Całki krzywoliniowe i powierzchniowe
1. Obliczyć dwoma sposobami (bezpośrednio i z twierdzenia G-G-O) strumień pola wektorowego
-

W = [y, -x, 2 - z] przez zamkniętą powierzchnię S, zorientowaną zewnętrznie i utworzoną
p p
z płata S1 o równaniu z = 3x2 +3y2 i płata S2 o równaniu z = 4 - x2 - y2.
2. Obliczyć dwoma sposobami (bezpośrednio i z twierdzenia G-G-O) strumień pola wektorowego
-

W =[y,x,z + y] przez wewnętrzna stronęzamkniętej powierzchni S utworzonej z płatów o rów-
naniach: x2 + z2 =1, y =0, y = x (y e" 0).
3. Obliczyć dwoma sposobami (bezpośrednio i z twierdzenia G-G-O) strumień pola wektorowego
-

W = [xz, yx2,z] przez powierzchnię S o równaniu 2z = x2 + y2, 0 d" z d" 2, zorientowaną
zewnętrznie.
4. Obliczyć dwoma sposobami (bezpośrednio i z twierdzenia G-G-O) strumień pola wektorowego
-

W =[x2, -y,2z] przez zamkniętą powierzchnię S, zorientowanązewnętrznie i utworzonązpłata
p
S1 o równaniu z = x2 + y2 i płata S2 o równaniu z =6 - x2 - y2.
5. Obliczyć dwoma sposobami (bezpośrednio i z twierdzenia G-G-O) strumień pola wektorowego
-

W =[x + z,x + y,z + y] przez wewnętrzna stronę zamkniętej powierzchni S utworzonej z pła-
tów o równaniach: x2 + y2 =1, z =0, z = x (x e" 0).
6. Obliczyć dwoma sposobami (bezpośrednio i z twierdzenia G-G-O) strumień pola wektorowego
-

W = [-2x, 2,z] przez powierzchnię S o równaniu y = x2 + z2, 1 d" y d" 2, zorientowaną
zewnętrznie.
7. Obliczyć dwoma sposobami (bezpośrednio i z twierdzenia G-G-O) strumień pola wektorowego
"
-

W = [x, y2 - 1, -z] przez powierzchnię S o równaniu y + 1 - x2 - z2 = 0, zorientowaną
wewnętrznie.
-

8. Sprawdzić twierdzenie Stokes a dla pola W =[-y,xz,z] i S, któryjest częścią powierzchni
" "płata
3x2 +3y2 = z2 odciętą płaszczyznami z = 3, z = 2 3 i zawartą w I oktancie (tzn. x, y,
z e" 0), zorientowaną zewnętrznie.
-

9. Sprawdzić twierdzenie Stokes a dla pola W =[x, -z, y] i płata S, który jest częścią paraboloidy
z =4 - x2 - y2 wyciętą powierzchnią walca x2 + y2 - 2x =0 i zorientowaną wewnętrznie.
-

10. Sprawdzić twierdzenie Stokes a dla pola W = [x + z, 0,y - x] i płata S, który jest ćwiartką
sfery x2 + y2 + z2 =4, dla której x e" 0, y e" 0 zorientowaną wewnętrznie.
-

11. Sprawdzić twierdzenie Stokes a dla pola W = [x - y,y2,y - 2z] i płata S, który jest częścią
walca x2 + z2 =1 taką, że 0 d" y d" x zorientowaną wewnętrznie.
-

12. Sprawdzić twierdzenie Stokes a dla pola W = [z2,y2, -x2] i płata S, który jest częścią po-
wierzchni 5 - y = x2 + z2 odciętą.płaszczyzną y = 1 i zawartą w I oktancie, zorientowaną
zewnętrznie.
-

13. Sprawdzić twierdzenie Stokes a dla pola W =[z2,x,1] i płata S, który jest częścią powierzchni
p
sferycznej z = 4 - x2 - y2, wyc/
etą powierzchnią walca x2 + y2 +2x = 0 i zorientowaną
wewnętrznie.
1
-

14. Sprawdzić twierdzenie Stokes a dla pola W =[y2,1,xyz] i płata S, który jest trójkątem, którego
brzeg jest przebiegany wzdłuż zamkniętej łamanej ABCA, gdzie A =(12, 0, 0), B =(0,4,0),
C =(0, 0, 3).
15. Obliczyć dwoma sposobami (bezpośrednio i z twierdzenia Greena) cyrkulację płaskiego pola
-

wektorowego W =[0,2xy] wzdłuż krzywej K zamkniętej, skierowanej dodatnio i złożonej z łuku
paraboli K1: y2 = x i odcinka prostej K2: y = x - 2.
16. Obliczyć dwoma sposobami (bezpośrednio i z twierdzenia Greena) cyrkulację płaskiego pola
n o
p
-

wektorowego W =[2x, -xy2] wzdłuż brzegu obszaru D = (x, y) : 0 d" x d" 2y - y2 prze-
bieganego ujemnie.
17. Obliczyć dwoma sposobami (bezpośrednio i z twierdzenia Greena) cyrkulację płaskiego pola
Ł ń
-

wektorowego W = 2(x2 + y2),(x + y)2 wzdłuż obwodu trójkata ABC o wierzchołkach
A =(1,1), B =(2,2), C =(1,3) zorientowanego dodatnio.
18. Obliczyć dwoma sposobami (bezpośrednio i z twierdzenia Greena) cyrkulację płaskiego pola
-

wektorowego W =[2,-xy2] wzdłuż brzegu obszaru D = {(x, y) : x2 + y2 d" 4 '" |y| d" 1} prze-
bieganego ujemnie.
19. Obliczyć dwoma sposobami (bezpośrednio i z twierdzenia Greena) cyrkulację płaskiego pola
h i
-

y
1 2 x
wektorowego W = arctg , arctg wzdłuż dodatnio przebieganego brzegu obszaru
x x y y
� " �
D = (x, y) : 1 d" x2 + y2 d" 4 '" 0 d" x d" y d" x 3 .
-

20. Pokazać, że pole W =[sin 2x - 2cos(x + y) ,-2cos(x + y)] jest potencjalne i wyznaczyć jego
potencjał.
-

21. Pokazać, że pole W =[y + exy2,x+2yex - z sin (yz), -y sin (yz)] jest potencjalne i wyznaczyć
jego potencjał.
-

1
"
22. Pokazać, że pole W = [x,y, z] jest potencjalne i wyznaczyć jego potencjał.
x2+y2+z2
-

23. Pokazać, że pole W =[ye-x,2y - e-x] jest potencjalne, a następnie obliczyć pracę L potrzebną

na przemieszczenie masy jednostkowej wzdłuż dowolnego łuku regularnego K =AB, j�sli
A =(0,0), B =(1,-2).
-

24. Pokazać, że pole W =[2xyz, x2z + z2,x2y +2yz] jest potencjalne, a następnie obliczyć pracę L

potrzebną na przemieszczenie masy jednostkowej wzdłuż dowolnego łuku regularnego K =AB,
jeśli A =(0, 0, 0), B =(1, 1, 1).
-

2
25. Pokazać, że pole W = [x, y, z] jest potencjalne, a następnie obliczyć pracę L potrzebną
x2+y2+z2

na przemieszczenie masy jednostkowej wzdłuż dowolnego łuku regularnego K =AB, j�sli A jest
dowolnym punktem sfery x2 + y2 + z2 = a2, B dowolnym punktem sfery x2 + y2 + z2 = b2.
2