1
dxdydz V x = 0
(1 + x + y + z)3
V
y = 0 z = 0 x + y + z = 1
V (0, 0, 0) (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)
x " [0, 1] y " [0, 1 - x] z " [0, 1 - x - y]
ëÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ öÅ‚
1-x-y
1 1-x
1 1
íÅ‚ íÅ‚
dxdydz = dzłł dyłł dx =
(1 + x + y + z)3 (1 + x + y + z)3
V 0 0 0
ëÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1-x-y
1 1-x 1 1-x
1-x-y
1
íÅ‚ íÅ‚ íÅ‚
(1 + x + y + z)-3dzłł dyłł dx = - (1 + x + y + z)-2 dyłł dx =
2 0
0 0 0 0 0
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 1-x 1 1-x
1 1 1
íÅ‚ íÅ‚
- (1 + x + y + 1 - x - y)-2 - (1 + x + y)-2 dyłł dx = - - (1 + x + y)-2 dyłł dx =
2 2 4
0 0 0 0
1 1
1-x
1 1 1 1
- y + (1 + x + y)-1 dx = - (1 - x) + (1 + x + 1 - x)-1 - (1 + x)-1 dx =
2 4 0 2 4
0 0
1 1 1
1 1 1 1 4 1 4
- (1 - x) + - (1 + x)-1 dx = - 1 - x + 2 - dx = - 3 - x - dx =
2 4 2 8 1 + x 8 1 + x
0 0 0
1
1 1 1 1 1
- 3x - x2 - 4 ln |1 + x| = - 3 - - 4 ln 2 = - (5 - 8 ln 2)
8 2 8 2 16
0
"
"
1 1-x2 2-x2-y2
dx dy z2dz
"
0 0
x2+y2
"
V 0 x 1 0 y 1 - x2 x2 + y2 z 2 - x2 - y2
V = (x, y, z) " R3 : 0 x 1, 0 y 1 - x2, x2 + y2 z 2 - x2 - y2 .
V x 0 y 0 z 0
x2 + y2 1 z = x2 + y2
z = 2 - x2 - y2
z = x2 + y2 z = 2 - x2 - y2
z = x2 + y2
Ð!Ò! x2 + y2 = 2 - x2 - y2 Ð!Ò! x2 + y2 = 2 - x2 - y2 Ð!Ò! x2 + y2 = 1
z = 2 - x2 - y2
z = 1 x2 + y2 = 1
V z = 0 x2 + y2 1 x 0 y 0
Å„Å‚
x = r cos Õ cos È
òÅ‚
y = r sin Õ cos È ,
ół
z = r sin È
z
P (x, y, z)
r
z
È
y
Õ
x
y
P (x, y, 0)
x
"x "x "x
"r "Õ "È
cos Õ cos È -r sin Õ cos È -r cos Õ sin È
"(x, y, z) "y "y "y
JT = = = sin Õ cos È r cos Õ cos È -r sin Õ sin È =
"(r, Õ, È) "r "Õ "È
sin È 0 r cos È
"z "z "z
"r "Õ "È
= r2 cos2 Õ cos3 È + r2 sin2 Õ sin2 È cos È + r2 cos2 Õ sin2 È cos È + r2 sin2 Õ cos3 È =
= r2 cos È cos2 Õ cos2 È + sin2 Õ sin2 È + cos2 Õ sin2 È + sin2 Õ cos2 È =
= r2 cos È cos2 È cos2 Õ + sin2 Õ + sin2 È sin2 Õ + cos2 Õ = r2 cos È cos2 È + sin2 È =
1 1 1
= r2 cos È.
"
Ä„ Ä„ Ä„
r " 0, 2 Õ " 0, È " ,
2 4 2
"
ëÅ‚ öÅ‚
"
Ä„ Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
1 1-x2 2-x2-y2 1
2 2
ìÅ‚
íÅ‚
dx dy z2dz = r2 cos È · r2 sin2 ÈdrÅ‚Å‚ dÈ÷Å‚ dÕ =
íÅ‚ Å‚Å‚
"
Ä„
0 0 0 0
x2+y2 4
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
1
2 2 2 2
1
ìÅ‚
íÅ‚sin2 È cos È r4drÅ‚Å‚ dÈ÷Å‚ dÕ = ìÅ‚ sin2 È cos È 1 r5 dÈ÷Å‚ dÕ =
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
5 0
Ä„ Ä„
0 0 0
4 4
ëÅ‚ öÅ‚
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
2 2 2 2 " "
Ä„ Ä„
1 1 1 1 2 1 2
ìÅ‚ 2
sin2 È cos È dÈ÷Å‚ dÕ = [sin3 È] Ä„ dÕ = 1 - dÕ = 1 - Õ 2 =
íÅ‚ Å‚Å‚
5 5 3 15 4 15 4 0
4
Ä„
0 0 0
4
" "
1 2 Ä„ (4 - 2)Ä„
1 - =
15 4 2 120
x2 + y2dv V x2 + y2 = z2 z = 1
V
V (0, 0, 0)
z = 1 x2 + y2 1 V z = 0 x2 + y2 1
Å„Å‚
x = r cos Õ
òÅ‚
y = r sin Õ ,
ół
z = h
z
P (x, y, z)
h
y
Õ
r
x
y
P (x, y, 0)
x
"x "x "x
"r "Õ "h
cos Õ -r sin Õ 0
"(x, y, z) "y "y "y
JT = = = sin Õ r cos Õ 0 = r.
"(r, Õ, h) "r "Õ "h
0 0 1
"z "z "z
"r "Õ "h
r " [0, 1] Õ " [0, 2Ä„] h V
z = x2 + y2 z = 1
x2 + y2 h 1.
r2 cos2 Õ + r2 sin2 Ć h 1,
r2(cos2 Õ + sin2 Ć) h 1,
"
r2 h 1.
h " [r, 1] r ëÅ‚0 1 ëÅ‚
öÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ öÅ‚
2Ä„ 1 2Ä„ 1 1
íÅ‚ íÅ‚ íÅ‚ íÅ‚
x2 + y2dv = r · r2 cos2 Õ + r2 sin2 Õ dhÅ‚Å‚ drÅ‚Å‚ dÕ = r2 dhÅ‚Å‚ drÅ‚Å‚ dÕ =
V 0 0 r 0 0 r
ëÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2Ä„ 1 1 2Ä„ 1 2Ä„ 1
1
íÅ‚ íÅ‚ íÅ‚ íÅ‚
r2 1 dhÅ‚Å‚ drÅ‚Å‚ dÕ = r2 · h drÅ‚Å‚ dÕ = r2 · (1 - r) drÅ‚Å‚ dÕ =
r
0 0 r 0 0 0 0
2Ä„ 2Ä„ 2Ä„
1
2Ä„
1 1 1 1 1 1 Ä„
r3 - r4 dÕ = - dÕ = dÕ = Õ =
3 4 3 4 12 12 0 6
0
0 0 0
x2 + y2 dxdydz V x2 + y2 = 2z z = 2
V
x2 + y2 = 2z z = 2 x2 + y2 = 4 z = 2
OXY x2 + y2 4
y
2
-2 2 x
-2
Å„Å‚
x = r cos Õ
òÅ‚
y = r sin Õ ,
ół
z = h
z
P (x, y, z)
h
y
Õ
r
x
y
P (x, y, 0)
x
"x "x "x
"r "Õ "h
cos Õ -r sin Õ 0
"(x, y, z) "y "y "y
JT = = = sin Õ r cos Õ 0 = r.
"(r, Õ, h) "r "Õ "h
0 0 1
"z "z "z
"r "Õ "h
r " [0, 2] Õ " [0, 2Ä„] h
1
V z = (x2 + y2) z = 2
2
1
(x2 + y2) h 2.
2
1
(r2 cos2 Õ + r2 sin2 Ć) h 2,
2
1
(cos2 Õ + sin2 Ć) h 2,
2
1
r2 h 2.
2
1
h " r2, 2 r 0
2
2Ä„ 2 2 2Ä„ 2 2 2Ä„ 2
2
(x2 + y2)dv = dÕ dr r3 dh = dÕ r3dr 1 dh = dÕ r3 · h 1 dr =
r2
2
1 1
V 0 0 0 0 0 0
r2 r2
2 2
2Ä„ 2 2Ä„ 2 2Ä„
2
1 1 1 1
= dÕ r3 · 2 - r2 dr = dÕ 2r3 - r5 dr = r4 - r6 dÕ =
2 2 2 12 0
0 0 0 0 0
2Ä„
2 2 4
= dÕ = · 2Ä„ = Ä„.
3 3 3
0
x2 y2 z2 x2 y2 z2
1 - - - dv V + + = 1
a2 b2 c2 a2 b2 c2
V
V (0, 0, 0)
Å„Å‚
x = a · r cos Õ cos È
òÅ‚
y = b · r sin Õ cos È ,
ół
z = c · r sin È
"(x, y, z)
JT = = abcr2 cos È.
"(r, Õ, È)
Ä„ Ä„
Õ " [0, 2Ä„] È " - , r
2 2
x2 y2 z2
+ + 1,
a2 b2 c2
a2r2 cos2 Õ cos2 È b2r2 sin2 Õ cos2 È c2r2 sin2 È
+ + 1,
a2 b2 c2
r2 cos2 Õ cos2 È + r2 sin2 Õ cos2 È + r2 sin2 È 1,
r2 cos2 È(cos2 Õ + sin2 Õ) + r2 sin2 È 1,
r2 cos2 È + r2 sin2 È 1,
r2 1.
r " [0, 1]
ëÅ‚ Ä„ ëÅ‚ öÅ‚
öÅ‚
2Ä„ 1
2
x2 y2 z2
ìÅ‚
íÅ‚
1 - - - dv = abcr2 cos È · 1 - r2 drÅ‚Å‚ dÈ÷Å‚ dÕ =
íÅ‚ Å‚Å‚
a2 b2 c2
Ä„
V 0 - 0
2
Ä„
2Ä„ 1 1
2
abc dÕ · cos È dÈ · r2 · 1 - r2 dr = 4abcÄ„ r2 · 1 - r2 dr.
Ä„
0 -
0 0
2
x2 + y2 + z2 = z
1
V x2 +y2 +z2 = z 0, 0,
2
1
Á(x, y, z) = x2 + y2 + z2 m
2
m = x2 + y2 + z2 dv
V
Å„Å‚
x = r cos Õ cos È
òÅ‚
"(x, y, z)
y = r sin Õ cos È , JT = = r2 cos È.
ół "(r, Õ, È)
z = r sin È
Ä„
Õ " [0, 2Ä„] È " 0, r
2
x2 + y2 + z2 z,
r2 r sin È,
r(r - sin È) 0.
È sin È 0 r " [0, sin È]
ëÅ‚ öÅ‚
Ä„ ëÅ‚ öÅ‚ Ä„ ëÅ‚ öÅ‚
sin È sin È
2Ä„ 2Ä„
2 2
ìÅ‚
íÅ‚ íÅ‚cos È r3 drÅ‚Å‚ dÈ =
m = r2 cos È · r drÅ‚Å‚ dÈ÷Å‚ dÕ = dÕ ·
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0 0 0 0 0
Ä„ Ä„
2 2
Ä„
2Ä„ sin È
1 1 Ä„ 1 Ä„
2
Õ · cos È · r4 dÈ = · 2Ä„ · cos È · sin4 È dÈ = · sin5 È =
0 4 0 4 2 5 0 10
0 0
x2 + y2 = z x2 + y2 = z2
V
V V = (x, y, z) : x2 + y2 z x2 + y2
|V | = 1dxdydz.
V
Å„Å‚
x = r cos Õ
òÅ‚
"(x, y, z)
y = r sin Õ , JT = = r, Õ " [0, 2Ä„], r " [0, 1], h " [r2, r].
ół "(r, Õ, h)
z = h
ëÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ öÅ‚
2Ä„ 1 r 1
Ä„
íÅ‚ íÅ‚
|V | = dhÅ‚Å‚ drÅ‚Å‚ dÕ = 2Ä„ (r - r2)dr = .
3
0 0 0
r2