CAA
KA KRZYWOLINIOWA
CAA
KA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA W R 3 .
Def. Zbiór
K = (x, y, z) " R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t " [Ä…, ²] , x, y, z " C0([Ä…, ²]; R)
nazywamy krzywÄ… w przestrzeni R2 .
Jeżeli krzywa K nie ma punktów wielokrotnych, tzn. punktów odpowiadających
dwom lub więcej różnym wartościom parametru t, to nazywamy ją łukiem zwykłym.
Jeżeli ponadto
îÅ‚x ûÅ‚ îÅ‚ îÅ‚
x, y, z " C1([Ä…, ²; R]) i (t)Å‚Å‚2 + y (t)Å‚Å‚2 + z (t)Å‚Å‚2 > 0 na przedziale [Ä…, ²]
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
to łuk K nazywamy łukiem regularnym (gładkim).
Jeżeli krzywa K daje się "podzielić" na skończoną liczbę łuków regularnych,
to nazywamy jÄ… krzywÄ… regularnÄ….
KrzywÄ… regularnÄ… speÅ‚niajÄ…cÄ… warunki : x(Ä…) = x(²), y(Ä…) = y(²) , z(Ä…) = z(²)
nazywamy krzywą regularną zamkniętą.
Def.
Niech F " C0(K, R) będzie funkcją rzeczywistą trzech zmiennych określoną
na łuku gładkim K.
CaÅ‚kÄ™ krzywoliniowÄ… nieskierowanÄ… funkcji F,ciÄ…gÅ‚ej na Å‚uku regularnym K‚" R3,
zdefiniujmy następująco:
²
df
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
F(x, y, z) dK = F(x(t), y(t), z(t)) (t)ûÅ‚2 + y (t)ûÅ‚2 + (t)ûÅ‚2 dt.
ðÅ‚x ðÅ‚ ðÅ‚z
+" +"
Ä…
K
Tw.
CaÅ‚ka krzywoliniowa funkcji F(x,y), po krzywej regularnej K ‚" R3
będącą sumą skończonej liczby łuków regularnych, które nie mają wspólnych punktów we-
wnętrznych, jest sumą całek krzywoliniowych tej funkcji
po poszczególnych łukach regularnych.
Wybrane własności całki krzywoliniowej nieskierowanej.
Niech F, G " C0(K, R), Ä…, ² " R, K = K1 *" K2, intK1 )" intK2 = "
(iloczyn wnętrz), to
[Ä…F(x, y, z) + ² G(x, y, z) dK = Ä… F(x, y, z) dK + ² G(x, y, z) dK (3)
]
+" +" +"
K K K
F(x, y, z) dK = F(x, y, z) dK1 + F(x, y, z) dK2 (4)
+" +" +"
K K1 K2
F(x, y, z) dK e" 0 dla F(x, y, z) e" 0 na K (5)
+"
K