Płaszczyzna zorientowana. Każda płaszczyzna rozcina przestrzeń na dwie półprzestrzenie
otwarte, zwane stronami tej płaszczyzny. Jeśli jedną stronę płaszczyzny (S) wyróżnimy jako
dodatnią (a drugą jako ujemną), to mówimy, że płaszczyzna (S) została zorientowana. Jeśli oś
(n) prostopadła do zorientowanej płaszczyzny (S) jest skierowana od strony ujemnej do
strony dodatniej tej płaszczyzny, to mówimy, że oś (n) jest skierowana dodatnio względem
zorientowanej płaszczyzny (S)
Powierzchnia zorientowana. Niech będzie dana powierzchnia gładka (S) nie zawierająca
punktów osobliwych, a więc mająca w każdym swoim punkcie P płaszczyznę styczną i oś
normalną. Mówimy, że powierzchnia (S) jest zorientowana, jeśli każdemu punktowi P tej
powierzchni jest przyporządkowany jednostkowy wektor normalny
e (P)
w taki sposób, że jest on jednoznaczną funkcją wektorową punktu P ciągłą na całej
powierzchni S.
Jeśli istnieje funkcja e (P) o takich własnościach, to funkcja -e (P) ma również te własności i
jedna z tych funkcji określa pewną orientację powierzchni (S), a druga określa na (S) orientację
przeciwną do poprzedniej. Mówimy, że funkcja e (P) wyróżnia dodatnią stronę powierzchni (S),
a funkcja -e (P) ujemną stronę tej powierzchni. Powierzchnia, na której jest możliwe takie
rozróżnienie dwóch stron, nazywa się powierzchnią dwustronną. Istnieją powierzchnie
jednostronne, na których rozróżnienie dwóch stron nie jest możliwe.
Wektor unormowany normalny płaszczyzny
Wektor unormowany normalny płata gładkiego
Rzuty elementu na ściany układu.
Liczby
są to pola trzech rzutów elementu na ściany układu współrzędnych), z tym że pole każdego
rzutu jest brane ze znakiem odpowiedniego kosinusa kierunkowego osi (n) normalnej do i
skierowanej dodatnio względem . Liczby te nazywamy rzutami elementu na ściany układu
Oxyz i oznaczamy symbolami
Przedstawienie elementu za pomocą wektora. Niech będzie dany w przestrzeni Oxyz
element . Utwórzmy wektor o module równym polu tego elementu i o kierunku i
zwrocie osi (n) normalnej do tego elementu i skierowanej dodatnio względem niego. Wektor
ten określa wielkość i orientację elementu w przestrzeni, jest więc reprezentantem tego
elementu. Oznaczmy ten wektor symbolem . Mamy równość
Strumień wektora F przez element jest iloczynem skalarnym wektorów F i .
Strumień wektora przez powierzchnię. Niech będą dane w przestrzeni Oxyz: płat (S) o
równaniu z=z(x, y) zorientowany (ku górze lub ku dołowi) oraz funkcja wektorowa
ograniczona na S, która każdemu punktowi P=(x, y, z) przyporządkowuje
wektor
Strumień wektora F przez powierzchnię S oznaczamy
Obliczenie strumienia przez płat dany jawnie. Jeśli zorientowany płat (S) jest dany jawnie
równaniem a funkcja wektorowa F (P) jest na płacie (S) ciągła i ograniczona, to strumień
wektora F przez płat (S) wyraża się wzorem