CALKA P OT RÓJN A
D E FIN ICJA . Obszar normalny wzgl� plaszczyzny 0 xy, t o z b i�o r
edem
Bxy = {( x,y,z) : ( x, y) " D, p( x, y) d" z d" q( x, y) },
g d z ie D �" R2 t o o b s z a r r e g u la r n y, fu n kc je p( x, y) i q( x, y) s a� c ia� g le w D i s p e ln ia ja�
w n im wa r u n e k p( x,y) d" q( x,y) .
P o d o b n ie d e fi n iu je s i�e o b s z a r y n o r m a ln e wz g l�e d e m p o z o s t a lyc h p la s z c z yz n u kla d u
ws p �o lr z �e d n yc h .
D E FIN ICJA . Obszarem regularnym n a z ywa m y s u m �e s ko n� c z o n e j lic z b y o b s z a r �o w
n o r m a ln yc h .
D E FIN ICJA . Za l�o zŁm y, zŁe fu n kc ja f( x, y, z) je s t o g r a n ic z o n a w o b s z a r z e r e g u la r n ym
B. D z ie lim y z b i�o r B n a n d o wo ln yc h o b s z a r �o w r e g u la r n yc h B1, .. . , Bn o p a r a m i
r o z l� c z n yc h wn �e t r z a c h . N ie c h " , d la i = 1 , 2 ,. . .n, o z n a c z a o b j�e t o �s �c o b s z a r u Bi.
a
i
N a jwi�e ks z a� z e �s r e d n ic z b io r �o w B1, .. . ,Bn o z n a c z a m y p r z e z �n i n a z ywa m y norm�
a
podzialu. W ka zŁd ym z b io r z e Bi wyb ie r a m y d o wo ln ie p u n kt ( xi, yi, zi) . Two r z ym y
sum� calkow�
e a
�n = f( x1, y1,z1) " + f( x2, y2, z2) " + � � � + f( xn, yn, zn) " .
1 2 n
Ta k p o s t �e p u je m y d la n = 2 , 3 , .. . o t r z ym u ja� c p e wie n c ia� g p o d z ia l�o w z b io r u B.
Cia� g t e n n a z ywa m y ci� normalnym podzialów, je zŁe li lim �n = 0 .
agiem
n"
Je zŁe li d la ka zŁd e g o c ia� g u n o r m a ln e g o p o d z ia l�o w z b io r u B is t n ie je s ko n� c z o n a g r a n ic a
lim �n ( t a ka s a m a b e z wz g l�e d u n a wyb �o r z b io r �o w Bi o r a z p u n kt �o w ( xi, yi, zi) ) ,
n"
t o g r a n ic �e t �e n a z ywa m y calk� potrójn� funkcji f( x, y, z) w zbiorze B i o z n a c z a m y
a a
f( x,y, z) dxdydz, a fu n kc j�e f n a z ywa m y calkowaln� w z b io r z e B.
a
B
IN TE R P R E TA CJA . Je zŁe li :( x, y, z) o z n a c z a g �e s t o �s �c m a t e r ia lu w p u n kc ie ( x, y, z) ,
t o m a s a o b s z a r u B je s t r �o wn a :( x, y, z) dxdydz.
B
TW IE R D ZE N IE .
Fu n kc ja c ia� g la w o b s z a r z e r e g u la r n ym je s t w n im c a lko wa ln a .
W L A S N OS� CI. Za kla d a m y, zŁe fu n kc je f( x, y, z) o r a z g( x, y, z) s a� c a lko wa ln e w o b -
s z a r z e r e g u la r n ym B.
f( x,y, z) ą g( x, y, z) dxdydz = f( x,y,z) dxdydz ą g( x, y,z) dxdydz;
B B B
f( x,y, z) dxdydz =  f( x, y,z) dxdydz;
B B
je �s li B je s t s u m a� o b s z a r �o w r e g u la r n yc h B1 i B2 o r o z la� c z n yc h wn �e t r z a c h , t o
f( x,y, z) dxdydz = f( x, y,z) dxdydz + f( x, y,z) dxdydz;
B B1 B2
o b j�e t o �s �c b r yly B je s t r �o wn a 1 dxdydz.
B
TW IE R D ZE N IE . Gd y f je s t c ia� g la w o b s z a r z e n o r m a ln ym Bxy, t o
q(x,y)
f( x, y,z) dxdydz = f( x, y, z) dz dxdy.
Bxy D p(x,y)
1
P R ZY K L A D . S t o s u ja� c c a lki p o t r �o jn e z n a le �z �c ws p �o lr z �e d n e �s r o d ka m a s y ( xs, ys, zs)
p i�e c io �s c ia n u B o wie r z c h o lka c h ( 0 , 0 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 ) , ( 1 ,1 , 0 ) ,( 0 , 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ,1 ) , ( 1 ,1 , 1 ) ,
je zŁe li g �e s t o �s �c :( x, y, z) = 2 .
B r yla B d a s i�e o p is a �c n a s t �e p u ja� c o : {( x, y, z) : 0 d" x d" 1 , 0 d" y d" x, 0 d" z d" 1 }.
P o d s t a wia m y d o wz o r u n a ws p �o lr z �e d n e �s r o d ka m a s y
1 1
xs = x:( x,y, z) dxdydz, ys = y:( x, y, z) dxdydz,
m m
B B
1
zs = z:( x, y, z) dxdydz, m = :( x,y, z) dxdydz.
m
B B
Za t e m
1 x 1
m = 2 dz dy dz =
0 0 0
z=1 y=x
1 x 1 x 1 x
2 z dy dx = 2 dy dx = 2 y dx = 2 xdx = x2 1 = 1 ;
0 0 0 0 0 0
z=0 y=0 0
1 x 1
1
xs = 2 xdz dy dz =
1 0 0 0
1 x z=1 1 x 1 y=x 1
2
2 xz xdy dx = 2 xdy dx = 2 xy dx = 2 x2dx = ;
0 0 z=0 0 0 0 y=0 0 3
1 x 1 1 x 1 1
1
ys = 2 ydz dy dz = 2 ydy dx = y2 y=xdx = x2dx = ;
0 0 0 0 0 0 y=0 0 3
1 x 1 1 x 1 x 1
1
zs = 2 zdz dy dz = z2 z=1dy dx = 1 dy dx = xdx = ;
0 0 0 0 0 z=0 0 0 0 2
D E FIN ICJA . W spólrz� sferyczne, t o lic z b y : " [0 , ") , � " [0 ,2 Ą], Ś " [0 ,Ą]
edne
t a kie , zŁe
x = : s in Ś c o s �, y = : s in Ś s in �, z = : c o s Ś.
TW IE R D ZE N IE . Gd y S je s t z b io r e m B  o p is a n ym  we ws p �o lr z �e d n yc h s fe r yc z n yc h ,
t z n . S = {( :,�, Ś) : ( : s in Ś c o s �,: s in Ś s in �,: c o s Ś) " B} i g d y fu n kc ja f je s t
c ia� g la w o b s z a r z e r e g u la r n ym B, t o
f( x, y, z) dxdydz = f( : s in Ś c o s �, : s in Ś s in �, : c o s Ś) �:2 s in Ś d:d�dŚ.
B S
Cz yn n ik :2 s in Ś t o o d p o wie d n i jakobian.
P R ZY K L A D . Ob lic z y�c m a s �e ku li o p r o m ie n iu 1 wyko n a n e j z m a t e r ia lu , kt �o r e g o
g �e s t o �s �c w ka zŁd ym p u n kc ie je s t r �o wn a o d le g lo �s c i t e g o p u n kt u o d �s r o d ka t e j ku li.
Je �s li u kla d ws p �o lr z �e d n yc h wyb ie r z e m y t a k, b y je g o �s r o d e k b yl �s r o d kie m ku li K, t o
g �e s t o �s �c :( x, y, z) = x2 + y2 + z2, a wi�e c m = x2 + y2 + z2 dxdydz. K u la
K
K t o o b s z a r o p is a n y we ws p �o lr z �e d n yc h s fe r yc z n yc h ja ko
S = {( :,�, Ś) : 0 d" : d" 1 , 0 d" � d" 2 Ą, 0 d" Ś d" Ą}.
Oc z ywi�s c ie x2 + y2 + z2 = :. Za t e m
1 2Ą Ą
m = : � :2 s in Ś d:d�dŚ = :3 s in Ś dŚ d� d: =
S 0 0 0
1 2Ą 1 2Ą 1
1
Ś=Ą
-:3 c o s Ś d� d: = 2 :3 d� d: = 4 Ą:3d: = 4 Ą :4 1 = Ą.
Ś=0 0
4
0 0 0 0 0