CAA
KA KRZYWOLINIOWA
CAA
KA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA W R 2 .
Def. Zbiór
K = (x, y) " R2 : x = x(t), y = y(t), t " [Ä…, ²] , x, y " C0([Ä…, ²]; R) (1)
nazywamy krzywÄ… w przestrzeni R2 .
................................................................................................................................
Jeżeli krzywa K nie ma punktów wielokrotnych, tzn. punktów odpowiadających
dwom lub więcej różnym wartościom parametru t, to nazywamy ją łukiem zwykłym.
...........................................................................................................................
îÅ‚x ûÅ‚ îÅ‚
Jeżeli ponadto x, y " C1([Ä…, ²; R]) i (t)Å‚Å‚2 + y (t)Å‚Å‚2 > 0 na przedziale [Ä…, ²]
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
to łuk K nazywamy łukiem regularnym (gładkim).
............................................................................................................................
Jeżeli krzywa K daje się "podzielić" na skończoną liczbę łuków regularnych,
to nazywamy jÄ… krzywÄ… regularnÄ….
........................................................................................................................
KrzywÄ… regularnÄ… speÅ‚niajÄ…cÄ… warunki : x(Ä…) = x(²), y(Ä…) = y(²)
nazywamy krzywą regularną zamkniętą.
.........................................................................................................................
Obszar D ograniczony krzywÄ… regularnÄ… nazywamy obszarem regularnym.
..........................................................................................................................
Def.
Niech F " C0(K, R) będzie funkcją rzeczywistą dwóch zmiennych określoną
na łuku gładkim K.
Całkę krzywoliniową nieskierowaną funkcji F, ciągłej na łuku regularnym K,
zdefiniujmy następująco:
²
df
F(x, y) dK = F(x(t), y(t)) " îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
y (t)ûÅ‚2 dt. (2)
ðÅ‚x (t)ûÅ‚2 + ðÅ‚
+" +"
Ä…
K
.............................................................................................................................
Tw.
CaÅ‚ka krzywoliniowa funkcji F(x,y), po krzywej regularnej K ‚" R2
będącą sumą skończonej liczby łuków regularnych, które nie mają wspólnych punktów we-
wnętrznych, jest sumą całek krzywoliniowych tej funkcji
po poszczególnych łukach regularnych.
Wybrane własności całki krzywoliniowej nieskierowanej.
Niech F, G " C0(K, R), Ä…, ² " R, K = K1 *" K2, intK1 )" intK2 = "
(iloczyn wnętrz), to
[Ä…F(x, y) + ² G(x, y) dK = Ä… F(x, y) dK + ² G(x, y) dK (3)
]
+" +" +"
K K K
F(x, y) dK = F(x, y) dK1 + F(x, y) dK2 (4)
+" +" +"
K K1 K2
F(x, y) dK e" 0 dla F(x, y) e" 0 na K (5)
+"
K
.................................................................................................................................
Tw.
Niech K = (x, y) " R2 : x " [a, b], y = f(x), f " C1([a, b]; R) ,
F " C0([a, b]; R)
Wówczas całkę funkcji F dwóch zmiennych, ciągłej na łuku regularnym K
wyraża wzór:
b
îÅ‚f ûÅ‚
F(x, y) dK = F(x, f(x)) 1 + (x)Å‚Å‚2 dx (6)
ðÅ‚
+" +"
a
K
..............................................................................................
W przypadku, gdy obszar K jest okręgiem o promieniu R (lub jego częścią),
a także w niektórych innych przypadkach, wygodnie jest
przy obliczaniu całki krzywoliniowej wprowadzić współrzędne biegunowe:
x = R cos Õ, y = R sin Õ, Õ " [Ä…, ²], R > 0.
W tym przypadku wzór (2) ma postać
²
df
F(x, y)dK = F(R cos Õ, R sin Õ ) R dÕ.
+" +"
Ä…
K
Zastosowania całki krzywoliniowej nieskierowanej.
1. Obliczanie masy krzywej.
Jeżeli F(x,y) jest gęstością liniową masy krzywej regularnej K i F " C0(K; R),
to masę tej krzywej wyraża wzór:
m = F(x, y) dK
+"
K
2. Obliczanie momentów statycznych.
Jeżeli F(x,y) jest gÄ™stoÅ›ciÄ… liniowÄ… masy krzywej regularnej K ‚" R2 i F " C0(K; R),
to momenty statyczne Mx (względem osi OX) i My (względem osi Oy)
wyrażają wzory:
Mx = y F(x, y) dK
+"
K
oraz
My = x F(x, y) dK
+"
K
3. Obliczanie momentów bezwładności.
Momenty bezwładności Bx (względem osi OX) , By (względem osi OY)
oraz Bz (względem osi OZ) krzywej K, wyrażają wzory:
Bx = y2 F(x, y) dK ,
+" +"
K
By = x2 F(x, y) dK ,
+" +"
K
Bz = (x2 + y2) F(x, y) dK .
+" +"
K
4. Obliczanie środka ciężkości.
WspółrzÄ™dne ¾, · Å›rodka ciężkoÅ›ci S(¾, ·) masy krzywej K wyrażajÄ… wzory:
My
Mx
¾ = , · = .
m m
Przykład.
Oblicz całę:
Å„Å‚ üÅ‚
jest brzegiem
K
ôÅ‚ ôÅ‚
x ]
[ - y dK , gdzie K =
òÅ‚ obszaru ograniczonego. linia żł
+"
ôÅ‚ ôÅ‚
K
x2 + y2 = 2x
ół þÅ‚
K jest okręgiem o równaniu:
1o. kanonicznym (uwikłanym):
( - 1 + y2 = 1,
x )2
2o. w opisie jawnym :
K = K1 *" K2
K1 : y1 = 2x - x2 0 d" x d" 2
, 0 d" x d" 2
K2 : y = - 2x - x2
2 - 2x 1 - x
y1 = =
2 2x - x2 2x - x2
3o. w opisie biegunowym:
Å„Å‚ üÅ‚
r = 2 cos Õ
Å„Å‚ üÅ‚
x = r cos Õ ôÅ‚ ôÅ‚
Ä„
òÅ‚ żł òÅ‚ żł,
-Ä„ d" Õ d"
y = r sin Õ
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
2 2
ół þÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x = 2 cos2Õ
Ä„
òÅ‚ żł òÅ‚ żł
-Ä„ d" Õ d"
y = sin 2Õ
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
2 2
ół þÅ‚
lub
Å„Å‚ üÅ‚ Å„Å‚ üÅ‚
x - 1 = r cos Õ r = 1
òÅ‚ żł òÅ‚ żł
y = r sin Õ 0 d" Õ d" 2Ä„
ół þÅ‚ ół þÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚ Å„Å‚ üÅ‚
x = 1 + cos Õ
òÅ‚ żł òÅ‚ żł
y = sin Õ 0 d" Õ d" 2Ä„
ół þÅ‚ ół þÅ‚
y
K1
x
K2
Metoda I.
x ] x ] [ ] [ ]
[ - y dK = [ - y dK = x - y dK1 + x - y dK2 =
+" +" +" +"
K K1*"K2 K1 K2
2 2
2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
îÅ‚x 1-x îÅ‚x
= - 2x - x2 Å‚Å‚ 1 + dx + + 2x - x2 Å‚Å‚ 1 + dx =
ïÅ‚ śł ìÅ‚ ÷Å‚ ïÅ‚ śł ìÅ‚- 1-x ÷Å‚
+" +"
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2x-x2 2x-x2
0 0
2 2 1 2
2
ëÅ‚ öÅ‚
1-x 2x 2x 2x
= 2x 1 + dx = dx = dx + dx =
ìÅ‚ ÷Å‚
+"
+" +" +"
íÅ‚ Å‚Å‚
2x-x2
0 2x - x2 0 2x - x2 1 2x - x2
0
2-µ2
1
2x 2x
= lim dx + lim dx =
+" +"
µ10µ1 2x - x2 µ20
2x - x2
1
îÅ‚ Å‚Å‚1 îÅ‚ Å‚Å‚2-µ
ïÅ‚ ïÅ‚
2 2
= lim 2x - x2 + dxśł + lim 2x - x2 + dxśł =
ïÅ‚- śł ïÅ‚- śł
+" +"
ïÅ‚
µ0
2x - x2 śł µ0 ïÅ‚ 2x - x2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚µ ðÅ‚ ûÅ‚1
1 2-µ
îÅ‚ îÅ‚
= lim 2x - x2 + 2 arcsin (x - 1)Å‚Å‚ + lim 2x - x2 + 2 arcsin (x - 1)Å‚Å‚ =
ïÅ‚- śł ïÅ‚- śł
ðÅ‚ ûÅ‚µ ðÅ‚ ûÅ‚1
µ0 µ0
îÅ‚
îÅ‚-
= lim 2 - 1 + 2 arcsin (1 - 1)Å‚Å‚ - 2µ - µ2 + 2 arcsin (µ - 1)Å‚Å‚ +
ïÅ‚- śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
µ0
îÅ‚
( )Å‚Å‚ îÅ‚- ( )Å‚Å‚
+ lim 2 2 - µ - ( - µ + 2 arcsin 2 - µ - 1 - 2 - 1 + 2 arcsin 1 - 1 =
ïÅ‚- ( ) 2 )2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
µ0
îÅ‚-
= lim {-1 - [2 arcsin (µ - 1)]} + lim (2 - µ) Å" µ + 2 arcsin (1 - µ)Å‚Å‚ + 1 =
ðÅ‚ ûÅ‚
µ0 µ0
= [-1 - 2 arcsin (-1)] + [2 arcsin 1 + 1] = -2 arcsin (-1) + 2 arcsin 1=
ëÅ‚-Ä„
öÅ‚ Å‚Å‚
= 2[arcsin 1 - arcsin (-1)] = 2îÅ‚ Ä„ - = 2Ä„.
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ 2 2 ûÅ‚
Metoda II.
Å„Å‚ üÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x = 2 cos2Õ
Ä„
òÅ‚ żł òÅ‚ żł
-Ä„ d" Õ d"
y = sin 2Õ ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
2 2
ół þÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚ Å„Å‚ üÅ‚
x = 1 + cos Õ
lub
òÅ‚ żł òÅ‚ żł
y = sin Õ 0 d" Õ d" 2Ä„
ół þÅ‚ ół þÅ‚
2Ä„
x ] [ ] (-sin Õ + cos Õ dÕ =
[ - y dK = 1 + cos Õ - sin Õ
)2 ( )2
+" +"
K 0
2Ä„
= 1 + cos Õ - sin Õ dÕ = Õ + sin Õ + cos Õ =
[ ] [ ]2Ä„
+" 0
0
= [2Ä„ + sin 2Ä„ + cos 2Ä„] - [0 + sin 0 + cos 0] = 2Ä„ + 1 - 1 = 2Ä„. .
Przykład.
Å„Å‚ üÅ‚
jest brzegiem
K
ôÅ‚ ôÅ‚
obszaru D ograniczonego liniami :
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x Å" y dK , gdzie K = K1 :
[ ]
òÅ‚ żł.
y = 0
+"
ôÅ‚ ôÅ‚
K
K3 :
x = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x + y = 1
K2 :
ół þÅ‚
y
1
K
K
D 2
3
K x
1
1
K1: y = 0 dla 0 d" x d" 1
K = K1 *" K2 *" K3 gdzie K2 : y = 1 - x dla 0 d" x d" 1
K3: x = 0 dla 0 d" y d" 1
F(x, y) dK = F(x, y) dëÅ‚K1*"K2 *" K3öÅ‚ =
íÅ‚ Å‚Å‚
+" +"
K K1*"K2*"K3
= F(x, y) dK1 + F(x, y) dK2 + F(x, y) dK3 =
+" +" +"
K1 K2 K3
1 1
1
= x Å" 0 Å" 1 + 02 dx + x Å" (1 - x) 1 + [-1]2 dx + 0 Å" y Å" 1 + [0]2 dy =
+"
+" +"
0
0 0
1
ëÅ‚
2
x2 x3 öÅ‚ 1 2 Å" 1 1
ëÅ‚ öÅ‚
= 2Å" x Å" (1 - x) dx = 2Å" - = - = .
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
+"
2 3 2 3 6
íÅ‚ Å‚Å‚ 0
0
Ćwiczenia.
Oblicz całki:
Å„Å‚ üÅ‚
jest linia
K
1. ex dK , gdzie K =
òÅ‚ żł,
+"
x = ln y dla y " [1, e]
ół þÅ‚
K
Å„Å‚ üÅ‚
jest brzegiem
K
ôÅ‚ ôÅ‚
2. 2ydK , gdzie K = ,
òÅ‚ żł
obszaru ograniczonego liniami
+"
ôÅ‚ ôÅ‚
K
y = x , y = 0, x + y = 2
ół þÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
jest brzegiem
K
ôÅ‚
îÅ‚x2 + y2Å‚Å‚ dK , gdzie K = ôÅ‚
3.
òÅ‚ obszaru ograniczonego linia żł,
+"
ðÅ‚ ûÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
K
x2 + y2 = 4
ół þÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
jest brzegiem
K
ôÅ‚ ôÅ‚
4. 2 dK , gdzie K = ,
òÅ‚ obszaru ograniczonego linia żł
+"
ôÅ‚ ôÅ‚
K
x2 + y2 = 2x
ół þÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
jest brzegiem
K
ôÅ‚ ôÅ‚
5. dK , gdzie K =
òÅ‚ obszaru ograniczonego linia żł
+"
ôÅ‚ ôÅ‚
K
x2 + y2 = -2y
ół þÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
jest brzegiem
K
ôÅ‚ ôÅ‚
6. dK , gdzie K =
òÅ‚ obszaru ograniczonego linia żł
+"
ôÅ‚ ôÅ‚
K
x2 + y2 = -2x + 2y
ół þÅ‚