RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI TRZECH ZMIENNYCH.
CAA
KA POTRÓJNA.
Def.
Obszar domknięty V z przestrzeni R3,
_ _
gdzie V = (x, y, z) " R3 : (x, y) "DNOX , g(x, y) d" z d" h(x, y), g, h " C0(D; R)
oraz g(x, y) < z < h(x, y) dla (x, y) " DNOX (NOY)
nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny OXY.
..............................................................................................................
Niech F będzie funkcją rzeczywistą trzech zmiennych określoną na obszarze V
domkniętym , normalnym względem płaszczyzny OXY.
Całkę potrójną możemy zdefiniować analogicznie jak całkę podwójną.
..................................................................................................................
Podamy jednak tylko
Tw.
Jeżeli funkcja F jest ciągła na obszarze normalnym V względem płaszczyzny OXY, to:
îÅ‚È(x) îÅ‚h(x,y) Å‚Å‚ Å‚Å‚
b
df
ïÅ‚ ïÅ‚ śł śł
F(x, y, z) dxdydz = F(x, y, z)dzśłdyśłdx. (1)
ïÅ‚ ïÅ‚
+" +" +" +" +" +"
ïÅ‚Õ(x) ïÅ‚g(x,y) śł śł
a
V
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ûÅ‚
..................................................................................................................
Analogicznie okreslamy obszar V‚" R3 normalny wzglÄ™dem pozostaÅ‚ych dwóch pÅ‚aszczyzn ukÅ‚adu
współrzednych oraz formułujemy twierdzenia wyrażające związek między całką potrójną a całką
iterowanÄ… w tych obszarach.
..................................................................................................................
Obszar domknięty V będący sumą skończonej ilości obszarów normalnych
(względem płasczyzn OXY lub OXZ lub OYZ ), które nie mają wspólnych punktów
wewnętrznych , nazywamy obszarem regularnym w przestrzeni R3 .
..................................................................................................................
Tw.
Całka potrójna funkcji F (x,y,z), na obszarze regularnym domkniętym w R3 będącym sumą
skończonej liczby obszarów normalnych (względem płaszczyzn OXY, OXZ lub OYZ), które
nie mają wspólnych punktów wewnętrznych,
jest sumą całek potrójnych tej funkcji na poszczególnych obszarach normalnych.
........................................................................................................................
1
Wybrane własności całki potrójnej.
Niech
F, G " C0(V, R), Ä…, ² " R, V = V1 *" V2, intV1 )" intV2 = "
(iloczyn wnętrz),(2)
to
[Ä…F(x, y, z) + ² G(x, y, z) dxdydz =
]
+" +" +"
V
= Ä… F(x, y, z) dxdydz + ² G(x, y, z) dxdydz (3)
+" +" +" +" +" +"
V V
.................................................................................................................................
F(x, y, z) dxdydz = F(x, y) dxdydz + F(x, y, z) dxdydz, (4)
+" +" +" +" +" +" +" +" +"
V V1 V2
....................................................................................................................................
F(x, y, z) dxdydz e" 0 dla F(x, y, z) e" 0 na V. (5)
+" +" +"
V
................................................................................................................................
2
Tw. ( o zamianie zmiennych w całce potrójnej).
Jeżeli
1. odwzorowanie
x = x(u,v,w), y = y(u,v,w), z = z(u,v,w) przekształca
wzajemnie jednoznacznie wnÄ™trze obszaru regularnego " ‚" R3
na wnÄ™trze obszaru regularnego V‚" R3,
2. funkcje x, y, z " C1( " ; R),
3. funkcja F " C0( V ; R),
"x "x "x
"u "v "w
"y "y "y
4. jakobian J(u,v,w) = `" 0 na obszarze ",
"u "v "w
"z "z "z
"u "v "w
to
F(x, y, v) dxdydv = F(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) J(u, v, w) dudvdw
+" +" +" +" +" +"
"
V
(6)
........................................................................................................................................
3
W przypadku, gdy obszar V jest sferą lub wycinkiem tej figury, a także i w niektórych innych przy-
padkach, często wygodnie jest przy obliczaniu całki potrójnej wprowadzić a) współrzędne sfe-
ryczne ( kuliste )
x = R cos ¸ cos Õ, y = R cos ¸ sin Õ, z = R sin ¸.
z
P(x,y,z)
R
y
P'(x,y,0)
¸ y
Õ
r
r
P'(x,y,0)
x
Õ
x
W tym przypadku jakobian przybiera postać:
"x "x "x
"x "x "x
"Õ "¸
"R
"u "v "w
"y "y "y
"y "y "y
J(u,v, w) = = =
"Õ "¸
"u "v "w "R
"z "z "z
"z "z "z
"u "v "w
"Õ "¸
"R
cos ¸ cos Õ - R cos ¸ sin Õ - R sin ¸ cos Õ
= = R2cos¸
cos ¸ sin Õ R cos ¸ cos Õ R cos ¸ cos ¸
sin ¸ 0 R cos ¸
i wzór (6) ma postać
F(x, y) dxdy =
+" +" +"
V
= F(R cos ¸ cos Õ, cos ¸ sin Õ, R sin ¸) R2cos ¸ dRd¸ dÕ
+" +" +"
"
4
lub
b) współrzędne cylindryczne ( walcowe )
x = r cos Õ, y = r sin Õ, z = z
z
P(x,y,z)
y
r
x
W tym przypadku jakobian przybiera postać:
"x "x "x
"x "x "x
"r "Õ "z
"u "v "w
cos Õ - r sin Õ 0
"y "y "y
"y "y "y
J(u, v, w) = = = = r.
sin Õ r cos Õ 0
"r "Õ "z
"u "v "w
0 0 1
"z "z "z
"z "z "z
"u "v "w
"r "Õ "z
i wzór (6) ma postać
F(x, y) dxdy = F(r cos Õ, r sin Õ, z) r drdz dÕ
+" +" +" +" +" +"
"
V
5
Zastosowania całki potrójnej.
1. Obliczanie objętości obszaru .
Jeżeli V jest obszarem regularnym V ‚" R3 , to
V = dxdydz .
+" +" +"
V
2. Obliczanie masy obszaru.
Jeżeli F(x,y) jest gęstością objętościową masy obszaru regularnego
V ‚" R3 i F " C0(V; R), to masÄ™ obszaru V wyraża wzór:
m = F(x, y, z) dxdydz
+" +" +"
V
5. Obliczanie momentów statycznych oraz momentów bezwładności.
Jeżeli F(x,y,z) jest gęstością objętościową masy obszaru regularnego
V ‚" R3 i F " C0(V; R), to momenty statyczne Mxy
(względem płaszczyzny OXY) , Mxz
(względem płaszczyzny OXZ)
oraz Myz
(względem płaszczyzny OYZ) wyrażają wzory:
Mxy = z F(x, y, z) dxdydz ,
+" +" +"
V
Mxz = y F(x, y, z) dxdydz
+" +" +"
V
oraz
Myz =
+" +" +"x F(x, y, z) dxdydz
V
Bxz (względem płaszczyzny OXZ
zaś momenty bezwładności (względem płaszczyzny OXZ) , Bxz
oraz Byz
względem płaszczyzny OYZ, wyrażają wzory:
Bxy =
+" +" +"z2 F(x, y, z) dxdydz ,
V
Bxz =
+" +" +"y2 F(x, y, z) dxdydz ,
V
Byz = x2 F(x, y, z) dxdydz .
+" +" +"
V
6. Obliczanie środka ciężkości.
WspółrzÄ™dne ¾, ·, Å› Å›rodka ciężkoÅ›ci S(¾, ·, Å›) masy obszaru V ‚" R3
wyrażają wzory:
Myz
Mxz Å› = Mxy
¾ = , · = , .
m m m
6
Przykład.
Oblicz objętość bryły , ograniczonej częściami powierzchni :
Å„Å‚
S1 : z = 4 - x2 - y2 üÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ żł
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚
S2 : z = x2 + y2 ôÅ‚
ół þÅ‚
z
-2
2
y
x
Znajdz
my linię przecięcia powierzchni S1 i S2
4 - x2 - y2 = x2 + y2 , skÄ…d x2 + y2 = 2 dla z = 2 ,
zatem
Å„Å‚ üÅ‚
- 2 d" x d" 2
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
P(x, y, z) " V Ô! - 2 - x2 d" y d" 2 - x2 .
òÅ‚ żł
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚
x2 + y2 d" z d" 4 - x2 - y2 ôÅ‚
ół þÅ‚
îÅ‚
-
2 2-x2 4 - x2 y2 Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
Stąd V = dxdydz = dzdyśłdx.
ïÅ‚ śł
+" +" +" +" +" +"
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
V
- 2
ðÅ‚- 2-x2 x2 + y2 ûÅ‚
7
Dokonajmy zamiany zmiennych, wprowadzając współrzędne cylindryczne:
x = r cos Õ, y = r sin Õ, z = z.
Mamy :
Å„Å‚ üÅ‚
0 d" r d" 2
ôÅ‚ ôÅ‚
0 d" Õ d" 2Ä„
òÅ‚ żł
ôÅ‚ ôÅ‚
r d" z d" 4 - r2 þÅ‚
ół
îÅ‚ îÅ‚
2 4-r2 Å‚Å‚ Å‚Å‚
2Ä„
ïÅ‚ ïÅ‚ śł śł
ïÅ‚ ïÅ‚
dxdydz = r d¸śłdÕśłdr
ïÅ‚ ïÅ‚ śł śł
+" +" +" +" +" +"
ïÅ‚ ïÅ‚ śł śł
ïÅ‚0 ïÅ‚ śł śł
r
V 0
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ûÅ‚
lub dokonajmy zamiany zmiennych, wprowadzając współrzędne sferyczne:
x = R cos ¸ cos Õ, y = R cos ¸ sin Õ, z = R sin ¸.
Mamy :
Å„Å‚ üÅ‚
0 d" R d" 2
ôÅ‚ ôÅ‚
0 d" Õ d" 2Ä„
òÅ‚ żł.
Ä„ Ä„
ôÅ‚ ôÅ‚
d" ¸ d"
4 2
ół þÅ‚
Wówczas
îÅ‚
-
2 2-x2 îÅ‚ 4 - x2 y2 Å‚Å‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚ śł śł
ïÅ‚ ïÅ‚
dxdydz = dzśłdyśłdx =
ïÅ‚ ïÅ‚ śł śł
+" +" +" +" +" +"
ïÅ‚ ïÅ‚ śł śł
ïÅ‚ ïÅ‚
V
- 2
x2 + y2 śł śł
ðÅ‚- 2-x2 ðÅ‚ ûÅ‚ ûÅ‚
Ä„
îÅ‚2Ä„ îÅ‚ Å‚Å‚ Å‚Å‚
2 2
ïÅ‚ ïÅ‚ śł śł
ïÅ‚ ïÅ‚
= R2cos ¸d¸śłdÕśłdR
ïÅ‚ ïÅ‚ śł śł
+" +" +"
ïÅ‚ ïÅ‚ śł śł
ïÅ‚ ïÅ‚ śł śł
Ä„
0 0
ðÅ‚ ðÅ‚ 4 ûÅ‚ ûÅ‚
8
Przykład.
Obliczmy objÄ™tość bryÅ‚y V ‚" R3, ograniczonej częściami powierzchni
Å„Å‚
S1 : z = x2 + y2 üÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
,
òÅ‚ żł
S2 : x2 + y2 + 2y = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
S3 : z = 0
ół þÅ‚
z
y
x
Å„Å‚
- -2y - y2 d" x d" -2y - y2 üÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
P(x, y, z) " V Ô! ,
òÅ‚ żł
-2 d" y d" 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
0 d" z d" x2 + y2 þÅ‚
ół
Zatem
V =
+"+" +"dxdydz,
V
gdzie
Å„Å‚ üÅ‚
Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
- -2y - y2 d" x d" -2y - y2 üÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚
(x, y, z) " R3 :
ôÅ‚ òÅ‚ żł ôÅ‚
V = .
òÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ żł
-2 d" y d" 0
ół þÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
0 d" z d" x2 + y2
ół þÅ‚
y
x
9
Ponieważ obszar V jest normalny względem płaszczyzny OXY , zatem
îÅ‚
-2y-y2 îÅ‚x2+y2 Å‚Å‚ Å‚Å‚
0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
V = dzśłdxśłdy =
ïÅ‚ ïÅ‚ śł
+" +" +"dxdydz = +" +" +"
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
V -2 0
ûÅ‚
ðÅ‚- -2y-y2 ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-2y-y2 -2y-y2
0
ïÅ‚ śł
x2 + y2 śł 0 ïÅ‚
ïÅ‚ ïÅ‚
îÅ‚x2 + y2Å‚Å‚dxśłdy.
[ ]
= z dxśłdy=
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
+" +" +" +" ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
-2 -2
ðÅ‚- -2y-y2 ûÅ‚ ðÅ‚- -2y-y2 ûÅ‚
Ponieważ obszar D jest normalny względem osi OY , zatem
îÅ‚ Å‚Å‚
-2y-y2
0 0 îÅ‚
ïÅ‚ śł -2y-y2 Å‚Å‚
Å‚Å‚
śł
ïÅ‚
îÅ‚x2 + y2Å‚Å‚dxśłdy = ïÅ‚îÅ‚ x3
V = + x Å" y2śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ïÅ‚ śłdy =
+" +" ðÅ‚ ûÅ‚ +"
3
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚- -2y-y2
ïÅ‚ śł
-2 -2
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚- -2y-y2 ûÅ‚
3 3
îÅ‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ ëÅ‚- -2y-y2 öÅ‚
0 -2y-y2 öÅ‚
ïÅ‚ ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł śł
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
= =
ëÅ‚ ëÅ‚
+ -2y - y2 öÅ‚ Å" y2 - ïÅ‚
+ -2y - y2 öÅ‚ Å" y2 dy
ïÅ‚ ïÅ‚ śł śł śł
+"
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚- Å‚Å‚
3 3
ïÅ‚ ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł śł
-2
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ûÅ‚
3
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚
0 -2y-y2 öÅ‚ ëÅ‚
ïÅ‚ śł
íÅ‚ Å‚Å‚
=2 + -2y - y2 öÅ‚ Å" y2 dy.
ïÅ‚ śł
+"
íÅ‚ Å‚Å‚
3
ïÅ‚ śł
-2
ðÅ‚ ûÅ‚
Wobec złożonej postaci wyrażenia podcałkowego zastosujmy twierdzenie
o zamianie zmiennych w całce podwójnej:
x = r cos Õ
,
y = r sin Õ
wówczas
x2 + y2 + 2y d" 0 czyli r2 + 2r sin Õ d" 0,
Å„Å‚ üÅ‚
0 d" r d" -2 sin Õ
dla òÅ‚ .
żł
Ä„ d" Õ d" 2Ä„
ół þÅ‚
10
Zatem
2Ä„
îÅ‚-2 sin Õ Å‚Å‚
2Ä„ sin Õ
îÅ‚x2 + y2Å‚Å‚dxdy = ïÅ‚ îÅ‚r3Å‚Å‚drśłdÕ = îÅ‚ r4 Å‚Å‚-2
dÕ=
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
+"+" +" +"
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ +"
4
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚0
Ä„
D 0 Ä„
ðÅ‚ ûÅ‚
2Ä„ 2Ä„ 2Ä„
[-2 sin Õ 1 - cos 2Õ
]4
îÅ‚ Å‚Å‚2
= dÕ = 4 sin4Õ dÕ = 4 dÕ =
ïÅ‚ śł
+" +" +"
4 2
ðÅ‚ ûÅ‚
Ä„ Ä„ Ä„
2Ä„ 2Ä„
1 + cos 4Õ
îÅ‚1 Å‚Å‚
îÅ‚1
= - 2 cos 2Õ + cos22ÕÅ‚Å‚ dÕ= - 2 cos 2Õ + dÕ=
ïÅ‚ śł
+" ðÅ‚ ûÅ‚ +"
2
ðÅ‚ ûÅ‚
Ä„ Ä„
sin 4Õ ( )
îÅ‚ Å‚Å‚2Ä„ sin 4Å"2Ä„
îÅ‚ Å‚Å‚
Õ + 2Ä„ +
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
4
=ïÅ‚Õ - sin 2Õ + = +
śł ïÅ‚2Ä„ - sin (2 Å" 2Ä„) + 2 4 śł
2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚Ä„
sin (4Å"Ä„)
îÅ‚ Å‚Å‚
Ä„ +
ïÅ‚ śł
4 2Ą Ąśł = Ą - Ą Ą
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-ïÅ‚Ä„ - sin (2 Å" Ä„) + =îÅ‚2Ä„ + = .
śł
ðÅ‚ ûÅ‚-ïÅ‚Ä„ +
2 2 ðÅ‚ ûÅ‚ 2 2
2
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Ćwiczenia.
Oblicz całki:
Å„Å‚ üÅ‚
obszar ograniczony powierzchniami
1. ex dxdydz , gdzie V = ,
òÅ‚ żł
+" +" +"
x = o, y = 2, x = ln y, z = 0, z = 1
ół þÅ‚
V
Å„Å‚ üÅ‚
obszar ograniczony powierzchniami
2. 2ydxdydz, gdzie V = ,
òÅ‚ żł
+" +" +"
y = x , y = 0, x + y = 2, z = 0, z = 2
ół þÅ‚
V
îÅ‚x2 + y2 + z2Å‚Å‚ dxdydz , gdzie V = Å„Å‚ obszar ograniczony pow. üÅ‚
3. ,
òÅ‚ żł
+" +"
ðÅ‚ ûÅ‚
x2 + y2 = 4, z = 0, z = 4
ół þÅ‚
V
Å„Å‚ üÅ‚
obszar ograniczony pow.
4. 2 dxdzdy, gdzie V = ,
òÅ‚ żł
+" +" +"
x2 + y2 = 4, z = 0, z = x2 + y2 þÅ‚
ół
V
Å„Å‚ üÅ‚
obszar ograniczony pow.
5. dzdxdy, gdzie V = ,
òÅ‚ żł
+" +" +"
x2 + y2 = -2y, z = 0, z = -x2 - y2 þÅ‚
ół
V
Å„Å‚ üÅ‚
obszar ograniczony pow.
ôÅ‚ ôÅ‚
6. ,
dxdzdy, gdzie V =
òÅ‚ żł
+" +" +"
ôÅ‚ x2 + y2 = -2x + 2y, z = 0, z = x2 + y2 ôÅ‚
V ół þÅ‚
11
Å„Å‚ üÅ‚
obszar ograniczonypow.
7. x2 + y2 dxdydz , gdzie V = ,
òÅ‚ żł
+" +" +"
z = x2 + y2, x2 + y2 = 2x, z = 0
ół þÅ‚
V
Å„Å‚ üÅ‚
obszar ograniczony pow.
8. 1 + x2 + y2 + z2 dxdydz , gdzieV =
òÅ‚ żł,
+" +" +"
x2 + y2 = 4, z = 0, z = 1
ół þÅ‚
V
Å„Å‚ üÅ‚
obszar ograniczony pow.
9. x2 + y2 + z2 dxdzdy, gdzie V = ,
òÅ‚ żł
+" +" +"
z = 1, z = 2, x2 + y2 = 1
ół þÅ‚
V
Å„Å‚ üÅ‚
obszar ograniczony pow.
1
10. dxdydz , gdzie V = ,
òÅ‚ żł
+" +" +"
x2 + y2 = 9, z = 0, z = x2 + y2 þÅ‚
ół
x2 + y2 + z2
V
Å„Å‚ üÅ‚
obszar ograniczony pow.
ôÅ‚ ôÅ‚
1
11. dxdzdy, gdzieV = .
òÅ‚ żł
+" +" +"
ôÅ‚ x2 + y2 = 9, z = 1, z = x2 + y2 ôÅ‚
1 + x2 + y2 + z2 ół þÅ‚
V
12