CAA
KA POTRÓJNA
Rozważmy prostopadłościan P, określony w przestrzeni OXYZ nierównoś-
ciami:
a x b, c y d, e z f
oraz funkcję trzech zmiennych f (x, y, z) określoną i ograniczoną w tym
prostopadłościanie.
Prostopadłościan P dzielimy na n prostopadłościanów Pk o objętościach
"Vk, k = 1, 2, ..., n. Podział ten oznaczymy przez "n.
Definicja 1 (średnicy podziału).
Niech dk oznacza długość przekątnej prostopadłościanu Pk. Liczbę
´n = max dk
1 k n
nazywamy średnicą podziału "n.
W każdym z prostopadłościanów Pk wybieramy punkt Ak(xk, yk, zk) i
bierzemy pod uwagÄ™ sumÄ™
n

Sn = f (xk, yk, zk) · "Vk
k=1
nazywaną sumą całkową funkcji f (x, y, z) w prostopadłościanie P.
Rozważmy następnie ciąg normalny podziałów ("n) prostopadłościanu
P.
Definicja 2 (ciągu normalnego podziałów).
Ciąg podziałów ("n) nazywamy ciągiem normalnym podziałów jeżeli
odpowiadajÄ…cy mu ciÄ…g Å›rednic (´n) dąży do zera.
Definicja 3 (całki potrójnej po prostopadłościanie).
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów prostopadłościanu P
ciąg sum całkowych (Sn) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej,
niezależnej od wyboru punktów Ak, to tę granicę nazywamy całką pot-
rójną funkcji f (x, y, z) w prostopadłościanie P i oznaczamy symbolem

f (x, y, z)dV lub f (x, y, z)dxdydz
P P
StÄ…d

n

de f
f (x, y, z)dxdydz = lim f (xk, yk, zk) · "Vk
´n0
k=1
P
Jeżeli całka powyższa istnieje, to funkcję f (x, y, z) nazywamy całkowalna
po prostopadłościanie P. Symbol dV nazywamy elementem objętości.
Niech funkcja f (x, y, z) będzie funkcją całkowalną w prostopadłościanie
P o objętości V.
Definicja 4.
LiczbÄ™

1
µ = f (x, y, z)dV
V
P
nazywamy wartością średnią funkcji f (x, y, z) w prostopadłościanie P.
Twierdzenie 1 (całkowe o wartości średniej).
Jeżeli funkcja f (x, y, z) jest ciągła w prostopadłościanie P, to istnieje
taki punkt C " P, że

f (x, y, z)dV = f (C) · V
P
Twierdzenie 2 (o liniowości całki potrójnej).
Jeżeli funkcje f (x, y, z) i g(x, y, z) są całkowalne na prostopadłościanie
P, to

[ f (x, y, z)+g(x, y, z)]dxdydz = f (x, y, z)dxdydz+ g(x, y, z
P P P

[C· f (x, y, z)]dxdydz = C· f (x, y, z)dxdydz, gdzie C " R
P P
Twierdzenie 3 (o addytywności całki wzg. obszaru całkowania).
Jeżeli funkcja f (x, y, z) jest całkowalna na prostopadłościanie P, to dla
dowolnego podziału tego prostopadłościanu na prostopadłościany P1 i
P o rozłącznych wnętrzach zachodzi równość
2

f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dxdydz+ f (x, y, z)dxdydz
P P1 P2
Twierdzenie 4 (o zamianie całki potrójnej na całkę iterowaną).
Jeżeli funkcja f (x, y, z) jest ciągła na prostopadłościanie P: a x b,
c y d i e z f (z wyjątkiem co najwyżej zbioru punktów, dającego
się pokryć skończoną liczbą prostopadłościanów, których suma objętości
jest dowolnie mała), to
Å„Å‚ üÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚
śł
ôÅ‚ ïÅ‚ ôÅ‚
b ôÅ‚ d ïÅ‚ f śł
ôÅ‚ ôÅ‚
ïÅ‚ śł
ôÅ‚ ôÅ‚
ïÅ‚ śł
ôÅ‚ ôÅ‚
ïÅ‚ śł
òÅ‚
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
(1) f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dzśł dyżł dx
ïÅ‚ śł
ôÅ‚ ôÅ‚
ïÅ‚ śł
ôÅ‚ ôÅ‚
ïÅ‚ śł
ôÅ‚ ôÅ‚
ïÅ‚ śł
ôÅ‚ ôÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
a c e
P
Całkę występującą po prawej stronie wzoru (1) nazywamy całką dwu-
krotnie iterowaną funkcji po prostopadłościanie.
Uwaga 1.
W przypadku spełnienia założeń powyższego twierdzenia, całka (1) jest
równa każdej z pozostałych całek dwukrotnie iterowanych, różniących
się od niej tylko kolejnością całkowania.
Uwaga 2.
Umownie pisze się również
Å„Å‚ üÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚
śł
ôÅ‚ ïÅ‚ ôÅ‚
b d f b ôÅ‚ d ïÅ‚ f śł
ôÅ‚ ôÅ‚
ïÅ‚ śł
ôÅ‚ ôÅ‚
ïÅ‚ śł
ôÅ‚ ôÅ‚
ïÅ‚ śł
òÅ‚
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
dx dy f (x, y, z)dz zamiast f (x, y, z)dzśł dyżł dx
ïÅ‚ śł
ôÅ‚ ôÅ‚
ïÅ‚ śł
ôÅ‚ ôÅ‚
ïÅ‚ śł
ôÅ‚ ôÅ‚
ïÅ‚ śł
ôÅ‚ ôÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
a c e a c e
Wniosek 1 (całka potrójna z funkcji o rozdzielonych zmiennych).
Jeżeli funkcja f jest funkcją o zmiennych rozdzielonych postaci
f (x, y, z) = Õ(x) · È(y) · Å‚(z)
gdzie funkcje Õ, È i Å‚ sÄ… ciÄ…gÅ‚e odpowiednio na przedziaÅ‚ach a, b ,
c, d i e, f , to całka potrójna po prostopadłościanie P: a x b,
c y d i e z f równa się iloczynowi trzech całek pojedynczych,
tj.
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
f
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ b ÷Å‚ ìÅ‚ d ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ìÅ‚
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
f (x, y, z)dxdydz = Õ(x)dx÷Å‚ · È(y)dy÷Å‚ · Å‚(z)dz÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
a c e
P
Całka potrójna w obszarze normalnym
Definicja 5 (obszaru normalnego względem płaszczyzny).
Å»
Obszar domknięty &!, określony nierównościami
Å»
Õ1(x, y) z È1(x, y), (x, y) " DXY
Å»
gdzie DXY jest obszarem regularnym na płaszczyz
nie OXY, a funkcje
Õ1(x, y) oraz È1(x, y) sÄ… w nim ciÄ…gÅ‚e, nazywamy obszarem normalnym
względem płaszczyzny OXY.
Å»
Obszar domknięty &!, określony nierównościami
Å»
Õ2(x, z) y È2(x, z), (x, z) " DXZ
Å»
gdzie DXZ jest obszarem regularnym na płaszczyz
nie OXZ, a funkcje
Õ2(x, z) oraz È2(x, z) sÄ… w nim ciÄ…gÅ‚e, nazywamy obszarem normalnym
względem płaszczyzny OXZ.
Å»
Obszar domknięty &!, określony nierównościami
Å»
Õ3(y, z) x È3(y, z), (y, z) " DYZ
Å»
gdzie DYZ jest obszarem regularnym na płaszczyz
nie OYZ, a funkcje
Õ3(y, z) oraz È3(y, z) sÄ… w nim ciÄ…gÅ‚e, nazywamy obszarem normalnym
względem płaszczyzny OYZ.
Uwaga 3.
Jeżeli &! jest obszarem normalnym względem płaszczyzny OXY, to DXY
jest rzutem tego obszaru na tę płaszczyznę.
Analogicznie dla dwóch pozostałych przypadków.
Twierdzenie 5 (całki iterowane po obszarach normalnych).
Å»
Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym &!, określonym na-
stępująco
&! = {(x, y, z) : (x, y) " DXY, Õ(x, y) z È(x, y)}
normalnym wzglÄ™dem pÅ‚aszczyzny OXY, gdzie funkcje Õ i È sÄ… ciÄ…gÅ‚e
na obszarze regularnym DXY, to
ëÅ‚ öÅ‚
È(x,y)
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dz÷Å‚ dxdy
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
&! DXY Õ(x,y)
Prawdziwe są również analogiczne wzory dla całek iterowanych po ob-
szarach normalnych względem pozostałych płaszczyzn układu współ-
rzędnych.
Uwaga 4.
Jeżeli obszar &! normalny względem płaszczyzny OXY można zapisać w
postaci
&! = {(x, y, z) : a x b, f (x) y g(x), Õ(x, y) z È(x, y)}
to zachodzi równość
Å„Å‚ üÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
g(x) È(x,y)
÷Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
b ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
òÅ‚
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dzżł dy÷Å‚ dx
ìÅ‚ ÷Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚Õ(x,y) ôÅ‚
ół þÅ‚
a
&! f (x)
Definicja 6 (obszaru regularnego w przestrzeni).
Sumę skończonej liczby obszarów normalnych względem płaszczyzn ukła-
du współrzędnych o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem
regularnym w przestrzeni.
Wniosek 2.
Niech obszar regularny &! będzie sumą obszarów normalnych &!1, &!2,
..., &!n o parami rozłącznych wnętrzach oraz niech funkcja f będzie
całkowalna na &!. Wówczas

f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dxdydz+...+ f (x, y, z)dxdydz
&! &!1 &!n
Zamiana zmiennych w całce potrójnej
Twierdzenie 6 (o zamianie zmiennych w całce potrójnej).
Niech przekształcenie
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x = x(u, v, w)
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
(2) y = y(u, v, w)
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z = z(u, v, w)
odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie wnętrze U obszaru regularnego
Å»
j
na wnętrze &! obszaru regularnego &!, przy czym każda z funkcji (2)
jest klasy C1 w pewnym obszarze zawierajÄ…cym j
w swym wnętrzu.
Jeżeli ponadto f (x, y, z) jest funkcją ciągłą w obszarze j
oraz jakobian
przekształcenia (2) postaci

"x "x "x
"u "v "w
D(x, y, z) d f
"y "y "y
(3) =
"u "v "w
D(u, v, w)
"z "z "z

"u "v "w
jest różny od zera w obszarze U, to

f (x, y, z)dxdydz =
&!


D(x, y, z) dudvdw
= f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) ·
D(u, v, w)
U
Współrzędne sferyczne
Definicja 7 (współrzędnych sferycznych, typ I).
PoÅ‚ożenie punktu P w przestrzeni można opisać trójkÄ… liczb (Á, Õ, È),
gdzie
Á  oznacza odlegÅ‚ość punktu P od poczÄ…tku ukÅ‚adu współrzÄ™dnych,
przy czym 0 Á < ",
Õ  oznacza miarÄ™ kÄ…ta miÄ™dzy rzutem promienia wodzÄ…cego punktu P
na pÅ‚aszczyznÄ™ OXY a dodatniÄ… częściÄ… osi OX, przy czym 0 Õ <
2Ä„,
È  oznacza miarÄ™ kÄ…ta miÄ™dzy promieniem wodzÄ…cym a pÅ‚aszczyznÄ…
Ä„
OXY, przy czym -Ä„ È .
2 2
TrójkÄ™ liczb (Á, Õ, È) nazywamy współrzÄ™dnymi sferycznymi punktu prze-
strzeni.
Wniosek 3.
Współrzędne kartezjańskie (x, y, z) punktu przestrzeni danego we współ-
rzÄ™dnych sferycznych (Á, Õ, È) okreÅ›lone sÄ… zależnoÅ›ciami
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x = Á cos Õ cos È
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
(4) y = Á sin Õ cos È
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z = Á sin È
PrzeksztaÅ‚cenie, które punktowi (Á, Õ, È) przyporzÄ…dkowuje punkt (x, y, z)
określony powyższymi wzorami nazywamy przekształceniem sferycznym.
Jakobian przekształcenia sferycznego jest równy
J(Á, Õ, È) = Á2 cos È
Definicja 8 (współrzędnych sferycznych, typ II).
PoÅ‚ożenie punktu można opisać również trójkÄ… liczb (Á, Õ, ¸), gdzie Á i
Õ oznaczajÄ… jak poprzednio, natomiast
¸  oznacza miarÄ™ kÄ…ta miÄ™dzy promieniem wodzÄ…cym punktu P a do-
datnim kierunkiem osi OZ, przy czym 0 ¸ Ä„.
Wniosek 4.
Współrzędne kartezjańskie (x, y, z) punktu przestrzeni danego we współ-
rzÄ™dnych sferycznych (Á, Õ, ¸) okreÅ›lone sÄ… zależnoÅ›ciami
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x = Á cos Õ sin ¸
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
(5) y = Á sin Õ sin ¸
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z = Á cos ¸
gdzie 0 Á < +", 0 Õ < 2Ä„ i 0 ¸ Ä„.
Jakobian tego przekształcenia sferycznego jest równy
J(Á, Õ, ¸) = Á2 sin ¸
Współrzędne sferyczne uogólnione, typ I
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x = aÁ cos Õ cos È
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
y = bÁ sin Õ cos È
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z = cÁ sin È
Maksymalny zakres zmiennych:
Ä„ Ä„
0 Á < ", 0 Õ < 2Ä„, - È
2 2
Jakobian:
J(Á, Õ, È) = abcÁ2 cos È
Współrzędne sferyczne uogólnione, typ II
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x = aÁ cos Õ sin ¸
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
y = bÁ sin Õ sin ¸
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z = cÁ cos ¸
Maksymalny zakres zmiennych:
0 Á < ", 0 Õ < 2Ä„, 0 ¸ Ä„
Jakobian:
J(Á, Õ, ¸) = abcÁ2 sin ¸
Współrzędne walcowe (cylindryczne)
Definicja 9 (współrzędnych walcowe).
PoÅ‚ożenie punktu P w przestrzeni można opisać trójkÄ… liczb (Á, Õ, h),
gdzie
Á  oznacza odlegÅ‚ość rzutu punktu P na pÅ‚aszczyznÄ™ OXY od poczÄ…tku
ukÅ‚adu współrzÄ™dnych, przy czym 0 Á < ",
Õ  oznacza miarÄ™ kÄ…ta miÄ™dzy rzutem promienia wodzÄ…cego punktu P
na pÅ‚aszczyznÄ™ OXY a dodatniÄ… częściÄ… osi OX, przy czym 0 Õ <
2Ä„,
h  oznacza odległość (dodatnią dla z > 0 i ujemną dla z < 0) punktu
P od płaszczyzny OXY, przy czym -" h ".
TrójkÄ™ liczb (Á, Õ, h) nazywamy współrzÄ™dnymi walcowymi.
Wniosek 5.
Współrzędne kartezjańskie (x, y, z) punktu przestrzeni danego we współ-
rzÄ™dnych walcowych (Á, Õ, h) okreÅ›lone sÄ… zależnoÅ›ciami
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x = Á cos Õ
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
(6) y = Á sin Õ
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z = h
PrzeksztaÅ‚cenie, które punktowi (Á, Õ, h) przyporzÄ…dkowuje punkt (x, y, z)
określony powyższymi wzorami nazywamy przekształceniem walcowym.
Jakobian przekształcenia walcowego jest równy
J(Á, Õ, È) = Á
Współrzędne walcowe uogólnione
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x = aÁ cos Õ
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
y = bÁ sin Õ
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z = h
Maksymalny zakres zmiennych:
0 Á < ", 0 Õ < 2Ä„, -" < h < "
Jakobian:
J(Á, Õ, h) = abÁ
Wniosek 6 (Zastosowanie geometryczne całek potrójnych).
ObjÄ™tość obszaru regularnego V ‚" R3 wyraża siÄ™ wzorem

|V| = dxdydz
V