RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI TRZECH ZMIENNYCH.
CAA
KA POTRÓJNA.
Def.
Obszar domknięty V z przestrzeni R3,
_ _
gdzie V = (x, y, z) " R3 : (x, y) "DNOX , g(x, y) d" z d" h(x, y), g, h " C0(D; R)
oraz g(x, y) < z < h(x, y) dla (x, y) " DNOX (NOY)
nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny OXY.
..............................................................................................................
Niech F będzie funkcją rzeczywistą trzech zmiennych określoną na obszarze V
domkniętym , normalnym względem płaszczyzny OXY.
Całkę potrójną możemy zdefiniować analogicznie jak całkę podwójną.
..................................................................................................................
Podamy jednak tylko
Tw.
Jeżeli funkcja F jest ciągła na obszarze normalnym V względem płaszczyzny OXY, to:
�ł�(x) �łh(x,y) łł łł
b
df
�ł �ł śł śł
F(x, y, z) dxdydz = F(x, y, z)dzśłdyśłdx. (1)
�ł �ł
+" +" +" +" +" +"
�ł�(x) �łg(x,y) śł śł
a
V
�ł �ł �ł �ł
..................................................................................................................
Analogicznie okreslamy obszar V�" R3 normalny względem pozostałych dwóch płaszczyzn układu
współrzednych oraz formułujemy twierdzenia wyrażające związek między całką potrójną a całką
iterowaną w tych obszarach.
..................................................................................................................
Obszar domknięty V będący sumą skończonej ilości obszarów normalnych
(względem płasczyzn OXY lub OXZ lub OYZ ), które nie mają wspólnych punktów
wewnętrznych , nazywamy obszarem regularnym w przestrzeni R3 .
..................................................................................................................
Tw.
Całka potrójna funkcji F (x,y,z), na obszarze regularnym domkniętym w R3 będącym sumą
skończonej liczby obszarów normalnych (względem płaszczyzn OXY, OXZ lub OYZ), które
nie mają wspólnych punktów wewnętrznych,
jest sumą całek potrójnych tej funkcji na poszczególnych obszarach normalnych.
........................................................................................................................
1
Wybrane własności całki potrójnej.
Niech
F, G " C0(V, R), ą, � " R, V = V1 *" V2, intV1 )" intV2 = "
(iloczyn wnętrz),(2)
to
[ąF(x, y, z) + � G(x, y, z) dxdydz =
]
+" +" +"
V
= ą F(x, y, z) dxdydz + � G(x, y, z) dxdydz (3)
+" +" +" +" +" +"
V V
.................................................................................................................................
F(x, y, z) dxdydz = F(x, y) dxdydz + F(x, y, z) dxdydz, (4)
+" +" +" +" +" +" +" +" +"
V V1 V2
....................................................................................................................................
F(x, y, z) dxdydz e" 0 dla F(x, y, z) e" 0 na V. (5)
+" +" +"
V
................................................................................................................................
2
Tw. ( o zamianie zmiennych w całce potrójnej).
Jeżeli
1. odwzorowanie
x = x(u,v,w), y = y(u,v,w), z = z(u,v,w) przekształca
wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru regularnego " �" R3
na wnętrze obszaru regularnego V�" R3,
2. funkcje x, y, z " C1( " ; R),
3. funkcja F " C0( V ; R),
"x "x "x
"u "v "w
"y "y "y
4. jakobian J(u,v,w) = `" 0 na obszarze ",
"u "v "w
"z "z "z
"u "v "w
to
F(x, y, v) dxdydv = F(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) J(u, v, w) dudvdw
+" +" +" +" +" +"
"
V
(6)
........................................................................................................................................
3
W przypadku, gdy obszar V jest sferą lub wycinkiem tej figury, a także i w niektórych innych przy-
padkach, często wygodnie jest przy obliczaniu całki potrójnej wprowadzić a) współrzędne sfe-
ryczne ( kuliste )
x = R cos � cos �, y = R cos � sin �, z = R sin �.
z
P(x,y,z)
R
y
P'(x,y,0)
� y
�
r
r
P'(x,y,0)
x
�
x
W tym przypadku jakobian przybiera postać:
"x "x "x
"x "x "x
"� "�
"R
"u "v "w
"y "y "y
"y "y "y
J(u,v, w) = = =
"� "�
"u "v "w "R
"z "z "z
"z "z "z
"u "v "w
"� "�
"R
cos � cos � - R cos � sin � - R sin � cos �
= = R2cos�
cos � sin � R cos � cos � R cos � cos �
sin � 0 R cos �
i wzór (6) ma postać
F(x, y) dxdy =
+" +" +"
V
= F(R cos � cos �, cos � sin �, R sin �) R2cos � dRd� d�
+" +" +"
"
4
lub
b) współrzędne cylindryczne ( walcowe )
x = r cos �, y = r sin �, z = z
z
P(x,y,z)
y
r
x
W tym przypadku jakobian przybiera postać:
"x "x "x
"x "x "x
"r "� "z
"u "v "w
cos � - r sin � 0
"y "y "y
"y "y "y
J(u, v, w) = = = = r.
sin � r cos � 0
"r "� "z
"u "v "w
0 0 1
"z "z "z
"z "z "z
"u "v "w
"r "� "z
i wzór (6) ma postać
F(x, y) dxdy = F(r cos �, r sin �, z) r drdz d�
+" +" +" +" +" +"
"
V
5
Zastosowania całki potrójnej.
1. Obliczanie objętości obszaru .
Jeżeli V jest obszarem regularnym V �" R3 , to
V = dxdydz .
+" +" +"
V
2. Obliczanie masy obszaru.
Jeżeli F(x,y) jest gęstością objętościową masy obszaru regularnego
V �" R3 i F " C0(V; R), to masę obszaru V wyraża wzór:
m = F(x, y, z) dxdydz
+" +" +"
V
5. Obliczanie momentów statycznych oraz momentów bezwładności.
Jeżeli F(x,y,z) jest gęstością objętościową masy obszaru regularnego
V �" R3 i F " C0(V; R), to momenty statyczne Mxy
(względem płaszczyzny OXY) , Mxz
(względem płaszczyzny OXZ)
oraz Myz
(względem płaszczyzny OYZ) wyrażają wzory:
Mxy = z F(x, y, z) dxdydz ,
+" +" +"
V
Mxz = y F(x, y, z) dxdydz
+" +" +"
V
oraz
Myz =
+" +" +"x F(x, y, z) dxdydz
V
Bxz (względem płaszczyzny OXZ
zaś momenty bezwładności (względem płaszczyzny OXZ) , Bxz
oraz Byz
względem płaszczyzny OYZ, wyrażają wzory:
Bxy =
+" +" +"z2 F(x, y, z) dxdydz ,
V
Bxz =
+" +" +"y2 F(x, y, z) dxdydz ,
V
Byz = x2 F(x, y, z) dxdydz .
+" +" +"
V
6. Obliczanie środka ciężkości.
Współrzędne �, �, ś środka ciężkości S(�, �, ś) masy obszaru V �" R3
wyrażają wzory:
Myz
Mxz ś = Mxy
� = , � = , .
m m m
6
Przykład.
Oblicz objętość bryły , ograniczonej częściami powierzchni :
ńł
S1 : z = 4 - x2 - y2 �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł żł
�ł �ł
�ł
S2 : z = x2 + y2 �ł
ół �ł
z
-2
2
y
x
Znajdz
my linię przecięcia powierzchni S1 i S2
4 - x2 - y2 = x2 + y2 , skąd x2 + y2 = 2 dla z = 2 ,
zatem
ńł �ł
- 2 d" x d" 2
�ł �ł
�ł �ł
P(x, y, z) " V �! - 2 - x2 d" y d" 2 - x2 .
�ł żł
�ł �ł
�ł
x2 + y2 d" z d" 4 - x2 - y2 �ł
ół �ł
�ł
-
2 2-x2 4 - x2 y2 łł
�ł śł
�ł
Stąd V = dxdydz = dzdyśłdx.
�ł śł
+" +" +" +" +" +"
�ł śł
�ł śł
V
- 2
�ł- 2-x2 x2 + y2 �ł
7
Dokonajmy zamiany zmiennych, wprowadzając współrzędne cylindryczne:
x = r cos �, y = r sin �, z = z.
Mamy :
ńł �ł
0 d" r d" 2
�ł �ł
0 d" � d" 2Ą
�ł żł
�ł �ł
r d" z d" 4 - r2 �ł
ół
�ł �ł
2 4-r2 łł łł
2Ą
�ł �ł śł śł
�ł �ł
dxdydz = r d�śłd�śłdr
�ł �ł śł śł
+" +" +" +" +" +"
�ł �ł śł śł
�ł0 �ł śł śł
r
V 0
�ł �ł �ł �ł
lub dokonajmy zamiany zmiennych, wprowadzając współrzędne sferyczne:
x = R cos � cos �, y = R cos � sin �, z = R sin �.
Mamy :
ńł �ł
0 d" R d" 2
�ł �ł
0 d" � d" 2Ą
�ł żł.
Ą Ą
�ł �ł
d" � d"
4 2
ół �ł
Wówczas
�ł
-
2 2-x2 �ł 4 - x2 y2 łł łł
�ł �ł śł śł
�ł �ł
dxdydz = dzśłdyśłdx =
�ł �ł śł śł
+" +" +" +" +" +"
�ł �ł śł śł
�ł �ł
V
- 2
x2 + y2 śł śł
�ł- 2-x2 �ł �ł �ł
Ą
�ł2Ą �ł łł łł
2 2
�ł �ł śł śł
�ł �ł
= R2cos �d�śłd�śłdR
�ł �ł śł śł
+" +" +"
�ł �ł śł śł
�ł �ł śł śł
Ą
0 0
�ł �ł 4 �ł �ł
8
Przykład.
Obliczmy objętość bryły V �" R3, ograniczonej częściami powierzchni
ńł
S1 : z = x2 + y2 �ł
�ł �ł
�ł �ł
,
�ł żł
S2 : x2 + y2 + 2y = 0
�ł �ł
�ł �ł
S3 : z = 0
ół �ł
z
y
x
ńł
- -2y - y2 d" x d" -2y - y2 �ł
�ł �ł
�ł �ł
P(x, y, z) " V �! ,
�ł żł
-2 d" y d" 0
�ł �ł
�ł �ł
0 d" z d" x2 + y2 �ł
ół
Zatem
V =
+"+" +"dxdydz,
V
gdzie
ńł �ł
ńł
�ł �ł
- -2y - y2 d" x d" -2y - y2 �ł �ł
�ł
(x, y, z) " R3 :
�ł �ł żł �ł
V = .
�ł �ł �ł żł
-2 d" y d" 0
ół �ł
�ł �ł
�ł �ł
0 d" z d" x2 + y2
ół �ł
y
x
9
Ponieważ obszar V jest normalny względem płaszczyzny OXY , zatem
�ł
-2y-y2 �łx2+y2 łł łł
0
�ł śł
�ł śł
�ł
V = dzśłdxśłdy =
�ł �ł śł
+" +" +"dxdydz = +" +" +"
�ł śł
�ł śł
�ł śł
V -2 0
�ł
�ł- -2y-y2 �ł �ł
�ł łł �ł łł
-2y-y2 -2y-y2
0
�ł śł
x2 + y2 śł 0 �ł
�ł �ł
�łx2 + y2łłdxśłdy.
[ ]
= z dxśłdy=
�ł śł �ł śł
+" +" +" +" �ł �ł
�ł śł �ł śł
0
�ł śł �ł śł
-2 -2
�ł- -2y-y2 �ł �ł- -2y-y2 �ł
Ponieważ obszar D jest normalny względem osi OY , zatem
�ł łł
-2y-y2
0 0 �ł
�ł śł -2y-y2 łł
łł
śł
�ł
�łx2 + y2łłdxśłdy = �ł�ł x3
V = + x �" y2śł
�ł śł �ł�ł śłdy =
+" +" �ł �ł +"
3
�ł śł
�ł śł
�ł �ł- -2y-y2
�ł śł
-2 -2
�ł �ł
�ł- -2y-y2 �ł
3 3
�ł �ł łł �ł łł łł
�ł �ł- -2y-y2 �ł
0 -2y-y2 �ł
�ł �ł śł �ł śł śł
�ł łł �ł łł
= =
�ł �ł
+ -2y - y2 �ł �" y2 - �ł
+ -2y - y2 �ł �" y2 dy
�ł �ł śł śł śł
+"
�ł łł �ł- łł
3 3
�ł �ł śł �ł śł śł
-2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
3
�ł łł
�ł
0 -2y-y2 �ł �ł
�ł śł
�ł łł
=2 + -2y - y2 �ł �" y2 dy.
�ł śł
+"
�ł łł
3
�ł śł
-2
�ł �ł
Wobec złożonej postaci wyrażenia podcałkowego zastosujmy twierdzenie
o zamianie zmiennych w całce podwójnej:
x = r cos �
,
y = r sin �
wówczas
x2 + y2 + 2y d" 0 czyli r2 + 2r sin � d" 0,
ńł �ł
0 d" r d" -2 sin �
dla �ł .
żł
Ą d" � d" 2Ą
ół �ł
10
Zatem
2Ą
�ł-2 sin � łł
2Ą sin �
�łx2 + y2łłdxdy = �ł �łr3łłdrśłd� = �ł r4 łł-2
d�=
�ł śł �ł śł
+"+" +" +"
�ł �ł �ł �ł +"
4
�ł śł
�ł �ł0
Ą
D 0 Ą
�ł �ł
2Ą 2Ą 2Ą
[-2 sin � 1 - cos 2�
]4
�ł łł2
= d� = 4 sin4� d� = 4 d� =
�ł śł
+" +" +"
4 2
�ł �ł
Ą Ą Ą
2Ą 2Ą
1 + cos 4�
�ł1 łł
�ł1
= - 2 cos 2� + cos22�łł d�= - 2 cos 2� + d�=
�ł śł
+" �ł �ł +"
2
�ł �ł
Ą Ą
sin 4� ( )
�ł łł2Ą sin 4�"2Ą
�ł łł
� + 2Ą +
�ł śł �ł śł
4
=�ł� - sin 2� + = +
śł �ł2Ą - sin (2 �" 2Ą) + 2 4 śł
2
�ł śł �ł śł
�ł �ł
�ł �łĄ
sin (4�"Ą)
�ł łł
Ą +
�ł śł
4 2Ą Ąśł = Ą - Ą Ą
łł �ł łł
-�łĄ - sin (2 �" Ą) + =�ł2Ą + = .
śł
�ł �ł-�łĄ +
2 2 �ł �ł 2 2
2
�ł śł
�ł �ł
Ćwiczenia.
Oblicz całki:
ńł �ł
obszar ograniczony powierzchniami
1. ex dxdydz , gdzie V = ,
�ł żł
+" +" +"
x = o, y = 2, x = ln y, z = 0, z = 1
ół �ł
V
ńł �ł
obszar ograniczony powierzchniami
2. 2ydxdydz, gdzie V = ,
�ł żł
+" +" +"
y = x , y = 0, x + y = 2, z = 0, z = 2
ół �ł
V
�łx2 + y2 + z2łł dxdydz , gdzie V = ńł obszar ograniczony pow. �ł
3. ,
�ł żł
+" +"
�ł �ł
x2 + y2 = 4, z = 0, z = 4
ół �ł
V
ńł �ł
obszar ograniczony pow.
4. 2 dxdzdy, gdzie V = ,
�ł żł
+" +" +"
x2 + y2 = 4, z = 0, z = x2 + y2 �ł
ół
V
ńł �ł
obszar ograniczony pow.
5. dzdxdy, gdzie V = ,
�ł żł
+" +" +"
x2 + y2 = -2y, z = 0, z = -x2 - y2 �ł
ół
V
ńł �ł
obszar ograniczony pow.
�ł �ł
6. ,
dxdzdy, gdzie V =
�ł żł
+" +" +"
�ł x2 + y2 = -2x + 2y, z = 0, z = x2 + y2 �ł
V ół �ł
11
ńł �ł
obszar ograniczonypow.
7. x2 + y2 dxdydz , gdzie V = ,
�ł żł
+" +" +"
z = x2 + y2, x2 + y2 = 2x, z = 0
ół �ł
V
ńł �ł
obszar ograniczony pow.
8. 1 + x2 + y2 + z2 dxdydz , gdzieV =
�ł żł,
+" +" +"
x2 + y2 = 4, z = 0, z = 1
ół �ł
V
ńł �ł
obszar ograniczony pow.
9. x2 + y2 + z2 dxdzdy, gdzie V = ,
�ł żł
+" +" +"
z = 1, z = 2, x2 + y2 = 1
ół �ł
V
ńł �ł
obszar ograniczony pow.
1
10. dxdydz , gdzie V = ,
�ł żł
+" +" +"
x2 + y2 = 9, z = 0, z = x2 + y2 �ł
ół
x2 + y2 + z2
V
ńł �ł
obszar ograniczony pow.
�ł �ł
1
11. dxdzdy, gdzieV = .
�ł żł
+" +" +"
�ł x2 + y2 = 9, z = 1, z = x2 + y2 �ł
1 + x2 + y2 + z2 ół �ł
V
12