Całka powierzchniowa zorientowana
(całka powierzchniowa funkcji wektorowej)
Niech S  gładki płat powierzchniowy.
+ -
S i ujemnÄ… S
Płat orientujemy czyli rozróżniamy jego strony: dodatnią . W każdym
rð
punkcie płata zorientowanego prowadzimy wektor normalny n o zwrocie od strony ujemnej
do dodatniej.
Orientacja pÅ‚ata S wyznacza jednoznacznie orientacjÄ™ krzywej K ‚" S .
Krzywa K jest zorientowana dodatnio, gdy obiegajÄ…c krzywÄ… K zgodnie ze wzrostem
parametru wektor normalny mamy po stronie lewej.
Jeśli S jest powierzchnią zamkniętą, to przyjmujemy, że jej zewnętrzna strona jest stroną
dodatnią; a wewnętrzna  ujemną.
rð
rð
ne ne =1
Niech - wersor normalny do płata S. Ponieważ , więc wersor normalny zadany jest
wzorem
rð
ne = cosÄ…,cos²,cosÅ‚ ,
[ ]
rð
+ + +
ne
gdzie Ä…, ²,Å‚ sÄ… kÄ…tami miÄ™dzy wektorem a dodatnimi półosiami OX ,OY ,OZ .
rð
Niech - pole wektorowe określone na płacie S,
F
rð
3
F = P,Q, R : S R ,
[ ]
oraz niech
rð
F "C(S) .
W każdym punkcie płata S tworzymy iloczyn skalarny
rð
rð
F oð ne = P cosÄ… + Q cos² + R cosÅ‚ .
rð
Wartość tego iloczynu jest długością rzutu wektora na prostą normalną, bo
F
9
rð rð rð
rð rð
F oð ne = F Å"cos " F,ne .
( )
Ponieważ
rð
rð
rð
rð
F
F oð ne "C(S) Ò! " +"oð nedS.
całka powierzchniowa niezorientowana
S
Definicja
rð
rð
F oð ne
Całkę powierzchniową niezorientowaną funkcji , czyli
rð
rð
F oð dS = ( P
+"+"ne +"+"cosÄ… +Q cos ² + R cosÅ‚)dS
S S
rð
nazywamy całką powierzchniową zorientowaną funkcji wektorowej na płacie
F
zorientowanym S i oznaczamy symbolem
Pdydz + Qdxdz + Rdxdy
+"+" .
S
Uwaga
Jeśli zmienimy orientację płata S na przeciwną, to
= -
rð rð
+" +"
+" +"
rð rð
F oð nedS F oð nedS
-S S
czyli
Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = - Pdydz + Qdxdz + Rdxdy
+"+" +"+" .
-S S
Niech S  powierzchnia regularna, tzn. powierzchnia która jest sumą płatów gładkich
S1 ,.., Sn .
Uwaga
IstniejÄ… powierzchnie jednostronne (np. wstÄ™ga MØðbiusa)
Zatem nie każdą powierzchnię regularną można zorientować.
Definicja
S = S1 *" S2 *"...*"Sn , gdzie Si - płat gładki
Niech S - powierzchnia regularna dwustronna,
dla i = 1,...,n .
Wtedy definiujemy
n
Pdydz + Qdxdz + Rdxdy := Pdydz + Qdxdz + Rdxdy
" .
+"+" +"+"
i=1
S Si
Uwaga
Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = Pdydz + Qdxdz + Rdxdy
+"+" +"+" +"+" +"+"
S S S S
bo
Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = P + Q cos² + R cosÅ‚ dS =
[ ]
+"+" +"+"cosÄ…
S S
10
= P cosÄ…dS + Q cos ²dS + R cosÅ‚dS =
+"+" +"+" +"+"
S S S
= Pdydz + Qdxdz + Rdxdy
+"+" +"+" +"+"
S S S
Twierdzenie 1
Niech S - płat powierzchniowy zorientowany,
S: z = f ( x, y), gdzie ( x, y) "D1 ,
rð
http://notatek.pl/calka-powierzchniowa-zorientowana?notatka
F "C(S) .
Wtedy 1oð caÅ‚ka powierzchniowa po górnej stronie pÅ‚ata S :
R R
( ( )
+"+"x, y, z)dxdy = +"+"x, y, f ( x, y) dxdy
,
S D1
2oð caÅ‚ka powierzchniowa po dolnej stronie pÅ‚ata S :
R( R
( )
+"+"x, y, z)dxdy = -+"+"x, y, f ( x, y) dxdy
.
S D1
Dowód
z = f (x, y)
Ponieważ płat S zadany jest w postaci jawnej , więc wektor normalny jest postaci
rð rð
' ' ' '
n = f ,-f ,1 lub n = f , f ,-1 .
[- ] [ ]
x y x y
+
1oð Niech S = S
rð
' '
n = f ,-f ,1
Wtedy [- ]
oraz
x y
îÅ‚ Å‚Å‚
'
'
- f
rð ïÅ‚ - f 1 śł
y
x
ne = , ,
ïÅ‚ śł.
2 2 2
2 2 2
' ' ' ' ' '
ïÅ‚ f + f +1 f + f +1 f + f +1śł
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x y x y x y
ðÅ‚ ûÅ‚
Zatem
def tw.
R R
( (
+"+"x, y, z)dxdy = +"+"x, y, z) cosłdS =
+
S S
2
1 2
' '
= R y, f x, y ( ) ( )
f + f + 1dxdy = R y, f x, y dxdy
( ) ( )
+"+"x, ( ) x y +"+"x, ( )
2
2
' '
D1 D1
f + f +1
( )
( )
x y
Dowodzimy analogicznie.
2oð
Twierdzenie 2
Niech S - płat powierzchniowy zorientowany,
S: y = g( x, z), gdzie ( x, z) "D2 ,
rð
F "C(S) .
Wtedy 1oð caÅ‚ka powierzchniowa po górnej stronie pÅ‚ata S :
11