CAA
KA KRZYWOLINIOWA
Zad. 1 Obliczyć całki krzywoliniowe skierowane:
Ą
a) y dx + xdy , gdzie K jest łukiem elipsy x = 2cost , y = sin t , 0 d" t d" , skierowanym
+"-
2
K
zgodnie ze wzrostem parametru t;
1
b) xy dy + x2dx , gdzie K jest łukiem hiperboli y = , 1 d" x d" 4 , skierowanym zgodnie ze
+"
x
K
wzrostem zmiennej x;
c) (2y - 6xy3)dx + (2x - 9x2 y2)dy , gdzie AB, A = (0,0), B = (2,2), jest 10 . odcinkiem, 20 .
+"
AB
1 1 1
łukiem paraboli y = x2 , 30 . łukiem paraboli x = y2 , 40 . łukiem krzywej y = x3 ;
2 2 4
d) y dx + zdy - xdz , gdzie K: x = t2 , y = t3 , z = t , 0 d" t d"1, skierowana zgodnie ze wzrostem
+"
K
parametru t;
e) x dx + ydy + (x + y -1)dz , gdzie AB jest odcinkiem o końcach A = (1,1,1), B = (2,3,4),
+"
AB
skierowanym od A do B.
Zad. 2 Obliczyć całki krzywoliniowe nieskierowane:
a) (x2 + y)dl , gdzie L jest odcinkiem prostej y = x + 2 , 0 d" x d" 2 ;
+"
L
b) (x2 + y2)dl , gdzie L: x = a(cost + t sin t), y = a(sin t - t cost), 0 d" t d" 2Ą ;
+"
L
c) xy dl , gdzie L jest obwodem kwadratu x + y = a , a > 0 ;
+"
L
d) (x2 + y2 + z2)dl , gdzie L: x = a cost , y = asin t , z = bt , 0 d" t d" 2Ą .
+"
L
Zad. 3 Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć:
a) (1- x2)ydx + x(1+ y2)dy , gdzie K jest dodatnio skierowaną krzywą o równaniu x2 + y2 = a2 ,
+"
K
x2 y2
b) xydx + xydy , gdzie K jest dodatnio skierowaną krzywą o równaniu + = 1,
+"
a2 b2
K
c) xydx + xydy , gdzie K jest dodatnio skierowaną krzywą o równaniu x2 + y2 = ax
.
+"
K