Całki powierzchniowe
PÅ‚aty powierzchniowe
Niech D ‚" R2 bÄ™dzie obszarem na pÅ‚aszczyz
nie.
Funkcją wektorową dwóch zmiennych w przestrzeni nazywamy odwzorowanie : D R3.
r
Funkcję taką będziemy zapisywali w postaci
v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] , gdzie (u, v) " D.
r(u,
Z R3

v
R2


r

v)
r(u,

D

v


u
O O
u
Y

X
Mówimy, że funkcja wektorowa jest różnowartościowa na obszarze D, gdy
r
"(u1, v1), (u2, v2) " D [(u1, v1) = (u2, v2) Ò! v1) = v2)].
r(u1, r(u2,
Jeżeli funkcje x, y, z są ciągłe na obszarze D, to mówimy, że funkcja wektorowa jest ciągła na obszarze D.
r
Jeżeli funkcje x, y, z mają ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze D, to mówimy, że
funkcja wektorowa jest różniczkowalna w sposób ciągły na obszarze D.
r
Niech D będzie prostokątem domkniętym oraz niech funkcja wektorowa : D R3, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)]
r r(u,
będzie ciągła i różnowartościowa na prostokącie D. Płatem prostym powierzchniowym nazywamy zbiór wartości
funkcji wektorowej
r
S = { v) : (u, v) " D}.
r(u,
Zbiór w przestrzeni, taki że każdy jego punkt ma otoczenie domknięte, które jest płatem prostym, nazywamy
płatem powierzchniowym.
Z

Z

S
S


O Y
O Y
Zbiór S jest płatem powierzchniowym
Zbiór S nie jest płatem powierzchniowym

X

X
Płat powierzchniowy S = { v) : (u, v) " D}, gdzie D jest obszarem domkniętym z brzegiem kawałkami gładkim,
r(u,
a funkcja wektorowa v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] jest różnowartościowa i różniczkowalna w sposób ciągły na
r(u,
obszarze D, nazywamy płatem gładkim, gdy na obszarze D spełniony jest warunek
" "
r r

× = 0,

"u "v

" "x "z " "x "z
r "y r "y
gdzie = , , oraz = , , . Płat, który można podzielić na skończoną liczbę płatów kawałkami
"u "u "u "u "v "v "v "v
gładkich, nazywamy płatem kawałkami gładkim.
1
Z

Z

S
S


O Y
O Y

X

X
Płat powierzchniowy gładki
Płat powierzchniowy kawałkami gładki
Twierdzenie 1 (równania parametryczne ważniejszych płatów powierzchniowych)

1. Płaszczyzna przechodząca przez punkt (x0, y0, z0) i rozpięta na wektorach = [x1, y1, z1], b = [x2, y2, z2] ma
a
przedstawienie parametryczne
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = x0 + x1 · u + x2 · v
S : y = y0 + y1 · u + y2 · v , gdzie u " R, v " R.
ôÅ‚
ółz = z0 + z1 · u + z2 · v
2. Sfera o środku O(0, 0, 0) i promieniu r ma przedstawienie parametryczne
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = r · cos u · cos v
Ä„ Ä„
S : y = r · sin u · cos v , gdzie u " 0, 2Ä„ , v " - , .
ôÅ‚ 2 2
ółz = r · sin v
3. Powierzchnia stożka określona równaniem

z = k x2 + y2, gdzie x2 + y2 r2
ma przedstawienie parametryczne
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = v · cos u
S : y = v · sin u , gdzie u " 0, 2Ä„ , v " 0, r .
ôÅ‚
ółz = k · v
4. Powierzchnia paraboloidy obrotowej określona równaniem

z = k x2 + y2 , gdzie x2 + y2 r2
ma przedstawienie parametryczne
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = v · cos u
S : y = v · sin u , gdzie u " 0, 2Ä„ , v " 0, r .
ôÅ‚
ółz = k · v2
5. Powierzchnia walcowa określona równaniem
x2 + y2 = r2, gdzie 0 z H
ma przedstawienie parametryczne
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = r · cos u
S : y = r · sin u , gdzie u " 0, 2Ä„ , v " 0, H .
ôÅ‚
ółz = v
2
Twierdzenie 2 (o postaci płatów powierzchniowych)
Płatami powierzchniowymi są wykresy funkcji ciągłych postaci:
1. S : z = f(x, y), (x, y) " D1, gdzie D1 jest obszarem na płaszczyz
nie XOY ;
2. S : x = g(y, z), (y, z) " D2, gdzie D2 jest obszarem na płaszczyz
nie Y OZ;
3. S : y = h(x, z) (x, z) " D3, gdzie D3 jest obszarem na płaszczyz
nie XOZ.
Jeżeli funkcje f, g, h mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na odpowiednich obszarach, to płaty powierzch-
niowe są gładkie.
Niech S = { v) : (u, v) " D} będzie gładkim płatem powierzchniowym. Wtedy pole tego płata wyraża się
r(u,
wzorem:



" "
r r

|S| = × dudv.

"u "v
D
" Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji z = f(x, y), gdzie (x, y) " D, to jego pole wyraża się wzorem:

2 2
"f "f
|S| = 1 + + dxdy.
"x "y
D
" Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji x = g(y, z), gdzie (y, z) " D, to jego pole wyraża się wzorem:

2 2
"g "g
|S| = 1 + + dxdy.
"y "z
D
" Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji y = h(x, z), gdzie (x, z) " D, to jego pole wyraża się wzorem:

2 2
"h "h
|S| = 1 + + dxdy.
"x "z
D
3
Całki powierzchniowe niezorientowane
Rozważmy gładki płat powierzchniowy S = { v) : (u, v) " D}, gdzie D jest domknietym obszarem regularnym na
r(u,
płaszczyz
nie.

r

Z

v


S


D








O u O
Y

X
Oznaczenia w definicji całki powierzchniowej niezorientowanej:
" P = {"D1, "D2, . . . , "Dn},  podział obszaru D na obszary regularne "Dk (o rozłącznych wnętrzach), gdzie
1 k n;
" dk  śednica obszaru "Dk, t.j kres górny odległości punktów zbioru "Dk, gdzie 1 k n;
" ´(P) = max dk - Å›rednica podziaÅ‚u P;
1 k n
" " " "
" ś = {(u", v1), (u", v2), . . . , (u" , vn)}, gdzie (u", vk)" " "Dk dla 1 k n  zbiór punktów pośrednich podziału
1 2 n k
P
" "Sk  część płata S odpowiadająca obszarowi "Dk w podanej wyżej parametryzacji;
" |"Sk|  pole płata "Sk, gdzie 1 k n;
" " "
" (x", yk, zk)  punkt płata "Sk odpowiadający punktowi (u", vk) " "Dk w podanej parametryzacji, gdzie 1
k k
k n.
Definicja 3 (całka powierzchniowa niezorientowana)
Niech funkcja f będzie ograniczona na gładkim płacie S.
Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcji f po płacie S definiujemy wzorem

n

" "
f(x, y, z) dS := lim f(x", yk, zk) · |"Sk| ,
k
´(P)0
k=1
S
o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje i nie zależy od sposobu podziału P obszaru D ani od sposobu
wyboru punktów pośrednich ś.

Uwaga 4 Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcji f po płacie S oznaczamy też symbolem: f dS.
S
Definicja 5 (całka powierzchniowa niezorientowana po płacie kawałkami gładkim)
Niech S będzie płatem złożonym z płatów gładkich S1, S2, . . . Sm oraz niech f będzie funkcją ograniczoną na płacie S.
Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcji f po płacie S definiujemy wzorem:

f dS := f dS + f dS + . . . + f dS,
S S1 S2 Sm
o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją.
Twierdzenie 6 (liniowość całki powierzchniowej niezorientowanej)
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na kawałkami gładkim płacie S, to

(f + g) dS = f dS + g dS i (c · f) dS = c · f dS, gdzie c " R.
S S S S S
4
Zamiana całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną
Twierdzenie 7 (o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną)
Jeżeli funkcja f jest ciÄ…gÅ‚a na pÅ‚acie gÅ‚adkim S = { v) : (u, v) " D}, gdzie obszar D ‚" R2 jest regularny, to
r(u,



" "
r r

f(x, y, z) dS := f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) · × dudv.

"u "v
S D
UWAGA:
" Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji z = g(x, y), gdzie (x, y) " D oraz funkcja g jest ciągła na D, to wzór
na zamianę całek ma postać:

2 2
"g "g
f(x, y, z) dS = f(x, y, g(x, y)) 1 + + dxdy.
"x "y
S D
" Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji x = %1ń(y, z), gdzie (y, z) " D oraz funkcja %1ń jest ciągła na D, to wzór
na zamianę całek ma postać:

2 2
"%1Å„ "%1Å„
f(x, y, z) dS = f(%1Å„(y, z), y, z) 1 + + dydz.
"y "z
S D
" Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji y = h(x, z), gdzie (x, z) " D oraz funkcja h jest ciągła na D, to wzór
na zamianę całek ma postać:

2 2
"h "h
f(x, y, z) dS = f(x, h(x, z), z) 1 + + dxdz.
"x "z
S D
5
Zastosowania całek powierzchniowych niezorientowanych
Pole płata
Pole kawałkami gładkiego płata S wyraża się wzorem:

|S| = dS.
S
Masa płata
Masa płata materialnego S o gęstości powierzchniowej masy wyraża się wzorem:

M = (x, y, z)dS.
S
Momenty statyczne
Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych płata materialnego S o gęstości powierzchniowej masy
wyrażają się wzorami:

MSxy = z · (x, y, z) dS, MSxz = y · (x, y, z) dS, MSyz = x · (x, y, z) dS.
S S S
Współrzędne środka masy
Współrzędne środka masy płata materialnego S o gęstości powierzchniowej masy wyrażają się wzorami:
MSyz MSxz MSxy
xC = , yC = , zC = .
M M M
Momenty bezwładności
Momenty bezwładności względem osi OX, OY , OZ płata materialnego S o gęstości powierzchniowej masy wyrażają
siÄ™ wzorami:

Ix = (y2 + z2) · (x, y, z) dS,
S

Iy = (x2 + z2) · (x, y, z) dS,
S

Iz = (x2 + y2) · (x, y, z) dS.
S
Moment bezwładności względem punktu O(0, 0, 0) płata materialnego S o gęstości powierzchniowej masy wyraża się
wzorem:

IO = (x2 + y2 + z2) · (x, y, z) dS.
S
6
Całki powierzchniowe zorientowane
Płat powierzchniowy dwustronny, na którym wyróżniono dwie strony: ujemną i dodatnią nazywamy płatem zorientowanym.
Powiemy wówczas, że płat S został zorientowany od strony nazywanej ujemną do strony nazywanej dodatnią.
Zorientowanie płata S powoduje ustalenie pewnego kierunku normalnej (od ujemnej do dodatniej strony płata) w
każdym jego punkcie. Jeżeli S oznacza płat zorientowany, to -S oznacza płat różniący się od S tylko zorientowaniem
(orientacjÄ…). PÅ‚aty S i -S sÄ… przeciwnie zorientowane.
Dla płatów, które są wykresami funkcji postaci z = f(x, y), x = g(y, z), y = h(x, z) za stronę dodatnią przyjmujemy
zwykle górną część takiego płata.
Niech płat gładki S ma przedstawienie parametryczne
S = { v) := [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] : (u, v) " D} .
r(u,
Wtedy wersor normalny płata S w punkcie (x0, y0, z0) tego płata, odpowiadającym punktowi (u0, v0) obszaru D,
n
wyraża się wzorem:
" "
r r
×
"u "v

= Ä… ,
n
" "
r r

×
"u "v
" "
r r
gdzie wektory , są obliczone w punkcie (u0, v0). Znak  ą ustala się na podstawie orientacji płata S. Przymu-
"u "v
jemy, że wersor normalny płata zorientowanego jest skierowany od jego strony ujemnej do dodatniej.
UWAGA: Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji z = f(x, y), gdzie (x, y) " D, to wersor normalny tego płata
n
w punkcie (x0, y0, z0), gdzie z0 = f(x0, y0) wyraża się wzorem:
îÅ‚ Å‚Å‚
"f
ïÅ‚ - śł
-"f
1
"y
"x
ïÅ‚ śł
= .
n
ðÅ‚ 2 2 , 2 2 , 2 2 ûÅ‚
"f "f "f "f "f "f
1 + + 1 + + 1 + +
"x "y "x "y "x "y
Wersor normalny można przedstawić w postaci = [cos Ä…, cos ², cos Å‚], gdzie Ä…, ², Å‚ oznaczajÄ… kÄ…ty miÄ™dzy tym
n n
wersorem, a dodatnimi częściami odpowiednio osi OX, OY , OZ.
Z n
Z

S




= [cos Ä…, cos ², cos Å‚]
n








O
Y
O Y


X
X
Definicja 8 (całka powierzchniowa zorientowana)

Niech F = [P, Q, R] będzie polem wektorowym na płacie gładkim zorientowanym S .

Całkę powierzchniową zorientowaną z pola wektorowego F po płacie S definiujemy wzorem



P (x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy := F (x, y, z) ć% y, z) dS =
n(x,
S S

= (P (x, y, z) cos Ä… + Q(x, y, z) cos ² + R(x, y, z) cos Å‚) dS,
S
gdzie y, z) = [cos Ä…, cos ², cos Å‚] oznacza wersor normalny pÅ‚ata zorientowanego S wystawiony w punkcie (x, y, z)
n(x,
tego płata.
UWAGA: W zapisie wektorowym powyższa definicja przyjmuje postać:



F ( ć% dS := F ( ć% r) dS, gdzie dS := [dydz, dzdx, dxdy].
r) r) n(
S S
7

Całkę powierzchniową zorientowaną z pola wektorowego F po płacie S oznaczamy też krótko:


P dydz + Q dzdx + R dxdy, a w notacji wektorowej F ć% dS
S S

F ( r)
r) n(


Z

S


r

O
Y

X
Definicja 9 (całka powierzchniowa po płacie kawałkami gładkim)
Niech S będzie kawałkami gładkim płatem powierzchniowym zorientowanym, utworzonym z płatów gładkich S1, S2, . . . , Sm,

o orientacjach pokrywających się z orientacją płata S. Niech F będzie polem wektorowym na płacie S.

Całkę powierzchniową z pola wektorowego F po płacie S definiujemy wzorem:


F ć% dS := F ć% dS + F ć% dS + . . . + F ć% dS,
S S1 S2 Sm
o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją.
UWAGA: Jeżeli S jest płatem zorientowanym zamkniętym, to wtedy piszemy:

© w miejsce .
S S
Twierdzenie 10 (liniowość całki powierzchniowej zorientowanej)

Jeżeli istnieją całki powierzchniowe zorientowane z pól wektorowych F i G po kawałkami gładkim płacie powierzchnio-
wym zorientowanym S, to



F + G ć% dS = F ć% dS + G ć% dS i c · F ć% dS = c · F ć% dS, gdzie c " R.
S S S S S
Ponadto


F ć% dS = - F ć% dS,
-S S
gdzie -S jest płatem o orientacji przeciwnej do płata S.
8
Zamiana całki powierzchniowej zorientowanej na całkę podwójną
Twierdzenie 11 (o zamianie całki powierzchniowej zorientowanej na całkę podwójną)

Jeżeli pole wektorowe F = [P, Q, R] jest ciągłe na gładkim i zorientowanym płacie
S = { v) := [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] : (u, v) " D} ,
r(u,
gdzie D jest obszarem regularnym na płaszczyz
nie, to

P (x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy =
S

"y "y "z "z "x "x

"u "v
"u "v "u "v
= Ä… P (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) + Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) + R(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) dudv.
"z "z "x "x "y "y

"u "v "u "v "u "v
D
znak  ą ustala się na podstawie orientacji płata S.
UWAGA: W zapisie wektorowym wzór ma postać:

" "
r r

F ( ć% dS = Ä… F ( v)) ć% × dudv
r) r(u,
"u "v
S D

Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji z = f(x, y), gdzie (x, y) " D, oraz pole wektorowe F jest ciągłe na S, to


"f "f
P (x, y, z) dydz+Q(x, y, z) dzdx+R(x, y, z) dxdy = P (x, y, f(x, y)) - + Q(x, y, f(x, y)) - + R(x, y, f(x, y)) dxdy.
"x "y
S D

Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji x = g(y, z), gdzie (x, y) " D, oraz pole wektorowe F jest ciągłe na S, to


"g "g
P (x, y, z) dydz+Q(x, y, z) dzdx+R(x, y, z) dxdy = P (g(y, z), y, z) + Q(g(y, z), y, z)) - + R(g(y, z), y, z) - dydz.
"y "z
S D

Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji y = h(x, z), gdzie (x, y) " D, oraz pole wektorowe F jest ciągłe na S, to


"h "h
P (x, y, z) dydz+Q(x, y, z) dzdx+R(x, y, z) dxdy = P (x, h(x, z), z) - + Q(x, h(x, z), z)) + R(x, h(x, z), z) - dxdz.
"x "z
S D

Definicja 12 (strumień pola wektorowego F przez powierzchnię zorientowaną S)

Strumień pola wektorowego F przez powierzchnię zorientowaną S (ze strony ujemnej na dodatnią, to jest w kierunku
wersora określamy wzorem:
n)


Ś := F ć% dS.
S
9
Elementy analizy wektorowej
Jeżeli każdemu punktowi M pewnego obszaru przyporządkowana jest określona wartość pewnej skalarnej wielkości fizycznej
u = u(M), to mówimy, że w tym obszarze określone jest pole skalarne.
Zbiór punktów płaszczyzny, w których funkcja pola przybiera jednakowe wartości nazywamy liniami równych wartości
(poziomicami albo izoliniami) płaskiego pola skalarnego.
Zbiór punktów przestrzeni, w których funkcja pola przybiera jednakowe wartości nazywamy powierzchnią równych wartości
(warstwicÄ…) przestrzennego pola skalarnego.

Jeżeli każdemu punktowi M pewnego obszaru przyporządkowany jest pewien wektor F (M), to mówimy, że w tym obszarze
określone jest pole wektorowe.
Linia pola wektorowego jest to krzywa, która w każdym swoim punkcie jest styczna do wektora odpowiadającego temu
punktowi.


F






M
Definicja 13 (operator Hamiltona - nabla)
Operator Hamiltona (nabla) określany jest wzorem:
" " "

" := i + j + k .
"x "y "z
Definicja 14 (gradient funkcji)
Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze V " R3. Gradient funkcji f określony jest wzorem:

"f "f "f
gradf := "f = , ,
"x "y "z
Twierdzenie 15 (własności gradientu) Niech funkcje wektorowe f i g mają gradienty na obszarze V " R3. Wtedy:
1. grad(f + g) = gradf + gradg,
2. grad(af) = agradf, gdzie a " R,
3. grad(f · g) = g · gradf + f · gradg

f g·gradf-f ·gradg
4. grad =
g g2
5. gradh(f) = h (f) · gradf

6. f a" const Ð!Ò! gradf a" 0
"f
7. = (gradf) ć% gdzie jest wersorem.
v, v
"
v
Definicja 16 (pole wektorowe potencjalne)

Pole wektorowe F nazywamy potencjalnym na obszarze V ‚" R, jeżeli istnieje funkcja u : V R, taka że

F = grad u.

Funkcję u nazywamy potencjałem pola wektorowego F .
Powierzchnią równopotencjalną nazywamy zbiór wszystkich punktów, dla których potencjał pola u(x, y, z) ma stałą wielkość.
Definicja 17 (rotacja (wirowość) pola wektorowego)

Niech F = [P, Q, R] bÄ™dzie różniczkowalnym polem wektorowym okreÅ›lonym na obszarze V ‚" R3.

Rotację (wirowość) pola wektorowego F określamy wzorem:



i j k

" " "

rot F := " × F =
"x "y "z


P Q R

Pole wektorowe o tej własności, że w każdym jego punkcie rotacja jest równa 0 nazywamy polem potencjalnym albo bezwirowym.
10
Twierdzenie 18 (własności rotacji)

Niech funkcja f ma gradient na obszarze V ‚" R3 oraz niech pola wektorowe F i G bÄ™dÄ… różniczkowalne na tym obszarze. Wtedy:

1. rot (F + G) = rot F + rot G,

2. rot (aF ) = a rot F , gdzie a " R,

3. rot (fF ) = (gradf) × F + f · rot F .
Ponadto dla funkcji u dwukrotnie różniczkowalnej w sposób ciągły na V mamy

4. rot (gradu) = 0.
Definicja 19 (dywergencja (rozbieżność) pola wektorowego)

Niech F = [P, Q, R] bÄ™dzie polem wektorowym różniczkowalnym w sposób ciÄ…gÅ‚y na obszarze V ‚" R3.

Dywergencję (rozbieżność) pola wektorowego F określamy wzorem:
"P "Q "R

div F := " ć% F = + + .
"x "y "z
Twierdzenie 20 (własności dywergencji)

Niech funkcja f oraz pola wektorowe F i G bÄ™dÄ… różniczkowalne sposób ciÄ…gÅ‚y na obszarze V ‚" R3. Wtedy:

1. div (F + G) = div F + div G,

2. div (aF ) = a div F , gdzie a " R,

3. div (fF ) = (gradf) ć% F + f · div F ,

4. div (F × G) = G ć% rot F - F ć% rot G.

Ponadto jeżeli pole wektorowe F dwukrotnie różniczkowalne w sposób ciągły na V , to


5. div rot F = 0.

Jeżeli div F (M0) > 0, to punkt M0 nazywamy z
ródłem, a jeżeli div F (M0) < 0, to punkt M0 nazywamy upustem

(ujściem lub ściekiem). W przypadku gdy div F (M0) > 0, to w dowolnym nieskończenie małym obszarze otaczającym

punkt M0 ciecz jest wytwarzana, a w przypadku gdy div F (M0) < 0  ciecz znika.
Wartość bezwzględna dywergencji charakteryzuje natężenie z
ródła lub upustu.
Pole wektorowe, w którego każdym punkcie dywergencja jest równa zeru nazywamy polem solenoidalnym (lub bezz
ródłowym).

" · u = grad u, " ć% F = div F , " × F = rot F .
11
Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego i Stokesa
Jeżeli S jest powierzchnią zamkniętą, to całkę po zewnętrznej stronie powierzchni S będziemy oznaczali symbolem

© ,
S+
zaś całkę po wewnętrznej stronie powierzchni S będziemy oznaczali symbolem

© ,
S-
Twierdzenie 21 (wzór Gaussa-Ostrogradskiego)
Jeżeli
" S jest zorientowanym kawaÅ‚kami gÅ‚adkim pÅ‚atem zamkniÄ™tym, który jest brzegiem obszaru domkniÄ™tego V ‚" R3,

" pole wektorowe F = (P, Q, R) jest różniczkowalne sposób ciągły na obszarze V ,
to


© F ć% dS = div F dV.
V
S+
Po rozwinięciu powyższa równość (tzn. wzór Gaussa-Ostrogradskiego) przyjmuje postać:

"P "Q "R
© P dydz + Q dzdx + R dxdy = + + dxdydz.
"x "y "z
V
S+
Z

F


V





O
Y
X
Twierdzenie 22 (wzór Stokesa)
Jeżeli
" S jest zorientowanym kawałkami gładkim płatem, którego brzeg L jest łukiem kawałkami gładkim skierowanym zgodnie z
orientacją płata S,

" pole wektorowe F = (P, Q, R) jest różniczkowalne sposób ciągły na płacie S (łącznie z brzegiem L),
to



F ć% d = rot F ć% dS.
r
L S
Po rozwinięciu powyższa równość (tzn. wzór Stokesa) przyjmuje postać:


"R "Q "P "R "Q "P
P dx + Q dy + R dz = - dydz + - dzdx + - dxdy.
"y "z "z "x "x "y
L S
Z




F

L








O
Y
X
Uwaga 23 Wzór Greena jest szczególnym przypadkiem wzoru Stokesa. RzeczywiÅ›cie, przyjmujÄ…c, że S ‚" XOY jest pÅ‚atem

zorientowanym o brzegu L oraz, że pole wektorowe F określone na tym płacie ma postać F = [P, Q, 0], przy czym funkcje P i Q
zależą tylko od zmiennych x, y, otrzymamy:

"Q "P
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = - dxdy.
"x "y
L D
12
Zastosowania całek powierzchniowych zorientowanych
Objętość obszaru V
Objętość obszaru V ograniczonego płatem zamkniętym S zorientowanym na zewnątrz wyraża się wzorami:

1
|V | = © x dydz + y dzdx + z dxdy = © z dxdy = © x dydz = © y dzdx
3
S+ S+ S+ S+
Strumień pola wektorowego
Ilość cieczy przepływającej w jednostce czasu przez płat zorientowany S (ze strony ujemnej na dodatnią) wyraża
siÄ™ wzorem:


Ś = y, x) ć% dS, (1)
v(x,
S
gdzie y, z) oznacza prędkość cieczy w punkcie (x, y, z) tego płata.
v(x,
Jeżeli S jest powierzchnią zamkniętą, ograniczającą pewien obszar V , a całka (1) jest brana po zewnętrznej stronie powierzch-
ni S, to wielkość Ś nazywamy strumieniem wektora od wewnątrz powierzchni S (tj. w kierunku normalnej zewnętrznej
v
do tej powierzchni).
Całka


© y, x) ć% dS
v(x,
S+
jest równa różnicy między ilością cieczy jaka wypłynęła z obszaru V w jednostce czasu a ilością cieczy, jaka w tej samej jednostce
czasu wpłynęła do obszaru V .
Zgodnie ze wzorem Stokesa cyrkulacja pola wektorowego i jego rotacja są związane zależnością



F ć% d = rot F ć% dS
r
L S
oznaczającą, że cyrkulacja wektora po konturze zamkniętym L jest równa strumieniowi rotacji tego wektora przez powierzchnię
S, ograniczonÄ… tym konturem.
13