Wydział: WiLiŚ, Budownictwo, sem.3
dr Jolanta Dymkowska
Całka krzywoliniowa zorientowana

Zad.1 Oblicz 2x dx + y dy , gdzie łuk L jest ćwiartką okręgu x2 + y2 = 1 zorientowaną od A(1, 0) do B(0, 1).
L

Zad.2 Oblicz xy dx + x dy , gdzie łuk L jest elipsą 9x2 + 4y2 = 36 zorientowaną ujemnie względem swego wnętrza.
L

Zad.3 Oblicz (x2 - 2xy) dx + (2xy + y2) dy , gdzie L jest łukiem paraboli y = x2 zorientowanym od A(1, 1) do
L
B(2, 4).

Zad.4 Oblicz 2xy dx - x2 dy , gdzie L jest odcinkiem zorientowanym od A(0, 0) do B(1, 1).
L

Zad.5 Oblicz x2 dx+y2 dy , gdzie L jest okręgiem x2 +y2 = 25 zorientowanym dodatnio względem swego wnętrza.
L

Zad.6 Oblicz y dx + 2x dy , gdzie łuk L jest elipsą 4x2 + y2 = 4 zorientowaną ujemnie względem swego wnętrza.
L

Zad.7 Oblicz (2x3 - 11y) dx + (4x + sin y) dy , gdzie L jest okręgiem x2 + y2 = 9 zorientowanym dodatnio
L
względem swego wnętrza.

Zad.8 Oblicz y dx + 2x dy , gdzie łuk L jest brzegiem kwadratu o wierzchołkach O(0, 0) , A(1, 0) , B(1, 1) ,
L
C(0, 1) zorientowanym dodatnio względem swego wnętrza.

1
Zad.9 Oblicz xy dx - x2 dy , gdzie L jest wykresem funkcji y = dla 1 x 4.
x
L

Zad.10 Oblicz (x2 - 2xy) dx + (y2 - 2xy) dy , gdzie L jest wykresem funkcji y = x2 dla -1 x 1.
L

Zad.11 Oblicz x dx + y dy , gdzie L jest łukiem elipsy x2 + 4y2 = 4 zorientowanym od A(2, 0) do B(0, 1).
L

Zad.12 Oblicz x2 dx - 2y dy , gdzie łuk L jest górnym półokręgiem (x - 1)2 + y2 = 1 zorientowany ujemnie
L
względem wnętrza okręgu.

Zad.13 Oblicz xy dx + x2 dy , gdzie łuk L jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A(0, 0) , B(1, 2) , C(-1, 4)
L
zorientowanym dodatnio względem swego wnętrza.

Zad.14 Oblicz x2y dx + xy(y + 1) dy , gdzie L jest okręgiem x2 + y2 + 2y = 0 zorientowanym dodatnio względem
L
swego wnętrza.

Zad.15 Oblicz x dx + y dy + z dz , gdzie łuk L ma parametryzację: x(t) = 2t , y(t) = t2 , z(t) = 1 - t , 0 t 1,
L
zgodną z jego orientacją.

Zad.16 Oblicz (y - z) dx + (z - x) dy + (x - y) dz , gdzie łuk L jest linią śrubową o parametryzacji: x(t) = cos t ,
L
y(t) = sin t , z(t) = t , 0 t 2Ą, przy czym parametryzacja ta nie jest zgodna z orientacją łuku L .

Zad.17 Oblicz (3x+5z) dx+(x+4y) dy +(6x-z) dz , gdzie łuk L jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A(2, 0, 0) ,
L
B(0, 2, 0) , C(-0, 0, 2) zorientowanym dodatnio względem swego wnętrza.

Zad.18 Oblicz xy dx + 3xz dy - 5x2yz dz , gdzie łuk L ma parametryzację: x(t) = t , y(t) = t2 , z(t) = t3 ,
L
0 t 1, zgodną z jego orientacją.

Zad.19 Oblicz 2xy dx + x2 dy , gdzie A(0, 0) , B(1, 1).

AB

Zad.20 Oblicz xy2 dx + yx2 dy , gdzie A(2, 0) , B(0, 2).

AB

Zad.21 Oblicz xyex dx + (x - 1)ex dy , gdzie A(0, 2) , B(1, 2).

AB

1
Zad.22 Oblicz -x cos y dx + x2 sin y dy , gdzie A(0, 0) , B(0, Ą).
2

AB

Zad.23 Oblicz (2x + y) dx + (x - 2y - 3) dy , gdzie A(0, 0) , B(1, 1).

AB


x
Zad.24 Oblicz (x + ln y) dx + + sin y dy , gdzie A(1, 1) , B(0, Ą).
y

AB

Ą Ą Ą Ą
Zad.25 Oblicz (sin 2y - ytg x) dx + (2x cos 2y + ln cos x + 2y) dy , gdzie A - , , B , .
3 3 3 3

AB

Zad.26 Oblicz (6x2y2 - 5x2) dx + y4 + 4yx3 dy , gdzie A(0, 3) , B(-1, -2).

AB

Ą Ą
Zad.27 Oblicz cos 4y dx - 4x sin 4y dy , gdzie A 1, , B 2, .
6 4

AB


1 x
Zad.28 Oblicz 4xy3 - dx + 6x2y2 + dy , gdzie A(3, 2) , B(0, 1).
y y2

AB

Ą
Zad.29 Oblicz ex cos y dx - ex sin y dy , gdzie A (0, 0) , B 1, .
2

AB

Zad.30 Oblicz x dx + y dy + z dz , gdzie A(1, 1, 1) , B(2, 3, -1).

AB

Zad.31 Oblicz (x2 - 2yz) dx + (y2 - 2xz) dy + (z2 - 2xy) dz , gdzie A(0, 0, 0) , B(1, 1, 1).

AB


x2y x2y
Zad.32 Oblicz 2xy ln(y + z) dx + x2 ln(y + z) + dy + dz , gdzie A(0, 0, 1) , B(2, 3, 0).
y+z y+z

AB
Zad.33 Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć następujące całki krzywoliniowe zorientowane. Sprawdzić wyniki
obliczjąc te całki bezpośrednio.

a) Oblicz (x + y) dx + 2x dy , gdzie łuk L jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A(0, 0) , B(2, 0) ,
L
C(0, 2) zorientowanym dodatnio względem swego wnętrza,

b) Oblicz y2 dx - (x + y)2 dy , gdzie łuk L jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A(1, 0) , B(1, 1) ,
L
C(0, 1) zorientowanym ujemnie względem swego wnętrza,

c) Oblicz y dx - (x + y) dy , gdzie łuk L jest krzywą zamkniętą zorientowaną dodatnio względem swego
L
wnętrza, złożoną z łuków: y = x2, y = 4,

d) Oblicz y(1 - x2) dx + x(1 + y2) dy , gdzie łuk L jest okręgiem x2 + y2 = a2 zorientowanym dodatnio
L
względem swego wnętrza,

e) Oblicz xy dx + xy) dy , gdzie łuk L jest okręgiem x2 + y2 = 2x zorientowanym ujemnie względem
L
swego wnętrza,

f) Oblicz (x+y2) dx+(x2 +y2) dy , gdzie łuk L jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A(1, 1) , B(3, 2) ,
L
C(2, 5) zorientowanym dodatnio względem swego wnętrza,

g) Oblicz ex(1-cos y) dx-ex(y -sin y) dy , gdzie łuk L jest brzegiem, zorientowanym dodatnio względem
L
swego wnętrza, obszaru: 0 x Ą, 0 y sin x.