1
Obszar normalny w przestrzeni
Definicja Niech D będzie obszarem regularnym na płaszczyz
nie
OXY . Wówczas obszar ograniczony i domknięty V �" R3 postaci:
ńł �ł
�ł żł
V = (x, y, z) " R3 : (x, y) " D, h(x, y) z g(x, y) ,
ół �ł
gdzie funkcje h(x, y) i g(x, y) są ciągłe na D oraz
h(x, y) < g(x, y) dla punktów (x, y) z wnętrza obszaru D ,
nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny OXY .
(Analogicznie definiujemy obszary normalne względem płaszczyzn
OXZ i OY Z ).
2
ńł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
(x, y) " D
�ł
�ł
V :
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
h(x, y) z g(x, y)
�ł
ół
3
Całka potrójna
Definicja Niech funkcja f = f(x, y, z) będzie ograniczona i
ciągła na obszarze V normalnym względem płaszczyzny OXY .
Wówczas całkę potrójną po obszarze V definiujemy wzorem:
g(x,y)

def
f(x, y, z) dxdydz = dxdy f(x, y, z) dz.
V D
h(x,y)
Przykład Niech V oznacza ostrosłup ograniczony płaszczyznami
układu współrzędnych oraz płaszczyzną x + y + z = 4 . Całkę

(4 - x) dxdydz
V
sprowadzić do całki pojedyńczej.
4
Uwagi: (o całce potrójnej w prostopadłościanie)
" Jeżeli funkcja f = f(x, y, z) jest ograniczona i ciągła w

P = (x, y, z) " R3 : a1 x a2, b1 y b2, c1 z c2 ,
5
to
a2 b2 c2

f(x, y, z) dxdydz = dx dy f(x, y, z) dz =
a1 c1
P b1
c2 a2 b2 b2 c2 a2

= dz dx f(x, y, z) dy = dy dz f(x, y, z) dx = . . .
c1 a1 c1 a1
b1 b1
" Jeżeli ponadto funkcja f(x, y, z) = f1(x) � f2(y) � f3(z) , to

f(x, y, z) dxdydz =
P
�ł �ł
�ł �ł �ł �ł
a2 b2 c2
�ł �ł

�ł �ł �ł �ł
�ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł
�ł �ł �ł �ł
= f1(x) dx � �ł f2(y) dy �ł � f3(z) dz
�ł łł �ł łł
�ł łł
a1 c1
b1
6
Przykład Oblicz

ex+2y-ln z dxdydz,
P

P = (x, y, z) " R3 : 0 x ln 2, 0 y ln 3, 1 z e .
Przykład Niech V oznacza obszar ograniczony płaszczyznami
" "
z = 0 i x + z = 4 oraz powierzchniami y = x i y = 2 x .
Oblicz:

4yz dxdydz.
V
7
Własności całki potrójnej
" Jeżeli funkcje f1 i f2 są całkowalne w V , to dla dowolnych
ą, � " R zachodzi

( ą f1(x, y, z) + � f2(x, y, z) ) dxdydz =
V

= ą f1(x, y, z) dxdydz + � f2(x, y, z) dxdydz.
V V
" Jeżeli zbiór V " R3 jest sumą skończonej ilości zbiorów normalnych
względem jednej z płaszczyzn układu o parami rozłącznych wnętrzach
tj. V = V1 *" V2 *" � � � *" Vn , to

f(x, y, z) dxdydz = f(x, y, z) dxdydz +
V V1

+ f(x, y, z) dxdydz + . . . + f(x, y, z) dxdydz.
V2 Vn
8
" Jeżeli funkcja f jest całkowalna w V oraz f(x, y, z) 0 dla
(x, y, z) " V , to

f(x, y, z) dxdydz 0.
V
Objętość bryły V

def
dxdydz = | V |
V
Przykład Oblicz objętość bryły V ograniczonej powierzchniami:
a) y = 1, y = x2, z = x2 + y2, z = 2x2 + 2y2
b) x2 + y2 = 1, z = -1, z = 1 + x2 + y2
9
" Jeżeli funkcja f jest całkowalna w V , to







f(x, y, z) dxdydz | f(x, y, z) | dxdydz M | V | ,



V V
gdzie M = max | f(x, y, z) | .
V
10
Współrzędne walcowe (cylindryczne)

" r - odległość punktu P od początku układu, 0 r < +"


" � - miara kąta zorientowanego, jaki tworzy wektor OP
z dodatnim kierunkiem osi OX , 0 � 2Ą (albo
-Ą � Ą )
" |z| - odległość punktu P od płaszczyzny OXY
11
Definicja Trójkę (r, �, z) nazywamy współrzędnymi walcowymi
(lub cylindrycznymi) punktu w przestrzeni.
Związek pomiędzy współrzędnymi walcowymi a kartezjańskimi jest
następujący:
ńł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł x = r cos �
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł y = r sin �
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł z = z
ół
Przekształcenie
(r, �, z) - (x, y, z)
nazywamy przekształceniem walcowym (cylindrycznym) a Jakobian
tego przekształcenia jest równy:
12




"x "x "x

cos � -r sin � 0

"r "� "z




"y "y "y

J = = = r
sin � r cos � 0

"r "� "z




"z "z "z

0 0 1

"r "� "z
Twierdzenie Niech obszar V0 dany we współrzędnych walcowych
będzie regularny oraz niech funkcja f(x, y, z) będzie ciagła na
obszarze V będącym obrazem V0 w przekształceniu walcowym.
Wówczas

f(x, y, z) dxdydz = f(r cos �, r sin �, z) r drd�dz
V V0
13
Uogólnione współrzędne walcowe
ńł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł x = a r cos �
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł y = b r sin � J = a b r
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł z = z
ół

f(x, y, z) dxdydz = f(a r cos �, b r sin �, z) ab r drd�dz
V V0
14
Współrzędne sferyczne
" r - odległość punktu P od początku układu, 0 r < +"


" � - miara kąta zorientowanego, jaki tworzy wektor OP
z dodatnim kierunkiem osi OX , 0 � 2Ą

" � - miara kąta zorientowanego, jaki tworzy wektor OP
Ą


z wektorem OP , -Ą �
2 2
15
Definicja Trójkę (r, �, �) nazywamy współrzędnymi sferycznymi
punktu w przestrzeni.
Związek pomiędzy współrzędnymi sferycznymi a kartezjańskimi jest
następujący:
ńł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł x = r cos � cos �
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł y = r sin � cos �
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł z = r sin �
ół
Przekształcenie
(r, �, �) - (x, y, z)
nazywamy przekształceniem sferycznym a Jakobian tego przekształcenia
jest równy:
16





cos � cos � -r sin � cos � -r cos � sin �






J = = r2 cos �
sin � cos � r cos � cos � -r sin � sin �







sin � 0 r cos �

Twierdzenie Niech obszar V0 dany we współrzędnych sferycznych
będzie regularny oraz niech funkcja f(x, y, z) będzie ciagła na
obszarze V będącym obrazem V0 w przekształceniu sferycznym.
Wówczas

f(x, y, z) dxdydz =
V

= f( r cos � cos � , r sin � cos � , r sin � ) r2 cos � drd�d�
V0
17
Przykład Oblicz objętość bryły V ograniczonej sferą x2 + y2 +
z2 = 2 i górną częścią stożka x2 + y2 = z2 .
ńł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł 0 � 2Ą
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
Ą Ą
V �!- V0 :
�ł �
�ł
�ł
�ł 4 2
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
"
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł 0 r 2
ół
18
Ćwiczenie Zrób powyższe zadanie korzystając z współrzędnych
walcowych.
Uogólnione współrzędne sferyczne
ńł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł x = a r cos � cos �
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł y = b r sin � cos � J = a b c r2 cos �
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł z = c r sin �
ół

f(x, y, z) dxdydz =
V

f(a r cos � cos � , b r sin � cos � , c r sin � ) abc r2 cos � drd�d�
V0
19
Zastosowania całki potrójnej w mechanice
Niech = (x, y, z) będzie dana ciągłą gęstością masy bryły V .
" Masa obszaru normalnego V �" R3 :

def
M = (x, y, z) dV, ( dV = dxdydz )
V
" Momenty statyczne bryły V względem płaszczyzn układu:

MXY def z (x, y, z) dV,
=
V

MXZ def y (x, y, z) dV,
=
V

MY Z def x (x, y, z) dV,
=
V
20
" Współrzędne środka ciężkości:
MY Z 1
xc def = x (x, y, z) dV,
=
M M
V
MXZ 1
yc def = y (x, y, z) dV,
=
M M
V
MXY 1
zc def = z (x, y, z) dV,
=
M M
V
" Momenty bezwładności bryły V względem osi układu:

IX def (x, y, z) ( y2 + z2 ) dV,
=
V

IY def (x, y, z) ( x2 + z2 ) dV,
=
V

IZ def (x, y, z) ( x2 + y2 ) dV,
=
V
21
" Moment bezwładności bryły V względem początku układu:

IO def (x, y, z) ( x2 + y2 + z2 ) dV,
=
V
Przykład Oblicz masę bryły V ograniczonej powierzchniami:
z = 1 i x2 + y2 = z2 , jeżeli jej gęstość w każdym punkcie (x, y, z)

wyraża się wzorem (x, y, z) = x2 + y2
22
Przykład Korzystając z całki potrójnej obliczyć moment bezwładności
jednorodnej bryły ograniczonej powierzchniami: z = 2 i x2 + y2 -
2z = 0 względem osi OZ .
Uwaga Bryła jednorodna to bryła o stałej gęstości rozkładu masy,
tj. przyjmiemy, że
(x, y, z) = 0 > 0.