CAA
KA PODWÓJNA W OBSZARZE NORMALNYM
Definicja (obszaru normalnego)
__
Obszar domknięty określony nierównościami:
D
j�(�x)�Ł� y Ł�y� (�x)�, a Ł� x Ł� b,
gdzie nazywamy obszarem normalnym względem osi OX.
j�,y� ��C(�[�a,b]�)�,
y
d y=�(x)
P
D
y=Ć(x)
c
a x b
x
__
Aby zdefinować całkę funkcji f ciągłej w obszarze normalnym rozważmy prostokąt P,
D
��
P=[a,b] [c,d], gdzie c :=� inf j�(�x)�, d :=� sup y� (�x)�,
x��[�a,b]�
x��[�a,b]�
i zdefiniujmy nową funkcję:
��
f (�x, y)�, gdy (�x, y)��� D,
��
f *(�x, y)�:=�
��
�� (�x,
��0, gdy y)��� P \ D.
__
Ponieważ f ��Cć� D�� zatem f* jest ciągła, ewentualnie poza zbiorem punktów położonych na
�� ��
Ł� ł�
krzywych y=�(x) i y=Ć(x), tzn. poza zbiorem miary zero. Zatem f* jest całkowalna w
prostkącie P.
Definiujemy
f (�x, y)�dxdy :=� f *(�x, y)�dxdy.
���� ����
D P
Stosując wzór o zamianie całki podwójnej po prostokącie na całkę iterowaną
otrzymujemy:
b d b y� (�x)�
f *(�x, y)�dxdy =� f *(�x, y)�dy =� f (�x, y)�dy.
���� ��dx�� ��dx ��
P a c a j�(�x)�
Stąd
b y� (�x)�
f (�x, y)�dxdy =� f (�x, y)�dy.
���� ��dx ��
D a j�(�x)�
Uwaga
Brzeg obszaru D jest zbiorem miary zero, więc nie ma znaczenia czy go włączymy do obszaru
całkowania czy nie.
1
Definicja
D
Obszar dokmnięty określony nierównościami
a�(�y)�Ł� x Ł� b�(�y)�, c Ł� y Ł� d,
a�, b� ��C(�[�c, d]�)�,
gdzie nazywamy obszarem normalnym względem osi OY.
y
d
x=�(y)
D
x=ą(y)
c
x
D
Analogicznie określamy całkę funkcji ciągłej w obszarze normalnym względem OY i
wtedy
d b� (�y)�
f (�x, y)�dxdy =� f (�x, y)�dx.
���� ��dy ��
D c a� (�y)�
Definicja
Obszar dokmnięty nazywamy obszarem regularnym, jeśli jest sumą
D
D =� D �� D ��...�� D
obszarów normalnych względem osi OX lub względem osi OY, które
1 2 n
nie mają wspólnych punktów wewnętrznych.
Definicja
Niech - obszar regularny,
D
f ��C(�D)�.
Wtedy
n
f (�x, y)�dxdy :=� f (�x, y)�dxdy
��
���� ����
i=�1
D Di
Uwaga
Prawdziwe są wszystkie własności całki podwójnej, gdy prostokąt P zastąpimy obszarem
regularnym D, tzn.
 liniowość
 addywność względem obszaru całkowania
 ograniczoność całki
2
Przykład
Obliczyć całkę podwójną I =�
����dxdy, gdzie D  obszar ograniczony krzywymi x =� 2y2
D
i x =� y2 +�1.
Wyznaczamy punkty (x,y) przecięcia parabol x =� 2y2
i x =� y2 +�1:
http://notatek.pl/calka-podwojna-w-obszarze-normalnym?notatka
y =� ą�1,
x =� 2.
i zaznaczamy obszar D
D jest obszarem normalnym względem OY,
-�1 Ł� y Ł�1
��
D :
��
2
��2y Ł� x Ł� y2 +�1
Zatem możemy całkę podwójną zamienić na całkę iterowaną:
y2 +�1
1
1 y2 +�1 1 1
1 2 4
ć�
I =� x dy =� (�1-� y2)�dy =� y -� y3 �� =� 2 -� =�
�� ��
��dy ��dx =� �� ��
3 3 3
Ł� ł�
-�1 -�1 -�1 -�1
2 y2 2 y2
Uwaga
Powyższy obszar D nie jest normalny względem OX, ale można go podzielić na na trzy
obszary normalne względem OX i wtedy
����dxdy =� ����dxdy +� ����dxdy +� ����dxdy =�
D D1 D2 D3
x x
1 2 2 2 2 -� x-�1 1 2 2
=� x dx +� 2 x dx -� 2 x -�1 dx =�
��dx ��dy +� ��dx ��dy +� ��dx ��dy =� 2�� �� ��
0 x 1 x-�1 1 x 0 1 1
-� -�
2 2
1 2 2
��2 3 ł� ��2 3 ł� ��2 3 ł�
2 2 8 2 2 4 4
=� 2 �� x2 ś� +� 2 �� x2 ś� -� 2�� (x -�1)2 ś� =� +� -� -� =�
ę�3 ę�3 ę�3
3 3 3 3 3
�� �� �� �� �� ��
0 1 1
Twierdzenie (o zamianie zmiennych w całce podwójnej)
D�, D
Z: Niech - obszary regularne w R2,
t� : D� ��suriekcja�� D,
���
��
t� (�u,v)�=� (�j�(�u,v)�,j�(�u,v)�)� dla (u,v)�� D�.
T: Jeśli 1O odwzorowanie t� przekształca wzajemnie jednoznacznie (różnowartościowo)
wnętrze obszaru " na wnętrze obszaru D,
t� : int D� a� int D
bijekcja
j�,y� ��C1(�W�)�, gdzie W� jest obszarem, W� �� D�
2O
f ��C(�D)�
3O
3