4. CAA
KA FUNKCJI ZESPOLONEJ
1. Jaką krzywą przedstawiają następująca 4. Obliczyć całki korzystając ze wzoru
funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej. Cauchy ego:
a) z1(t) t i cost , t 0,3
ez
a) dz , gdzie K : .
z 2
z i
1 1
b) z2 (t) it , t ,3
t 2 K
shz
c) z3 (t) 1 i (1 i)t , t 1,2
b) dz , gdzie K : .
z 2
(z 5)(z 1)
K
d) z4 (t) 1 i (1 2i)t , t 1,4
z e2 z
2
c) dz , gdzie K : łamana zamknięta
e) z5(t) t i(1 4t ) , t R
z2 1
K
f) z6 (t) 2t i(1 4t2) , t 0,1
łącząca punkty z0 0 , z1 1 2i oraz
g) z7 (t) t2 i(1 4t2 ) , t 2,1
z2 1 2i , skierowana dodatnio.
1 cos z
h) z8(t) t isint , t 0, d) dz , gdzie K to elipsa x2 4y2 1
3 z
K
2. Obliczyć całki :
skierowana ujemnie.
a) coszdz , gdzie K jest skierowanym dodatnio
z sin( z)
e) gdzie K : łamana zamknięta
K
z4 1
K
łukiem okręgu z 1, od z0 i do z1 i .
skierowana dodatnio, łącząca punkty
z
b) dz , gdzie L jest skierowanym dodatnio
10 z0 0 , z1 2 i oraz z2 2 i
2
z
L
20 z0 0 , z1 1 2i oraz z2 1 2i
łukiem okręgu z 1, gdzie rez,imz 0
30 z0 0 , z1 2 i oraz z2 2 i .
1
c) dz , gdzie L jest odcinkiem od z1 1 do z2 i
z
L
d) sin zdz , gdzie K jest odcinkiem od z1 do z2 ,
Odpowiedzi.
K
1. a) y cosx , x 0,3
gdzie
1 1
b) y , x ,2
x 3
10 z1 0 oraz z2 2
c) y x , x 0,3
20 z1 2 oraz z2 2 i
d) y 2x 1, x 0,3
30 z1 2 i oraz z2 0 . e) y 1 4x2 , x R
f) y 1 x2 , x 0,2
e) zzdz , gdzie K jest łamaną skierowaną
K
g) y 1 4x , x 4,0
dodatnio łączącą z0 0 , z1 1 oraz z2 i .
h) y sin 3x , x 0,
3
f) z dz , gdzie AB jest
1
2. a) 2i sh1 b) i c)
2 2
AB
d) 10 1 20 i ch 30 1 ch
10 odcinkiem od A 2i do B 2i 2 2
1 2
e) i f) 10 4i 20 8i
20 półokręgiem z 2 od A 2i do B 2i
3 3
dla re z 0
3 3 2 2
2 3
3. Obliczyć całki korzystając z funkcji pierwotnej
3. a) (z2 z1 ) (z2 z1 ) (z2 z1 )
3 2
z2
b) 0 c) 0
a) (2z2 3z 1)dz
z1
4. a) 2 (i cos1 sin1)
z1
b) i sh1
b) sin zdz
2
z1
c) i d) 2 i
c) coszdz , gdzie A , B
e) 10 0 20 sh1 30 0
AB
2