterowaną
otrzymujemy:
b d b y (x)
f *(x, y)dxdy = f *(x, y)dy = f (x, y)dy.
dx dx
P a c a j(x)
Stąd
b y (x)
f (x, y)dxdy = f (x, y)dy.
dx
D a j(x)
Uwaga
Brzeg obszaru D jest zbiorem miary zero, więc nie ma znaczenia czy go włączymy do obszaru
całkowania czy nie.
1
Definicja
D
Obszar dokmnięty określony nierównościami
a(y)Ł x Ł b(y), c Ł y Ł d,
a, b C([c, d]),
gdzie nazywamy obszarem normalnym względem osi OY.
y
d
x=(y)
D
x=ą(y)
c
x
D
Analogicznie określamy całkę funkcji ciągłej w obszarze normalnym względem OY i
wtedy
d b (y)
f (x, y)dxdy = f (x, y)dx.
dy
D c a (y)
Definicja
Obszar dokmnięty nazywamy obszarem regularnym, jeśli jest sumą
D
D = D D ... D
obszarów normalnych względem osi OX lub względem osi OY, które
1 2 n
nie mają wspólnych punktów wewnętrznych.
Definicja
Niech - obszar regularny,
D
f C(D).
Wtedy
n
f (x, y)dxdy := f (x, y)dxdy


i=1
D Di
Uwaga
Prawdziwe są wszystkie własności całki podwójnej, gdy prostokąt P zastąpimy obszarem
regularnym D, tzn.
 liniowość
 addywność względem obszaru całkowania
 ograniczoność całki
2
Przykład
Obliczyć całkę podwójną I =
dxdy, gdzie D  obszar ograniczony krzywymi x = 2y2
D
i x = y2 +1.
Wyznaczamy punkty (x,y) przecięcia parabol
x = 2y2
i x = y2 +1:
y = ą1,
x = 2.
i zaznaczamy obszar D
D jest obszarem normalnym względem OY,
-1 Ł y Ł 1

D :

2
2y Ł x Ł y2 +1
Zatem możemy całkę podwójną zamienić na całkę iterowaną:
y2 +1
1
1 y2 +1 1 1
1 2 4
ć
I = x dy = (1- y2)dy = y - y3 = 2 - =

dy dx =
3 3 3
Ł ł
-1 -1 -1
2 y2
2 y2 -1
Uwaga
Powyższy obszar D nie jest normalny względem OX, ale można go podzielić na na trzy
obszary normalne względem OX i wtedy
dxdy = dxdy + dxdy + dxdy =
D D1 D2 D3
x x
1 2 2 2 2 - x-1 1 2 2
= x dx + 2 x dx - 2 x -1 dx =
dx dy + dx dy + dx dy = 2
0 1 1 0 1 1
x x-1 x
- -
2 2
1 2 2
2 3 ł 2 3 ł 2 3 ł
2 2 8 2 2 4 4
= 2 x2 ś + 2 x2 ś - 2 (x -1)2 ś = + - - =
ę3 ę3 ę3
3 3 3 3 3

0 1 1
3
Twierdzenie (o zamianie zmiennych w całce podwójnej)
D, D
Z: Niech - obszary regularne w R2,
t : D suriekcja D,


t (u,v)= (j(u,v),j(u,v)) dla (u,v) D.
T: Jeśli 1O odwzorowanie t przekształca wzajemnie jednoznacznie (różnowartościowo)
wnętrze obszaru " na wnętrze obszaru D,
t : int D a int D
bijekcja
j,y C1(W), gdzie W jest obszarem, W D
2O
f C(D)
3O
4O jakobian odwzorowania t jest niezerowy w obszarze ",
Jt
śj śj
ł
ę ś
śu śv
Jt = det ą 0,
ę ś
ęśy śy ś
ę ś
śu śv
to
f (x, y)dxdy = f (j(u,v),y (u,v)) JT dudv.

D D
y
v
f (o wartościach w R)
t
D
"
dziedzina odwzorowania f
x
u
t określa podstawienie w całce
4
Uwaga
Odwzorowanie t brzegu obszaru " na brzeg obszaru D nie musi być wzajemnie
jednoznaczne.
Np. odwzorowanie wprowadzające zmienne biegunowe
x = r cosj,

)
y = r sinj gdzie r ł 0, j [0,2p

nie jest bijektywne, bo jeżeli r=0, to x=y=0; i cały odcinek I={(0, Ć), gdzie }
j [0,2p]
przechodzi w punkt (0,0).
Wyznaczmy jakobian odwzorowania wprowadzającego współrzędne biegunowe,
śx
śx ł
ę ś
cosj - r sinj
śj ł
J = detęśr ś = detę = r
ś
śy śy
ę ś
sinj r cosj
ęśr śj ś

Uwaga
Zmiana kolejności zmiennych daje zmianę kolejności kolumn macierzy Jacobiego, a wtedy
jakobian zmienia się na przeciwny,
śx
ł
śx
ęśj ś
J = detę śr ś = -r
śy śy
ę ś
ęśj śr ś

Jednak w twierdzeniu o zamianie zmiennych w całce podwójnej występuje moduł jakobianu
zatem zmiana kolejności zmiennych nie ma znaczenia.
5
Przykład
2

dxdy
x + y2 Ł x.
Obliczyć
I = , gdzie D :

2
2

(1- x2 - y2)
D
x + y2 Ł y
Nierówności zadające obszar D
ć 1 2 ć 1 2
x - + y2 Ł


2 2
Ł ł Ł ł

2 2
1 1
x + ć ć
2
y - Ł


2 2
Ł ł Ł ł

1 1 1

określają koła o środkach w punktach ć ,0,ć0, oraz promieniach .

2 2 2
Ł ł Ł ł
Wyznaczamy punkty wspólne okręgów

x2 + y2 = x y = x

ż
2


x + y2 = y 2x2 = x
x(2x -1)= 0
1
x =

x = 0


2
y = 0

y = 1

2
y
y=x
1/2
D1 Ć
D
r=r(Ć)
1/2
x
Obszar D jest symetryczny względem prostej y=x.
Ponadto f(x,y)=f(y,x) zatem funkcja jest symetryczna względem prostej y=x.

dxdy
I = 2 , gdzie D jest połową obszaru D.
1
2
(1- x2 - y2)
D1
6
Powyższą całkę podwójną możemy zamienić na całkę iterowaną, a następnie podstawić
x = r cosj
p
0, ł
współrzędne biegunowe
y = r sinj dla j ę ś , r [0, r(j)], gdzie r(j) jest funkcją
2


określającą okrąg we współrzędnych biegunowych.
x2 + y2 = y
Zatem z równania
x2 + y2 = y
otrzymujemy
r2 = r sinj
czyli
r = sinj
p
0, ł, r [0,sinj].
Stąd (j, r) D1, gdzie D1 = r) :j
(j, ż
ę ś
4


r
r=sinĆ
"1
Ą/4 Ą/2
Ć
Wprowadzając współrzędne biegunowe określiliśmy odwzorowanie:
D1 bijekcja D1,

D1
gdzie wnętrze przechodzi we wnętrze . Ponieważ funkcja f jest ciągła, więc można
D1
zastosować twierdzenie o zamianie zmiennych w całce podwójnej. Stąd
p p p
sinj
sinj
4 4 4
p
rdrdj rdr 1 1 ć 1 p
4
I = 2 = 2 = 2 dj =

2 dj 2 cos2 j -1dj = (tgj -j) = 1- 4
0
2 1- r2 0
(1- r2) (1- r2) Ł ł
D1 0 0 0 0
opracował Jacek Zańko
7


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
4 Całka podwójna w obszarze normalnym
calka podwojna w obszarze normalnym
Całka podwójna
całka podwójna2
t6 obszary normalne
całka podwójna2
01 Całka podwójna w prostokącie
Microsoft Word W19 Calka podwojna
całka podwójna (3)
Calka podwójna

więcej podobnych podstron