ëÅ‚ "R "Q öÅ‚ "P "R ëÅ‚ "Q "P öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚dxdz
+"Pdx + Qdy + Rdz = +"+"ìÅ‚ "y - ÷Å‚dydz + ìÅ‚ "z - ÷Å‚ + ìÅ‚ "x - ÷Å‚dxdy.
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"z "x "y
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
K S
+"Pdx + Qdy + Rdz =+"V Å" dK = +"+"rotVdS.
K K S
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
Całka krzywoliniowa skierowana inaczej cyrkulacja pola wektorowego
po zamkniętej dodatnio skierowanej krzywej regularnej K równa jest
strumieniowi rotacji wektora pola przez powierzchniÄ™ S,
której brzegiem jest dodatnio skierowana krzywa K
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
Wniosek z tw. Stokesa
r
3
Jeżeli w obszarze , to całka krzywoliniowa w tym obszarze
rotV = 0 V ‚" R
nie zależy od drogi  zależy jedynie od początku i końca krzywej 
a ponadto:
B
+"Pdx + Qdy+ Rdz = F(B) - F(A)
A
17
Def.
r
DywergencjÄ™ pola wektorowego V = [P, Q, R]
określamy wzorem:
r
"P "Q "R
divV = + +
"x "y "z
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
Twierdzenie (Gaussa  Ostrogradskiego)
Jeśli S  powierzchnia regularna zamknięta ograniczająca obszar przestrzenny V normalny
względem trzech płaszczyzn układu współrzędnych

oraz pole wektorowe F = [P,Q, R]" C1(V) ,
to
Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = V Å"n dS = (+)+"+"+" div V dxdydz .
+"+" +"+"
S V
S+
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
Całka powierzchniowa zorientowana jako strumień wektora pola przez zorientowaną
r
powierzchnię zamkniętą S równa jest całce potrójnej z dywergencji wektora pola
V
po obszarze V, ograniczonym tÄ… powierzchniÄ….
z
R
n
S n
1
R
D y
R
S2
n
x
Twierdzenie (Stokesa)

Jeżeli F = [P,Q, R]" C1(S) , gdzie S jest dwustronną powierzchnią gładką
ograniczoną krzywą regularną przestrzenną zamkniętą K,
oraz orientacja powierzchni S jest zgodna z orientacjÄ… krzywej K ,
to
16
"P "R "Q "P
czyli, że:
- = 0 - = 0
"z "x "x "y
,
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
ad b)
( x,y,z)
x y z
u(x, y, z) = dx + dy + dz
+"
(1,0,0)
x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2
Zał: x>0, y>0, z>0
x = t, dx = dt
z
y = 0, dy = 0
L1:
(x,y,z)
z = 0, dz = 0,t "[1, x]
x = x,dx = 0
L3
L2: y = t,dy = dt
L1
(1,0,0) y
z = 0,dz = 0,t "[0, y]
(x,0,0)
(x,y,0)
L2
x
x = x, dx = 0
L3: y = y, dy = 0
z = t, dz = dt,t "[0, z]
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
Wobec tego:
Å„Å‚ üÅ‚
t2 = u
ôÅ‚ ôÅ‚
x y z
t t t tdt = udu
ôÅ‚ ôÅ‚
u(x, y, z) = dt + dt + dt + C = =
òÅ‚ żł
+" +" +"
2
t2 x2 + t2 x2 + y2 + t
1 0 0
ôÅ‚t :[1, x] ôÅ‚
ôÅ‚u :[1, x] ôÅ‚
ół þÅ‚
y z
x
2 2 2 2
= u + x2 + t + x2 + y + z + C = x -1+ x2 + y2 - x2 + x2 + y2 + z - x2 + y2 + C
1
0 0
Czyli:
u(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + C
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
Znajdz
funkcję F (potencjał) pola wektorowego -jak w r.r.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
ad c)
(0,1,2)
Pdx+ Qdy + Rdz = u(0,1,2) -u(1,2,-1) = 5 - 6
+"
(1,2,-1)
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
15
 Zatem: ,
oraz dF(x,y,z) = = P dx + Q dy + R dz
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
Def. Rotację pola wektorowego określamy wzorem:
[P(x, y, z),Q(x, y, z),R(x, y, z)]
rot " ðx =
[P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)]
"R "Q "P "R "Q "P
îÅ‚ Å‚Å‚
= =
- , - , -
ïÅ‚ śł
"y "z "z "x "x "y
ðÅ‚ ûÅ‚
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
Tw.
r
r
Pole wektorowe jest potencjalne wtedy i tylko wtedy, gdy .
V
rot V = 0
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
Przykład.
1
Dane jest pole wektorowe:
W = [x, y,z]
x2 + y2 + z2
a) sprawdz
, czy jest potencjalne,
W
b) oblicz potencjał,
(0,1,2)
c) oblicz
Pdx + Qdy + Rdz
+"
(1,2,-1)
ad a)
"R - yz
=
3
"y
( x2 + y2 + z2)
"R "Q
- = 0
"Q - yz
"y "z
=
3
"z
( x2 + y2 + z2)
Analogicznie sprawdzamy dla pozostałych współrzędnych,
14
Def.
Powiemy, że pole skalarne jest gładkie, jeżeli pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
funkcji opisującej pole skalarne są ciągłe.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
Def.
Polem wektorowym lub funkcjÄ… wektorowÄ… nazywamy funkcjÄ™,
3
która każdemu punktowi pewnego obszaru przyporządkowuje
określony wektor.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
3 3
Pole wektorowe W : R R czyliw R3:
.
W(x, y,z) = [P(x, y,z),Q(x, y,z),R(x, y,z)]
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
Def.
Powiemy, że pole wektorowe jest gładkie, jeżeli pochodne cząstkowe
W
pierwszego rzędu funkcji opisującej pole wektorowe są ciągłe.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
Def.
Operator Hamiltona (nabla) określamy wzorem: " = .
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
Def.
Jeżeli funkcja skalarna F ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu,
to gradientem funkcji skalarnej F nazywamy wektor: ð = grad F.
ð
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
Gradient F = [0,0,0] wtedy i tylko wtedy, gdy pole skalarne jest stałe.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
Def.
Pole wektorowe - nazywamy
W [P(x, y,z),Q(x, y,z),R(x, y,z)]
=
potencjalnym
3
w obszarze wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje taka funkcja F: V , że grad F = = = [P,Q,R],
W
przy czym funkcję F = F(x,y,z) nazywamy potencjałem pola wektorowego .
W
13
 Twierdzenie (Stokesa).

Jeżeli F = [P,Q, R]" C1(S) , gdzie S jest dwustronną powierzchnią gładką
ograniczoną krzywą regularną przestrzenną zamkniętą K,
oraz orientacja powierzchni S jest zgodna z orientacjÄ… krzywej K ,
to
ëÅ‚ "R "Q öÅ‚ "P "R ëÅ‚ "Q "P öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚dxdz + ìÅ‚ - ÷Å‚dxdy.
Pdx + Qdy + Rdz = ìÅ‚ - ÷Å‚dydz + -
+" +"+" ìÅ‚ ÷Å‚
K S
"y "z "z "x "x "y
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Zatem
1 1 1
+"Pdx + Qdy + Rdz = +"+"P (x, y,z)dydz + Q (x, y,z)dxdz + R (x, y,z)dxdy.
K S
--- całka po łuku zamkniętym.
+"
K
Uwaga
Jeśli powierzchnia S jest płaskim obszarem w płaszczyz
nie OXY, to z = 0 ,
i z twierdzenia Stokesa otrzymujemy twierdzenie Greena.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
Twierdzenie (Gaussa  Ostrogradskiego)
Jeśli S  powierzchnia zamknięta ograniczająca obszar przestrzenny V
oraz

pole wektorowe F = [P,Q, R]" C1(V ) ,
to
(Px + Qy + R )dxdydz .
z
+"+"Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = +"+"+"
+
V
S
& & & & & & & & & & & & & & ..& & & & & & & & & & & & & & & & & ..
TEORIA POLA
Def.
Polem skalarnym lub funkcją skalarną F nazywamy funkcję, która każdemu
3
punktowi pewnego obszaru , F:R3 R
, przyporządkowuje określoną liczbę.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
12
Sfera S ma następującą parametryzację:
x = R cos¸ cosÕ
Å„Å‚
Ä„ Ä„
ôÅ‚ îÅ‚ Å‚Å‚
, ]
òÅ‚y = R cos¸ sinÕ , gdzie ¸ " ïÅ‚- śł, Õ "[0,2Ä„
2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
ôÅ‚z = R sin¸
ół
i wtedy wektor normalny jest postaci
i j k
r " x " y " z
2 2 2
n = = R [cos ¸ cos Õ , cos ¸ sin Õ , sin ¸ cos ¸ ]
"Õ "Õ "Õ
" x " y " z
"¸ "¸ "¸
r
2 2 2
n = R [cos ¸ cosÕ, cos ¸ sinÕ, sin¸ cos¸ ] dla (¸ ,Õ) " &!,
Ä„ Ä„
îÅ‚ Å‚Å‚
gdzie &! = , ×[0,2Ä„ ].
ïÅ‚- śł
2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
StÄ…d
r r
I =
+"+"([x(¸ ,Õ), y(¸ ,Õ), z(¸ ,Õ)]o ne (¸ ,Õ))Å" n(¸ ,Õ)d¸dÕ =
&!
r
=
+"+"([x(¸ ,Õ), y(¸ ,Õ), z(¸ ,Õ)]o n(¸ ,Õ))d¸dÕ =
&!
= cos¸ cosÕ, R cos¸ sinÕ, R sin¸]o(R2[cos2 ¸ cosÕ,cos2 ¸ sinÕ,sin¸ cos¸])d¸dÕ =
+"+"[R
&!
3 3
= (cos3 ¸ cos2 Õ + cos3 ¸ sin2 Õ + sin2 ¸ cos¸)d¸dÕ = (cos3 ¸ + sin2 ¸ cos¸)d¸dÕ =
+"+"R +"+"R
&! &!
Ä„
2Ä„ Ä„
2
+
3
2
= cos¸d¸dÕ = R3 cos¸d¸ = 2Ä„R3 Å" sin¸ = 4Ä„R3
Ä„
+"+"R +"dÕ +"
-
Ä„
&! 0 2
-
2
Dowód
r
+"+"Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = +"+"[P,Q, R]o nedS =
+
S
S
r
=
+"+"[P(x(u,v), y(u,v), z(u,v)),Q(x(u,v), y(u,v), z(u,v)), R(x(u,v), y(u,v), z(u,v))]o n(u,v)dudv =
&!
r r
=
+"+"[P(x(u,v), y(u,v), z(u,v)),Q(x(u,v), y(u,v), z(u,v)), R(x(u,v), y(u,v), z(u,v))]o ru (u,v) × rv (u,v)dudv =
&!
P Q R
"x "y "z
= dudv
+"+"
"u "u "u
&!
"x "y "z
"v "v "v
11
StÄ…d
r r
I =
+"+"([x(¸ ,Õ), y(¸ ,Õ), z(¸ ,Õ)]o ne (¸ ,Õ))Å" n(¸ ,Õ)d¸dÕ =
&!
r
=
+"+"([x(¸ ,Õ), y(¸ ,Õ), z(¸ ,Õ)]o n(¸ ,Õ))d¸dÕ =
&!
= cos¸ cosÕ, R cos¸ sinÕ, R sin¸]o(R2[cos2 ¸ cosÕ,cos2 ¸ sinÕ,sin¸ cos¸])d¸dÕ =
+"+"[R
&!
3 3
= (cos3 ¸ cos2 Õ + cos3 ¸ sin2 Õ + sin2 ¸ cos¸)d¸dÕ = (cos3 ¸ + sin2 ¸ cos¸)d¸dÕ =
+"+"R +"+"R
&! &!
Ä„
2Ä„ Ä„
2
+
3
2
= cos¸d¸dÕ = R3 cos¸d¸ = 2Ä„R3 Å" sin¸ = 4Ä„R3
Ä„
+"+"R +"dÕ +"
-
Ä„
&! 0 2
-
2
Twierdzenie
Jeśli płat powierzchniowy S zadany jest równaniami parametrycznymi
x = x(u,v)
Å„Å‚
ôÅ‚
S : = y(u,v) , gdzie (u,v) " &! ,
òÅ‚y
ôÅ‚z = z(u,v)
ół
oraz
r
F = [P,Q, R]" C(S) ,
to
P Q R
"x "y "z
dudv .
+"+"Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = +"+"
"u "u "u
+
&!
S
"x "y "z
"v "v "v
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Przykład
z
Obliczyć całkę
I =
+"+"xdydz + ydzdx + zdxdy,
S
R
n
gdzie S jest zewnętrzną stroną powierzchni sfery
S n
1
x2 + y2 + z2 = R2.
R
D y
R
S2
n
x
Skorzystamy z definicji całki powierzchniowej zorientowanej,
a następnie z twierdzenia o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej
na całkę podwójną.
r
I = y, z]o nedS
+"+"[x,
S
10
Obliczyć całkę
gdzie S jest zewnętrzną stroną powierzchni sfery
x2 + y2 + z2 = R2.
I sposób.
ydzdx =
Oczywiście
+"+"xdydz = +"+" +"+"zdxdy.
S S S
Wystarczy więc obliczyć tylko jedną z tych całek, np. Sferę S rozbijamy na dwie półsfery:
+"+"zdxdy.
S
górną (względem płaszczyzny OXY) S1 i dolną S2 ; a następnie korzystamy z twierdzenia.
ëÅ‚ öÅ‚
I = 3
+"+"zdxdy = 3ìÅ‚+"+"zdxdy + +"+"zdxdy÷Å‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
+ -
S
S1 S2
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
= 3ìÅ‚ R2 - x2 - y2 dxdy - (- R2 - x2 - y2 dxdy) = 6 R2 - x2 - y2 dxdy =
+"+" +"+" +"+"
÷Å‚
íÅ‚ D D Å‚Å‚ D
R
2Ä„ R
3
îÅ‚ 1 Å‚Å‚
2
2
= 6 R2 - r Å" rdr = 6Å" 2Ä„ (R2 - r2) = 4Ä„R3.
+"dÕ+" ïÅ‚- śł
3
ðÅ‚ ûÅ‚0
0 0
II sposób.
Tym razem skorzystamy z definicji całki powierzchniowej zorientowanej, a następnie z twierdzenia o
zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną.
r
I = [x, y,z]o n dS
+"+"
e
S
Sfera S ma następującą parametryzację:
x = R cos¸ cosÕ
Å„Å‚
Ä„ Ä„
ôÅ‚ îÅ‚ Å‚Å‚
, ]
òÅ‚y = R cos¸ sinÕ , gdzie ¸ " ïÅ‚- śł, Õ "[0,2Ä„
2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
ôÅ‚z = R sin¸
ół
i wtedy wektor normalny jest postaci
i j k
r
" x " y " z
n = `" 0
" u " u " u
" x " y " z
" v " v " v
r
n = R2[cos2 ¸ cosÕ, cos2 ¸ sinÕ, sin¸ cos¸ ] dla (¸ ,Õ) " &!,
Ä„ Ä„
îÅ‚ Å‚Å‚
gdzie &! = , ×[0,2Ä„ ].
ïÅ‚- śł
2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
9
Rozłóżmy całkę I na sumę trzech całek I = I1 + I2 + I3 , gdzie
2
I1 = + yz2)dxdy ,
+"+"(x
S
I2 = xyzdxdz ,
+"+"
S
I3 = x2zdydz
+"+"
S
i dla każdej z całek Ik skorzystajmy z Twierdzenia k , gdzie k = 1,2,3 .
1o Ponieważ powierzchnia S jest płatem powierzchniowym zadanym równaniem
S: z = 4 - x2 , (x, y) " D1, gdzie D1 = 2,2 × 0,3
[- ] [ ]
zatem
2 3 2
3 3
1
ëÅ‚ öÅ‚
I1 = + x2 + y 4 - x2 dxdy = x2 + y 4 - x2 dy = x2 y + 4 - x2 Å" y2 dx =
( ) ( ) ( ) ÷Å‚
( ) ( )
+"+" +"dx+" +"ìÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2
0 0
D1 -2 0 -2
2 2
2
9 3 1
öÅ‚ öÅ‚
2
2
= ìÅ‚ + 18 - x2 ÷Å‚dx = ìÅ‚- x2 + 18÷Å‚dx =- x3 + 18x = -8 + 72 = 64
+"ëÅ‚3x +"ëÅ‚ -2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2
-2
-2 -2
2o I2 = 0 - bo rzut powierzchni S jest krzywÄ… K2 (a nie obszarem).
3o Rzutujemy S na płaszczyznę OYZ . Rzut D3 = (y, z): y "[0,3], z "[0,2] }
powstaje zatem
{
z rzutowania zarówno części S1 powierzchni S dla której x > 0 oraz z części S2 dla której x < 0.
Rozłóżmy zatem S na sumę S = S1 *" S2 , gdzie
S1: x= 4 - z2 dla (y, z) " D3
oraz
S2: x= - 4 - z2 dla (y, z) " D3 .
StÄ…d
2
I3 = x2zdydz + x2zdydz = 4 - z2 zdydz - (- 4 - z zdydz = 0
( ) )
+"+" +"+" +"+" +"+"
S1+ S2- D3 D3
z
Z 1o , 2o , 3o otrzymujemy I = 64 .
R
Przykład
n
S n
1
I =
+"+"xdydz + ydzdx + zdxdy,
S
R
D y
R
S2
8
n
x
Twierdzenie 3
Niech S - płat powierzchniowy zorientowany,
S: x = h(y, z), gdzie (y,z) " D3 ,
r
F "C(S) .
Wtedy 1o całka powierzchniowa po górnej stronie płata S :
P(x, y, z)dydz = P h(y, z), y, z dydz ,
( )
+"+" +"+"
S D3
2o całka powierzchniowa po dolnej stronie płata S :
P(x, y, z)dydz = - P h(y, z), y, z dydz .
( )
+"+" +"+"
S D3
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Najczęściej i najwygodniej stosować następujące :
Twierdzenie.
Niech S - płat powierzchniowy zorientowany,
S : z = f(x, y), gdzie (x, y)" D ( S
r
F = [P,Q, R]" C(S, R3)
to P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy =
+"+"
S
"f (x, y) "f (x, y)
= - Q(x, y,f (x, y) + R(x, y,f (x, y)]dxdy.
+"+"[-P(x, y,f (x, y) Å"
"x "y
D
gdzie
Przykład
1. Obliczyć całkę I = x dydz + y dxdz +z dxdy
+"+"
S
gdzie S: &
Przykład
2. Obliczyć całkę I = x2zdydz + xyzdxdz +(x2 + yz2)dxdy po zewnętrznej stronie powierzchni
+"+"
S
S = (x, y,z): 0 d" y d" 3, z e" 0, x2 + z2 = 4 .
{ }
7
Dowód
Ponieważ płat S zadany jest w postaci jawnej z = f (x, y), więc wektor normalny jest postaci
r r
' ' ' '
n = - f ,- f ,1 lub n = f , f ,-1 .
[ ] [ ]
x y x y
+
1o Niech S = S
r
' '
Wtedy n = - f ,- f ,1 oraz
[ ]
x y
îÅ‚ Å‚Å‚
'
'
- f
- f 1
r ïÅ‚ śł
y
x
ne = , ,
ïÅ‚ śł.
2 2 2
2 2 2
' ' ' ' ' '
ïÅ‚ f + f + 1 f + f + 1 f + f + 1 śł
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x y x y x y
ðÅ‚ ûÅ‚
Zatem
def tw.
R x, y, z dxdy = R x, y,z cosłdS =
( ) ( )
+"+" +"+"
+
S
S
2
1 2
' '
= R x, y, f x, y f + f + 1dxdy = R x, y, f x, y dxdy
( ( ) ( ) ( ( )
) )
( )
+"+" x y +"+"
2
2
' '
D1 D1
f + f + 1
( )
( )
x y
2o Dowodzimy analogicznie.
Twierdzenie 2
Niech S - płat powierzchniowy zorientowany,
S: y = g(x, z), gdzie (x, z) " D2 ,
r
F "C(S) .
Wtedy 1o całka powierzchniowa po górnej stronie płata S :
( )
+"+"Q(x, y, z)dxdz = +"+"Q x, g(x, z), z dxdz ,
S D2
2o całka powierzchniowa po dolnej stronie płata S :
Q(x, y, z)dxdz = - Q x, g(x, z), z dxdz .
( )
+"+" +"+"
S D2
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
6
Definicja
r
r
Całkę powierzchniową niezorientowaną funkcji F o ne , czyli
r
r
F o nedS = (P cosÄ… + Qcos² + R cosÅ‚ )dS
+"+" +"+"
S S
r
nazywamy całką powierzchniową zorientowaną funkcji wektorowej F na płacie zorientowanym S i
oznaczamy symbolem
Pdydz + Qdxdz + Rdxdy .
+"+"
S
Uwaga
Jeśli zmienimy orientację płata S na przeciwną, to
r r
r r
F o nedS = - F o nedS
+"+" +"+"
-S S
czyli
Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = - Pdydz + Qdxdz + Rdxdy .
+"+" +"+"
-S S
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
Niech S - powierzchnia regularna dwustronna, S = S1 *" S2 ,
gdzie Si - płat gładki dla i = 1,...,n .
Wtedy
2
"
+"+"Pdydz + Qdxdz + Rdxdy := +"+"Pdydz + Qdxdz + Rdxdy .
i=1
S Si
i
Uwaga
Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = Pdydz + Qdxdz + Rdxdy
+"+" +"+" +"+" +"+"
S S S S
bo
Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = P cosÄ… + Q cos² + R cosÅ‚ dS =
[ ]
+"+" +"+"
S S
= P cosÄ…dS + Q cos²dS + R cosÅ‚dS =
+"+" +"+" +"+"
S S S
= Pdydz + Qdxdz + Rdxdy
+"+" +"+" +"+"
S S S
& & & & & & & & & .& & & & & & & & & & & & &
Twierdzenie 1
Niech S - płat powierzchniowy zorientowany,
S: z = f (x, y), gdzie (x, y) " D1 ,
r
F "C(S) .
Wtedy 1o całka powierzchniowa po górnej stronie płata S :
R x, y, z dxdy = R x, y, f x, y dxdy ,
( ) ( ( )
)
+"+" +"+"
S D1
2o całka powierzchniowa po dolnej stronie płata S :
R(x, y, z)dxdy = - R x, y, f (x, y) dxdy .
( )
+"+" +"+"
S D1
5
Uwaga
IstniejÄ… powierzchnie jednostronne (np. wstÄ™ga Möbiusa)
Zatem nie każdą powierzchnię regularną można zorientować.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
r r
Niech ne - wersor normalny do płata S. Ponieważ ne = 1, więc wersor normalny zadany jest wzorem
r
ne = cosÄ…,cos²,cosÅ‚ ,
[ ]
r
+ + +
gdzie Ä…, ²,Å‚ sÄ… kÄ…tami miÄ™dzy wektorem ne a dodatnimi półosiami OX ,OY ,OZ .
r
Niech F - pole wektorowe określone na płacie S,
r
3
F = P,Q, R : S R ,
[ ]
oraz niech
r
F "C(S) .
W każdym punkcie płata S tworzymy iloczyn skalarny
r
r
F o ne = P cosÄ… + Q cos² + R cosÅ‚ .
Ponieważ
r r
r r
F o ne "C(S) Ò! " caÅ‚ka powierzchniowa niezorientowana F o nedS.
+"
S
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
4
Przykład
- powierzchnia regularna
- półsfera nie jest powierzchnią regularną, bo dla jej brzegu
(największego okręgu) nie istnieją pochodne cząstkowe, natomiast
sfera jest powierzchnią regularną bo można ją podzielić na 6 płatów
gładkich.
Całka powierzchniowa zorientowana
(całka powierzchniowa funkcji wektorowej)
Niech S  gładki płat powierzchniowy.
+ -
Płat orientujemy czyli rozróżniamy jego strony: dodatnią S i ujemną S . W każdym punkcie płata
r
zorientowanego prowadzimy wektor normalny n o zwrocie od strony ujemnej do dodatniej.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
Orientacja pÅ‚ata S wyznacza jednoznacznie orientacjÄ™ krzywej K ‚" S .
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
Krzywa K jest zorientowana dodatnio, gdy obiegajÄ…c krzywÄ… K zgodnie ze wzrostem parametru
wektor normalny mamy po stronie lewej.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
Jeśli S jest powierzchnią zamkniętą, to przyjmujemy, że jej zewnętrzna strona jest stroną dodatnią; a
wewnętrzna  ujemną.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
3
i j k
" x " y " z " x " y " z " x " y " z
r r r îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
n = ru × rv = , , × , , =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
" u " u " u " v " v " v " u " u " u
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
" x " y " z
" v " v " v
i j k
" x " y " z
przy założeniu, że wyznacznik `" 0 .
" u " u " u
" x " y " z
" v " v " v
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
r
Jeśli dany jest wektor normalny n = A, B,C do powierzchni S, to płaszczyzna Ą styczna do
[ ]
powierzchni S w punkcie M x0 , y0 , z0 jest postaci
( )
Ä„: A x - x0 + B y - y0 + C z - z0 = 0.
( ) ( ) ( )
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
Zatem w przypadku *
"F "F "F
( ) ( ) ( )
Ä„: M x - x0 + M y - y0 + M z - z0 = 0 .
( ) ( ) ( )
"x "y "z
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
Natomiast w przypadku **
"F "F
Ä„: - ( ) - x0 M y
M x ( )
( )- ( ) - y0 + z - z0 = 0,
"x "y
stÄ…d
"F "F
( ) ( )
Ä„: z - z0 = M x - x0 + M y - y0 .
( ) ( )
"x "y
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
Definicja
Powierzchnia gładka jest to powierzchnia, która w każdym swoim punkcie ma płaszczyznę styczną,
która zmienia się w sposób ciągły przy zmianie punktu styczności.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
Definicja
Płatem nazywamy figurę określoną równaniem z = f (x, y), gdzie (x, y) " D ,
( ) ( )
D - domknięty obszar jednospójny, f "C1 int D , f "C D .
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
Definicja
( )
Płat nazywamy gładkim, gdy f "C1 D .
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
Definicja
Powierzchnia regularna jest to powierzchnia, którą można podzielić na skończenie wiele płatów
gładkich.
2
CAA
KA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA
Powierzchnie
Powierzchnia jest to zbiór punktów S(x,y,z) spełniających pewne równanie,
które jest klasy C1 i ma jedną z trzech postaci:
* postać uwikłana: F(x, y,z) = 0
** postać jawna: z = f (x, y) , gdzie (x, y) " D, D - obszar, D ‚" OXY
Å„Å‚
x = x(u,v)
ôÅ‚
2
*** postać parametryczna: y = y(u,v) , gdzie (u,v) "&!, &! - obszar w R
òÅ‚
ôÅ‚
ółz = z(u,v)
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
Definicja
Wektorem normalnym do powierzchni S w punkcie M "S nazywamy niezerowy wektor prostopadły
do wszystkich krzywych leżących na S i przechodzących przez M .
Jeśli S zadana jest w postaci:
* uwikłanej, to
îÅ‚
"F "F "F
r
( ) ( ) ( ) ( )Å‚Å‚
n = gradF M = M , M , M ,
ïÅ‚ śł
"x "y "z
ðÅ‚ ûÅ‚
gdzie M jest punktem, w którym gradient nie zeruje się, gradF(M) `" 0.
& & & & & & & & & & & & & & &
** jawnej, to przekształcając równanie z = f (x, y) otrzymujemy postać uwikłaną
z - f (x, y) = 0
gdzie
F(x, y, z) = z - f (x, y)
i korzystajÄ…c ze wzoru na wektor normalny w przypadku * dostajemy
îÅ‚ "f "f Å‚Å‚
r
( ) ( )
n = gradF(x, y, z) =
ïÅ‚- M , - M , 1śł
"x "y
ðÅ‚ ûÅ‚
& & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
*** parametrycznej, to w punkcie jednokrotnym powierzchni S, tzn. punkcie odpowiadajÄ…cym tylko
jednej parze (u,v) wektor normalny zadany jest wzorem
1